平差（教學(xué)）-成曉倩-第2章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

主講：成曉倩河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares整理課件內(nèi)容安排一、概述二、最小二乘原理三、測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型四、函數(shù)模型的線性化平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares整理課件1.幾何模型在測(cè)量工作中，為了確定待定點(diǎn)的高程，需要建立水準(zhǔn)網(wǎng)，為了確定待定點(diǎn)的平面坐標(biāo)，需要建立平面控制網(wǎng)（包括測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)），我們常把這些網(wǎng)稱為幾何模型。2.幾何量每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準(zhǔn)網(wǎng)中包括點(diǎn)的高程、點(diǎn)間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長、邊的坐標(biāo)方位角以及點(diǎn)的二維或三維坐標(biāo)等元素。這些元素都被稱為幾何量。一、概述幾個(gè)基本概念：整理課件3.函數(shù)模型要確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型。一、概述幾個(gè)基本概念：整理課件s1s3s2△ABC中，確定其形狀，只需知道其中任意兩個(gè)內(nèi)角的大小就可以了.觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角中的任意兩個(gè)即可,故其必要元素個(gè)數(shù)為2，必要元素有種選擇(1)

確定平面三角形的形狀(2)

確定平面三角形的形狀與大小6個(gè)元素中必須有選擇地觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角與三條邊的三個(gè)元素，因此，其必要元素個(gè)數(shù)為3。任意2個(gè)角度+1個(gè)邊、2個(gè)邊+1個(gè)角度、三個(gè)邊。一、概述整理課件(3)

確定平面三角形的形狀與大小以及它在一個(gè)特定坐標(biāo)系中的位置和方向外部配置元素的改變相當(dāng)于整個(gè)網(wǎng)在坐標(biāo)系中發(fā)生了平移和旋轉(zhuǎn)，并不影響三角形的內(nèi)部形狀和大小。必須知道6個(gè)不同的元素，至少要包含一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和一條邊的坐標(biāo)方位角，這是確定位置和方向不可缺少的元素，通常稱其為外部配置元素。一、概述s1s3s2整理課件4.必要觀測(cè)個(gè)數(shù)能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，稱為必要觀測(cè)元素；必要觀測(cè)元素的個(gè)數(shù)用t表示，稱為必要觀測(cè)個(gè)數(shù)。不僅要考慮必要觀測(cè)元素的個(gè)數(shù)，還要考慮到元素的類型，否則就無法唯一地確定模型。必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t只與幾何模型有關(guān)，與實(shí)際觀測(cè)量無關(guān)。一個(gè)幾何模型的必要觀測(cè)元素之間是不存在任何函數(shù)關(guān)系的，即其中的任何一個(gè)必要觀測(cè)元素不可能表達(dá)為其余必要觀測(cè)元素的函數(shù)。這些彼此不存在函數(shù)關(guān)系的量稱為函數(shù)獨(dú)立量，簡稱獨(dú)立量。一、概述幾個(gè)基本概念：整理課件假設(shè)對(duì)模型中的幾何量總共觀測(cè)n個(gè)：5.多余觀測(cè)個(gè)數(shù)n<t,顯然無法確定模型的解；n=t,唯一地確定模型，但無法檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)粗差n>t，發(fā)現(xiàn)粗差&提高精度一、概述幾個(gè)基本概念：觀測(cè)數(shù)必要觀測(cè)數(shù)多余觀測(cè)數(shù)r=n-t自由度整理課件

一個(gè)幾何模型通過t個(gè)必要而獨(dú)立的量可唯一確定下來，則其他的量都可以由這t個(gè)量來確定，即模型中任何一個(gè)其他的量都是這t個(gè)獨(dú)立量的函數(shù)，都與這t個(gè)量之間存在一定的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)模型中有r個(gè)多余觀測(cè)量時(shí)，則存在著r個(gè)函數(shù)關(guān)系式。這種函數(shù)關(guān)系式，在測(cè)量平差中稱為條件方程。6.條件方程一、概述幾個(gè)基本概念：整理課件6.條件方程S1S2一、概述幾個(gè)基本概念：n=5；t=3；r=2每增加一個(gè)多余觀測(cè)，相應(yīng)增加一個(gè)條件方程；有多少個(gè)多余觀測(cè)，就有多少個(gè)條件方程。整理課件求改正數(shù)V消除矛盾產(chǎn)生矛盾多余觀測(cè)平差V稱為觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值估值（平差值）建立函數(shù)模型7.平差的概念一、概述幾個(gè)基本概念：整理課件內(nèi)容安排一、概述二、最小二乘原理三、測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型四、函數(shù)模型的線性化平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares整理課件知識(shí)補(bǔ)充：函數(shù)向量關(guān)于向量的求導(dǎo)規(guī)則二、最小二乘原理整理課件如要確定一個(gè)平面三角形的形狀，觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角。從函數(shù)模型來考慮，由于存在一個(gè)多余觀測(cè)，因此在三個(gè)內(nèi)角真值之間存在一個(gè)條件方程，即W稱為條件方程的閉合差或常數(shù)項(xiàng)二、最小二乘原理整理課件二、最小二乘原理解不唯一解唯一最小二乘準(zhǔn)則應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則，不需知道觀測(cè)向量概率分布，只需知道其先驗(yàn)權(quán)陣P整理課件觀測(cè)值獨(dú)立但不等精度時(shí)：觀測(cè)值同精度獨(dú)立時(shí)：極大似然估計(jì)：在概率分布密度函數(shù)達(dá)到極大的條件下來對(duì)真誤差進(jìn)行估計(jì)：當(dāng)觀測(cè)向量服從正態(tài)分布時(shí)，極大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)的結(jié)果是一致的二、最小二乘原理整理課件由最小二乘準(zhǔn)則：例：設(shè)對(duì)某物理量進(jìn)行了次同精度獨(dú)立觀測(cè)，得觀測(cè)值，試按最小二乘準(zhǔn)則求該量的估計(jì)值。解：設(shè)該量的估計(jì)值為例題賞析整理課件內(nèi)容安排一、概述二、最小二乘原理三、測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型四、函數(shù)模型的線性化平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares整理課件函數(shù)模型線性模型非線性模型線性化測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型整理課件測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型

MathematicalModelofAdjustment1.條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithCondition2.間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints5.附有條件的條件平差函數(shù)模型（概括平差模型）

GeneralFunctionalModelofAdjustment整理課件觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，；必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t；條件方程個(gè)數(shù)為r=n-t。AL1L2L3BC令則條件方程為n=3,t=2,則r=1。存在一個(gè)條件方程，可以表示為：1.條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithCondition整理課件令

如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)，D為已知高程點(diǎn)，A、B、C均為待定點(diǎn)。CABDh4h1h6h3h2h5n=6,t=3,r=n-t=3；則條件方程組可寫為條件方程可以是1.條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithCondition整理課件令：則：上式即為條件平差的函數(shù)模型建模方法：找出觀測(cè)值真值之間應(yīng)該滿足的r個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)關(guān)系式。1.條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithCondition整理課件測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型

MathematicalModelofAdjustment1.條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithCondition2.間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints5.附有條件的條件平差函數(shù)模型（概括平差模型）

GeneralFunctionalModelofAdjustment整理課件

選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，u=t,共列出r+u=r+t=n個(gè)函數(shù)關(guān)系式。每一個(gè)觀測(cè)值的真值表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)來建立函數(shù)模型。2.間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment整理課件AL1L2L3BC令n=3,t=2,r=1,則方程式可寫為方程個(gè)數(shù)：r+u=3如圖：u=2,2.間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment整理課件CABDh4h1h6h3h2h5如圖水準(zhǔn)網(wǎng)：n=6,t=3,r=3；選擇A、B、C三個(gè)待定點(diǎn)高程為平差參數(shù)，則u=3,方程的個(gè)數(shù)為r+u=3+3=6。2.間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment整理課件作代換：

觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n，

必要觀測(cè)個(gè)數(shù)：t，

多余觀測(cè)個(gè)數(shù)：r=n-t，

獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)：u=t，

則方程個(gè)數(shù)：c=r+u=n則：建模方法：將每一個(gè)觀測(cè)值的真值表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式（觀測(cè)方程）上式即為間接平差的函數(shù)模型2.間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment整理課件測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型

MathematicalModelofAdjustment1.條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithCondition2.間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints5.附有條件的條件平差函數(shù)模型（概括平差模型）

GeneralFunctionalModelofAdjustment整理課件

如果有n個(gè)觀測(cè)值，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程。3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters現(xiàn)又增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為未知參數(shù)，且0<u<t。因此，共需列出c=r+u個(gè)條件方程。整理課件令A(yù)L1L2L3BC則方程可寫為方程總數(shù)：c=r+u=2n=3,t=2,r=1如圖所示：u=13.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters整理課件作代換:得

此為附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型。建模方法：找出觀測(cè)值真值之間或觀測(cè)值真值與參數(shù)真值之間應(yīng)該滿足的C個(gè)關(guān)系式。3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters整理課件測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型

MathematicalModelofAdjustment1.條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithCondition2.間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints5.附有條件的條件平差函數(shù)模型（概括平差模型）

GeneralFunctionalModelofAdjustment整理課件如果在某平差問題中，選取u>t個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的s=u-t個(gè)參數(shù)必定是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)c=r+u=r+t+s=n+s個(gè)，建立模型時(shí)，除了列立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的s個(gè)條件方程。4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints整理課件作代換:方程的一般形式為：則函數(shù)模型可寫為：此為附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型。其中

稱為限制條件方程。線性形式為：4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints整理課件測(cè)量平差數(shù)學(xué)模型

MathematicalModelofAdjustment1.條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithCondition2.間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectObservationsAdjustment3.附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型

FunctionalModelofAdjustmentwithConditionsaddedParameters4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型

FunctionalModelofIndirectAdjustmentwithConstraints5.附有條件的條件平差函數(shù)模型（概括平差模型）

GeneralFunctionalModelofAdjustment整理課件5.附有條件的條件平差函數(shù)模型GeneralFunctionalModelofAdjustment基本思想：對(duì)于一個(gè)平差問題，若增選了u個(gè)參數(shù)，不論u<t、u=t或是u>t，不論參數(shù)是否獨(dú)立，每增加一個(gè)參數(shù)相應(yīng)增加一個(gè)方程，故方程總數(shù)為r+u個(gè)。若u個(gè)參數(shù)中有s個(gè)不獨(dú)立，即u個(gè)參數(shù)中存在s個(gè)函數(shù)式，則可列立s個(gè)限制條件方程和c=r+u-s個(gè)一般方程。整理課件5.附有條件的條件平差函數(shù)模型GeneralFunctionalModelofAdjustment一般形式：線性形式：作代換:則函數(shù)模型可寫為：此為附有條件的條件平差函數(shù)模型整理課件幾個(gè)概念測(cè)量平差的函數(shù)模型幾何模型、幾何量、函數(shù)模型、必要觀測(cè)個(gè)數(shù)、多余觀測(cè)個(gè)數(shù)、條件方程Review條件平差、間接平差、附有參數(shù)的條件平差、附有限制條件的間接平差、附有條件條件平差整理課件1、按條件平差法；2、若選P1、P2點(diǎn)高程為未知參數(shù)、時(shí)；3、若選P1點(diǎn)高程為未知參數(shù)時(shí)；4、若選h1、h2、h3的真值為未知參數(shù)時(shí)；5、若選h2、h3的真值為未知參數(shù)、時(shí)；圖中，A、B為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，P1、P2為待定點(diǎn)，觀測(cè)了四段高差。試按下面不同情況，分別列出相應(yīng)的平差函數(shù)模型：ABP1P2h1h2h3h4例題賞析整理課件ABP1P2h1h2h3h41、按條件平差法應(yīng)列出r(r=2)個(gè)條件方程解：本題n=4,t=2,則r=n-t=2整理課件2、若選P1、P2點(diǎn)高程為未知參數(shù)、時(shí),此時(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)u=t=2，且不相關(guān)，屬于間接平差，函數(shù)模型為:ABP1P2h1h2h3h4整理課件ABP1P2h1h2h3h43、若選P1點(diǎn)高程為未知參數(shù)時(shí),u=1<t，屬于附有參數(shù)的條件平差，方程個(gè)數(shù)為r+u=3；整理課件4、若選h1、h2、h3的真值為未知參數(shù)時(shí),u=3>t,且包含t(t=2)個(gè)獨(dú)立參數(shù)，屬于附有限制條件的間接平差。方程總數(shù)為r+u=n+s=5ABP1P2h1h2h3h4整理課件ABP1P2h1h2h3h45、若選h2、h3的真值為未知參數(shù)、