關(guān)于制數(shù)的幾種新解

關(guān)于制數(shù)的幾種新解

隨著計算機(jī)文化的普及，我們總是接觸到二進(jìn)制的數(shù)量。然而，許多學(xué)生并不熟悉二進(jìn)制的數(shù)量，當(dāng)然他們也不習(xí)慣使用它。下面描述了兩個示例來說明二進(jìn)制計算機(jī)和集群中的巧妙計算和應(yīng)用。為敘述方便,作如下約定:(1)在數(shù)字之后用B表示二進(jìn)制數(shù),H表示十六進(jìn)制數(shù),十進(jìn)制數(shù)仍按習(xí)慣表示.(2)對一個二進(jìn)制數(shù),連續(xù)若干個“0”稱為0連貫,連續(xù)若干個“1”稱為1連貫.一個連貫所含數(shù)字的個數(shù)稱為連貫的長.例如,二進(jìn)制數(shù)1000111100B中有兩個1連貫,其長度分別為1和4;兩個0連貫,其長分別為3和2.1r進(jìn)制數(shù)計算用“除2取余法”將一個較大的十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)不是一件輕松的事.如果采用“除權(quán)取商法”那就容易得多.所謂“除權(quán)取商法”是:用R進(jìn)制數(shù)第n位的權(quán)Rn去除十進(jìn)制數(shù),其商為R進(jìn)制數(shù)第n位上的數(shù)字;將其余數(shù)再用Rn-1去除,所得商為R進(jìn)制數(shù)第n-1位上的數(shù)字;……;將上次運算的余數(shù)用R去除,所得商為R進(jìn)制數(shù)第1位上的數(shù)字;最后一步的余數(shù)為R進(jìn)制數(shù)第0位(即個位)上的數(shù)字.將二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)時,先將二進(jìn)制數(shù)化為十六進(jìn)制數(shù),然后再按權(quán)展開求和.例1將十進(jìn)制數(shù)685化為二進(jìn)制數(shù)解685÷162=2……173(前者為商,后者為余數(shù).以下同)173÷16=10……13所以685=2ADH=1010101101B(A,B,…,F為十六進(jìn)制數(shù)的數(shù)字)例2將二進(jìn)制數(shù)101101.110101B化為十進(jìn)制數(shù).解101101.110101B=101101110101B/26=B75H/26=(11×162+7×16+5)/64=2933/642余數(shù)的整除性質(zhì)1若一個二進(jìn)制數(shù)的末尾有n個“0”,則該數(shù)能被2n整除,反之亦然.性質(zhì)2對于一個二進(jìn)制數(shù),若各個1連貫的長均為偶數(shù),則該數(shù)能被3整除;若各個1連貫的長均為3的倍數(shù),則該數(shù)能被7整除;若各個1連貫的長均為4的倍數(shù),則該數(shù)能被5整除.注意性質(zhì)2的逆命題不成立.證明性質(zhì)2的第三條結(jié)論:因為一個二進(jìn)數(shù)中各個1連貫的長均為4的倍數(shù),那么該數(shù)能被15(即1111B)整除,當(dāng)然也能被5整除.例3求820012000除以3和7的余數(shù)各是多少?解820012000=(23)20012000=(23×20012000-1)+1=11…1B+1因所得二進(jìn)制數(shù)中1連貫的長度為3×20012000,由性質(zhì)2知7能整除二進(jìn)制數(shù)11…1B,所以820012000≡1(mod7).又因820012000=11…10B+2,其右邊二進(jìn)制數(shù)中1連貫的長為3×20012000-1,這是一個偶數(shù).由性質(zhì)2知3能整除二進(jìn)制數(shù)11…10B,所以820012000≡2(mod3).例4①證明22001(512222-1)能被28整除;②求該數(shù)的個位數(shù)字是幾.解①:22001(512222-1)=22001(29×222-1)=22001+1998-22001=(22001+1998-1)-(22001-1)=11…1B-11…1B(前者1連貫的長為2001+1998,后者1連貫的長為2001)=11…100…0B該二進(jìn)數(shù)的末尾0連貫的長為2001,1連貫的長1998是3的倍數(shù),由性質(zhì)1和性質(zhì)2知該數(shù)能被4和7整除,即能被28整除.②:因為22001(512222-1)=11…1B-11…1B=11…1000B-11…10B+(111B-1B)第1個二進(jìn)制數(shù)中1連貫的長為3996,第2個二進(jìn)制數(shù)中1連貫的長為2000,二者1連貫的長均為4的倍數(shù),且末尾有“0”.由性質(zhì)1和性質(zhì)2知它們均含因數(shù)2和5,所以前兩項之差為10的整數(shù)倍.又因111B-1B=6,故所求的個位數(shù)字是6.3u3000ds++100#解用七進(jìn)制數(shù)表示T的各項,并注意到6+1=10S(S表示七進(jìn)制).則T=1S+10S+100S+…+100…0S(最后一項0連貫的長為n-1)=11…1S(其中1連貫的長為n)=((66…6S+1)-1)/6=(100…0S-1)/6(其中0連貫的長為n)=(7n-1)/6推論等比數(shù)列前n項和1+q+q2+…+qn-1等于各位數(shù)字均為1的n位q進(jìn)制數(shù).4完全不同的財務(wù)狀況例6(1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽第15題)有人編了一個程序,從1開始,交錯地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法).每次加法,將上次運算的結(jié)果加2或加3;每次乘法,將上次的運算結(jié)果乘2或乘3.證明:可以得到2100+297-2.下面用與參考解答完全不同的二進(jìn)制的思路予以證明.因為2100=100…0B(其中0連貫的長為100)297=100…0B(其中0連貫的長為97)2=10B所以2100+297-2=100011…10B(其中第二個1連貫的長為96)程序算法如下:1(×2)→10B(+2)→100B(×2)→1000B(+2)→1010B(×2)→10100B(+2)→10110B(×2)→101100B(+2)→101110B(×2)→…(+2)→[