數(shù)字電路及數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)1

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)字電路及數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)(1第一章規(guī)律代數(shù)基礎(chǔ)

規(guī)律代數(shù)亦稱布爾代數(shù)，由英國數(shù)學(xué)家GeorgeBoole于1849年創(chuàng)立。布爾代數(shù)是建立在二元（抽象為1和0）規(guī)律基礎(chǔ)上具有與、或、非三種基本運(yùn)算的規(guī)律代數(shù)體系。這種代數(shù)不僅廣泛用于集合論、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域，而且是數(shù)字電路分析與設(shè)計(jì)中最重要的數(shù)學(xué)工具。

1.1概述

1.1.1模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)

現(xiàn)代電子技術(shù)主要涉及兩種電信號(hào)：一種叫做模擬信號(hào)（AnalogSignal），如圖1.1.1（a）所示，電壓隨時(shí)間連續(xù)變化；另一種叫做數(shù)字信號(hào)（DigitalSignal），如圖1.1.1（b）所示，電壓在時(shí)間上的變化是不連續(xù)的。電壓要么處于高電平狀態(tài)（H），要么處于低電平狀態(tài)（L），除此之外，不會(huì)處于其它狀態(tài)。所謂的狀態(tài)并不是某一個(gè)固定電壓值，而是一個(gè)允許的取值區(qū)間，如圖1.1.1（c）所示。

本書研究對象是數(shù)字電子信號(hào)，傳送這種信號(hào)的電子線路叫做數(shù)字規(guī)律電路，簡稱數(shù)字電路。數(shù)字信號(hào)有正負(fù)規(guī)律之分，若將高電平狀態(tài)定義為1，低電平狀態(tài)定義為0，這樣的數(shù)字信號(hào)稱為正規(guī)律信號(hào)；若反過來定義稱為負(fù)規(guī)律信號(hào)。值得注意的是，這里的1和0是兩種狀態(tài)的抽象表示，沒有大小之分。絕大多數(shù)數(shù)字電路采用正規(guī)律信號(hào)，以后不特別聲明，數(shù)字信號(hào)指的都是正規(guī)律信號(hào)。

說明：電子計(jì)算機(jī)內(nèi)部存儲(chǔ)、傳輸和處理的信號(hào)就是數(shù)字信號(hào)。例如某計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)總線（DataBUS）由32根單線并列組成，每根單線的電平狀態(tài)1和0定義為二進(jìn)制數(shù)的1和0，且各單線的權(quán)重依次為20，21，…，231，那么該數(shù)據(jù)總線能傳輸32位的二進(jìn)制數(shù)。

1.1.2進(jìn)制轉(zhuǎn)換與十進(jìn)制數(shù)的編碼

一、十進(jìn)制與二進(jìn)制的互換

1、二進(jìn)制數(shù)的定義及一些特別的數(shù)①二進(jìn)制數(shù)的定義：(N)2=kn2n+kn-12n-1+……+k121+k020+k-12-1+……+k-m2-m，ki為0或1。

1

②20，21，……，210，211，212，213；這些十進(jìn)制數(shù)是1，2，……，1024，2048，4096，8192；③2n=(100……0)2，其中1后面有n個(gè)0；④2n-1=(11……1)2，其中有n個(gè)1；⑤2-n=(0.00……01)2，其中小數(shù)點(diǎn)之后有n-1個(gè)0；⑥1-2-n=(0.11……1)2，其中小數(shù)點(diǎn)之后有n個(gè)1。2、2的整冪加減拼湊法

對于接近2n的十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)，采用2的整冪加減拼湊法進(jìn)行口算簡明快捷。后面介紹的“除權(quán)取商法〞和“減權(quán)取1法〞也可結(jié)合使用之。例如：將十進(jìn)制數(shù)135視為128(27)加7，則其結(jié)果為1后面有7個(gè)0的二進(jìn)制數(shù)再加上(111)2，所以135=(10000111)2。將十進(jìn)制數(shù)2034視為2047(211-1)減13，則其結(jié)果為有11個(gè)1的二進(jìn)制數(shù)再減去(1101)2，所以2034=(11111110010)2。

3、除權(quán)取商法

用十六進(jìn)制數(shù)第n位的權(quán)重16n去除十進(jìn)制數(shù)，其商為十六進(jìn)制數(shù)第n位上的數(shù)字；將其余數(shù)再用16n-1去除，所得商為十六進(jìn)制數(shù)第n-1位上的數(shù)字；??；重復(fù)這樣的運(yùn)算步驟，直到簡單看出某一步余數(shù)的二進(jìn)制數(shù)為止。最終將每一次的商和最終一步的余數(shù)按權(quán)重拼成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。

[例1.1.1]將十進(jìn)制數(shù)87，969，2393分別化為二進(jìn)制數(shù)。

解：①由于87除以16商5余7，所以87=(1010111)2。括號(hào)中插入一個(gè)空以便利讀者理解。②969÷162=3??201→(11)2???201，前者為商，后者為余數(shù)，以下同。201÷16=12??9→(1100)2??(1001)2∴969=(1111001001)2

③2393÷162=13??65→(1101)2??(1000001)2，余數(shù)65的二進(jìn)制數(shù)用口算得到?！?393=(110101000001)2，注意二進(jìn)制數(shù)(1000001)2前必需添一個(gè)0，使其達(dá)到8位，由于前段4位數(shù)字（1101）的權(quán)重為162（即28）。

4、減權(quán)取1法

對于較大的十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)可采用“減權(quán)取1法〞。該方法是：用十進(jìn)制數(shù)減去小于該數(shù)的最大的2i，將其差再減去小于此差數(shù)的最大的2j，??，重復(fù)這樣的運(yùn)算步驟，直到簡單看出某一步差數(shù)的二進(jìn)制數(shù)為止。最終將2i、2j、??，以及最終這一步差數(shù)的二進(jìn)制數(shù)按權(quán)重拼成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。

[例1.1.2]將十進(jìn)制數(shù)2169，10508化為二進(jìn)制數(shù)。

解：

10508－8192(213)21692316

－2048(211)－2048(211)

121(1111001)2這一步口算268(100001100)2這一步口算

∴2169=(100001111001)2∴10508=(10100100001100)2

2

5、二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)

從二進(jìn)制整數(shù)的最低位起，將二進(jìn)制數(shù)視為十六進(jìn)制數(shù)，即每4位分為一段，然后按十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)重展開求和。

[例1.1.3]將二進(jìn)制數(shù)(110001.10111)2化為十進(jìn)制數(shù)。

解：(110001.10111)2=(11000110111)2/25=(6×162+3×16+7)/32=1591/32=49.71875

二、二進(jìn)制的數(shù)學(xué)意義

將抽象的二進(jìn)制數(shù)應(yīng)用于具體的實(shí)例之中，是對二進(jìn)制的數(shù)學(xué)意義最生動(dòng)的詮釋。1、兩個(gè)古典數(shù)學(xué)問題

①相傳古代印度國王舍汗要褒獎(jiǎng)國際象棋發(fā)明者達(dá)依爾，問他需要什么。達(dá)依爾回復(fù)說：“國王只要在國際象棋棋盤（8×8格）的第一格上放1粒麥子，其次格上放2粒麥子，第三格上放4粒麥子，第四格上放8粒麥子，按此規(guī)律一直放滿棋盤的最終一格，我心足矣。〞??。

根據(jù)二進(jìn)制數(shù)的定義，將棋盤上的麥子數(shù)用二進(jìn)制數(shù)表示之應(yīng)為64個(gè)1，那么麥子總數(shù)就是264-1（＞1016）。這是一個(gè)驚人的天文數(shù)字，看來達(dá)依爾是在戲弄國王。

②“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。〞

根據(jù)二進(jìn)制數(shù)的定義，將前n日所得用二進(jìn)制數(shù)表示之，該數(shù)應(yīng)為小數(shù)點(diǎn)之后有n個(gè)1，其總和為1-2-n。所以2–1+2–2+?+2–n=(0.11?1)2<1總是成立的。

2、二進(jìn)制與含權(quán)開關(guān)量

圖1.1.2（a）是由8個(gè)開關(guān)和8個(gè)電容器組成的電路，圖1.1.2（b）是由8個(gè)開關(guān)和8個(gè)電阻組成的電路。其中電容器的取值為Ci=2i×1μF（i=0，1，?，7），電阻的取值為Rj=2j×10Ω（j=0，1，?，7）。這是一種二進(jìn)制含權(quán)電容或電阻電路，在圖1.1.2（a）中，用“1〞表示開關(guān)Ki處于ON狀態(tài)，用“0〞表示開關(guān)Ki處于OFF狀態(tài)；在圖1.1.2（b）中，用“1〞表示開關(guān)Kj處于OFF狀態(tài)，用“0〞表示開關(guān)Kj處于ON狀態(tài)。于是8個(gè)開關(guān)的每種組合狀態(tài)對應(yīng)于一個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)，所以電路取值為0～255之間的任一整數(shù)。

[例1.1.4]將電容CAB的值設(shè)置為168μF。將電阻RAB的值設(shè)置為2500Ω。

解：①由于168=(10101000)2，所以在圖1.1.2（a）所示的電路中，將開關(guān)K7、K5、K3閉合，其余5個(gè)開關(guān)斷開。

②由于250=(11111010)2，所以在圖1.1.2（b）所示的電路中，將開關(guān)K2、K0閉合，其余6個(gè)開關(guān)斷開。

1.1.3十進(jìn)制數(shù)的編碼

3

十進(jìn)制數(shù)的每一位由0～9十個(gè)數(shù)字組成，在數(shù)字規(guī)律系統(tǒng)中，1位十進(jìn)制數(shù)要用4位二進(jìn)制數(shù)表示，即用二進(jìn)制數(shù)對十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼，這樣的代碼簡稱BCD（BinaryCodedDecimal）碼。表1.1.1是幾種常用的BCD碼，其中8421BCD碼是最常用的一種十進(jìn)制編碼。

4位二進(jìn)制數(shù)共有24個(gè)代碼，除了對十進(jìn)制數(shù)的編碼外還有6個(gè)偽碼，不同的BCD碼伴有不同的偽碼。在計(jì)算機(jī)中十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算是以BCD碼進(jìn)行的，一旦結(jié)果產(chǎn)生偽碼就要對其進(jìn)行修正處理。例如，當(dāng)用8421BCD碼表示的兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行相加，若某位的和出現(xiàn)偽碼（即大于9）或者該位向高位產(chǎn)生了進(jìn)位，則該位的和還要加6進(jìn)行修正；當(dāng)用8421BCD碼表示的兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行相減，若某位向高位產(chǎn)生了借位，則該位的差還要減6進(jìn)行修正。

表1.1.1常用BCD碼

十進(jìn)制數(shù)0123456789編碼規(guī)矩8421碼0000000100100011010001010110011110001001權(quán)84212421碼0000000100100011010010111100110111101111權(quán)2421余3碼00110100010101100111100010011010101111008421碼+(11)2

1.2規(guī)律代數(shù)中的基本運(yùn)算及基本公式

1.2.1規(guī)律函數(shù)

圖1.2.1是某數(shù)字規(guī)律電路，輸入信號(hào)A1，A2，?，An叫做規(guī)律變量，輸出信號(hào)Y叫做規(guī)律函數(shù)，它們的取值為規(guī)律值1或0。顯然輸出信號(hào)的變化是受輸入信號(hào)的影響，或者說輸出信號(hào)是關(guān)于輸入信號(hào)的函數(shù)，即存在規(guī)律函數(shù)式：

Y=f(A1，A2，?，An)1.2.1

規(guī)律函數(shù)的另一種表示是規(guī)律真值表，真值表的一行稱為一個(gè)狀態(tài)行，該行的內(nèi)容是若干個(gè)變量的一組規(guī)律值和由此決定的函數(shù)值，n個(gè)變量的規(guī)律真值表共有2n個(gè)狀態(tài)行。規(guī)律函數(shù)式和規(guī)律真值表可以相互轉(zhuǎn)換。

1.2.2基本運(yùn)算及基本公式

在規(guī)律代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的規(guī)律運(yùn)算，其它規(guī)律運(yùn)算是這三種基本運(yùn)算的復(fù)

4

合。表1.2.1是規(guī)律代數(shù)中的常見運(yùn)算，其中列出了每種運(yùn)算所對應(yīng)的電路符號(hào)。表1.2.2是規(guī)律代數(shù)的基本公式，表1.2.3是規(guī)律代數(shù)的常用公式。

一、與運(yùn)算

與運(yùn)算又稱規(guī)律乘。由表1.2.2的第1、2行左邊可知“信號(hào)0封鎖與門，信號(hào)1開放與門〞。何謂門？門者開關(guān)