人教版五年級數(shù)學(xué)上冊【課本】5年級第21講-余數(shù)的性質(zhì)與計算

第二十一講余數(shù)的性質(zhì)與計算----------------------------------------------------------------------------------這一講我們來學(xué)習(xí)余數(shù)問題．在整數(shù)的除法中，只有能整除和不能整除兩種情況．當(dāng)不能整除時，就會產(chǎn)生余數(shù)．一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是）,0≤r＜b；當(dāng)時，我們稱a能被b整除；當(dāng)時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的商余數(shù)問題和整除問題是有密切關(guān)系的，因為只要我們?nèi)サ粲鄶?shù)，就能和整除問題聯(lián)系在一起了．余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)．基本性質(zhì)：被除數(shù)=除數(shù)×商（當(dāng)余數(shù)大于0時也可稱為不完全商）+余數(shù)除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)．余數(shù)小于除數(shù)．理解這條性質(zhì)時，要與整除性聯(lián)系起來，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了．在一些題目中因為余數(shù)的存在，不便于我們計算，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了．------------------------------------------------------------------------------------例題1．用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40，余數(shù)是16，被除數(shù)、除數(shù)的和是877，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？「分析」如果設(shè)除數(shù)為a，被除數(shù)可以表示為什么？練習(xí)1．甲、乙兩數(shù)的和是2014，甲數(shù)除以乙數(shù)商99余14，求甲、乙兩數(shù)．----------------------------------------------------------------------------------我們之前學(xué)過一些特殊數(shù)（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．這些數(shù)的整除特性稍加改造，即可成為求解余數(shù)的一類簡便算法：（1）一個數(shù)除以2或5的余數(shù)，等于這個數(shù)的個位數(shù)字除以2或5的余數(shù)；一個數(shù)除以4或25的余數(shù)，等于這個數(shù)的末兩位數(shù)除以4或25的余數(shù)；一個數(shù)除以8或125的余數(shù)，等于這個數(shù)的末三位數(shù)除以8或125的余數(shù)；（2）一個數(shù)除以3或9的余數(shù)，等于這個數(shù)的各位數(shù)字和除以3或9的余數(shù)；一個數(shù)除以99（包括11、33）的余數(shù)，等于將它兩位截斷再求和之后的余數(shù)；此外，求3和9的余數(shù)還可應(yīng)用亂切的方法．（3）一個數(shù)除以11的余數(shù)，等于它的奇位數(shù)字和減去偶位數(shù)字和除以11的余數(shù)，如果奇位數(shù)字和比偶位數(shù)字和小，則先加上若干個11再減即可．（4）一個數(shù)除以7、11和13的余數(shù)，等于將它三位截斷之后，奇數(shù)段之和減去偶數(shù)段之和除以7、11和13的余數(shù)，如果奇數(shù)段之和比偶數(shù)段之和小，則加上若干個7、11或13再減即可．這種利用整除特性來計算余數(shù)的方法叫做特性求余法．----------------------------------------------------------------------------------例題2．（1）20132013除以4和8的余數(shù)分別是多少？（2）20142014除以3和9的余數(shù)分別是多少？「分析」根據(jù)4、8、3、9的特性，可以很快計算出結(jié)果．練習(xí)2．（1）20121221除以5和25的余數(shù)分別是多少？（2）20130209除以3和9的余數(shù)分別是多少？

例題3．（1）123456789除以7和11的余數(shù)分別是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余數(shù)是多少？「分析」根據(jù)7、1、99的特性，可以計算出結(jié)果．在截斷的時候要特別小心．練習(xí)3．201420132012除以13和99的余數(shù)分別是多少？----------------------------------------------------------------------------------為了更好地了解余數(shù)的其它一些重要性質(zhì)，我們再來做幾個練習(xí)：（1）211除以9的余數(shù)是______； （2）137除以9的余數(shù)是______；（3）的和除以9的余數(shù)是______； （4）的差除以9的余數(shù)是______；（5）的積除以9的余數(shù)是______； （6）除以9的余數(shù)是______．比較上面的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)余數(shù)還有一些很好的性質(zhì)：和的余數(shù)等于余數(shù)的和；差的余數(shù)等于余數(shù)的差；積的余數(shù)等于余數(shù)的積．每個數(shù)都用它除以7的余數(shù)替換這三條性質(zhì)分別稱為余數(shù)的可加性、可減性和可乘性．在計算一個算式的結(jié)果除以某個數(shù)的余數(shù)時，可以利用上述性質(zhì)進(jìn)行簡算．例如計算的結(jié)果除以7的余數(shù)就可以像右側(cè)這樣計算．這一簡算方法又稱替換求余法．每個數(shù)都用它除以7的余數(shù)替換需要提醒大家的是，雖然上述三條計算余數(shù)的口訣朗朗上口，但并不嚴(yán)格，在使用時還需要注意：（1）如果替換之后余數(shù)的計算結(jié)果大于除數(shù)，還需要再次計算結(jié)果的余數(shù)．例如：在計算除以6的余數(shù)時，利用“和的余數(shù)等于余數(shù)的和”，結(jié)果就變成了，，所以還需要再次計算8除以6的余數(shù)是2，才是除以6最后的余數(shù)．再比如：在計算除以6的余數(shù)時，也會遇到的情況，同樣的還需要計算15除以6的余數(shù)是3，才是最終的結(jié)果．（2）在計算減法時，會出現(xiàn)余數(shù)不夠減的情況，這時只要再加上除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)即可．例如：在計算除以6的余數(shù)時，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果變成了不夠減．此時，只要再加上6，用來計算即可．----------------------------------------------------------------------------------例題4．一年有365天，輪船制造廠每天都可以生產(chǎn)零件1234個．年終將這些零件按6個一包的規(guī)格打包，最后一包不夠6個．請問：最后一包有多少個零件？「分析」最后一包的零件數(shù)實際上就是零件總數(shù)除以19的余數(shù)．練習(xí)4．（1）除以111的余數(shù)是多少？（2）的結(jié)果除以22余數(shù)是多少？----------------------------------------------------------------------------------如果我們將“特性求余法”和“替換求余法”相結(jié)合，便可大大簡化余數(shù)的計算．----------------------------------------------------------------------------------例題5．（1）除以4、9的余數(shù)分別是多少？（2）除以7、11、13的余數(shù)分別是多少？「分析」要把結(jié)果算出來，再求余數(shù)，計算量很大．看看如何利用“替換求余”以及“特性求余”的方法來進(jìn)行求解．例題6．（1）的個位數(shù)字是多少？除以10的余數(shù)是多少？（2）除以7的余數(shù)是多少？「分析」一個數(shù)的個位數(shù)字就是它除以10的余數(shù)，大家來找一下個位數(shù)字的變化規(guī)律．

小熊分粽子今天是端午節(jié)，猴爸爸一大早就領(lǐng)著猴兒們?nèi)ビ^看龍舟比賽。在回家的路上，猴爸爸買了一筐粽子準(zhǔn)備分給孩子們。回到家，猴爸爸將粽子數(shù)了數(shù)，一共70多個。猴爸爸把9個孩子叫到身邊說：“孩子們，今天過節(jié)，爸爸要將這些粽子分給你們吃?！闭f完，就開始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能將粽子均分給孩子們。正在犯愁時，門鈴響了，原來是小熊來串門。小熊是出了名的小精靈，腦瓜特靈活。猴爸爸一見他就高興地說：“小熊老弟，你來得正好，我正有問題要找你幫忙呢。于是，猴爸爸將自己分粽子的事情告訴了小熊。小熊眼珠一轉(zhuǎn)，計上心頭，笑著說：“猴大哥，這件事好辦，只要你答應(yīng)將分剩下的粽子給我，我保證把這些粽子均勻地分給你的孩子們?！焙锇职忠宦犘⌒苡修k法，連想都沒想就答應(yīng)了小熊的要求。小熊將筐中的粽子一個個地分給猴兒們，猴兒們幫分到了同樣多的粽子，誰也沒有意見，都高高興興地吃起了粽子。這時，猴爸爸卻不高興了，因為他發(fā)現(xiàn)，小熊分得的粽子個數(shù)最多。他生氣地對小熊說：“熊老弟，這就是你不對了，你明知道你得的粽子會最多，為什么還要騙我上你的當(dāng)呢？你也太不夠朋友了。”小熊笑著說：“猴大哥，我們可是有言在先，你可是答應(yīng)了我的條件，我才幫你分粽子的，你難道想反悔嗎？那才真是不夠朋友呢！”猴爸爸自知理虧，不好再爭辯什么，只是埋怨自己不該輕信小熊的話，嘆了嘆氣