人地關(guān)系的混沌特征及其分形性質(zhì)

人地關(guān)系的混沌特征及其分形性質(zhì)

1人類社會系統(tǒng)與自組織系統(tǒng)的關(guān)系是耗散結(jié)構(gòu)論的實踐意義人地關(guān)系是人文地理學(xué)的中心主題，也是所有地理學(xué)研究的中心主題之一。早在19世紀(jì),德國著名地理學(xué)家李特爾(K.Ritter)在其《地學(xué)通論》著作中就已指出:“自然的一切現(xiàn)象和形態(tài)對人類的關(guān)系”乃是地理學(xué)的中心原理。他的這一論斷曾因被視為地理環(huán)境決定論的濫觴而一度遭到非議。地理環(huán)境決定論的根本失誤在于把復(fù)雜的人地非線性關(guān)系“線性”化了。早期的許多地理學(xué)者總是企圖在自然環(huán)境和人文現(xiàn)象這兩個集合之間找出要素的映射關(guān)系,即發(fā)現(xiàn)一種人文現(xiàn)象(果),便想在自然環(huán)境中找到其“原象”(因)。但是,人地之間并非簡單的單射關(guān)系,所以他們的理論很難自圓其說。人類社會是一個自組織系統(tǒng),“自組織”意味著人類社會系統(tǒng)的運(yùn)行是可以自我協(xié)調(diào)的,不可能由地理環(huán)境完全決定。因而企圖在環(huán)境因素與人類行為之間建立簡單的因果對應(yīng)關(guān)系必然失敗。然而,人地關(guān)系卻是客觀存在的,并且這種關(guān)系是不對稱的,即環(huán)境可以沒有人類而發(fā)展,而人類卻不可能脫離環(huán)境而存在。哈肯(H.Haken)的協(xié)同學(xué)原理表明,任何一個系統(tǒng),其控制變量只能來自環(huán)境,系統(tǒng)與外界的物質(zhì)流、能量流和信息流(通稱“流”)決定著控制變量的大小。就整個人類社會而言,其環(huán)境就是地理環(huán)境,它與人類社會系統(tǒng)的關(guān)系可從耗散結(jié)構(gòu)論得到啟示。普里高津(I.Prigogine)指出,系統(tǒng)的熵的改變(ds)由兩部分組成:ds=dis+des(1-1)ds=dis+des(1?1)式中dis為系統(tǒng)內(nèi)部不可逆過程產(chǎn)生的熵變;des為系統(tǒng)與外界(環(huán)境)交換物質(zhì)、能量和信息引起的熵變。由于dis≥0,故只有滿足des＞dis(1-2)des＞dis(1?2)即當(dāng)系統(tǒng)從環(huán)境獲取的負(fù)熵大于系統(tǒng)內(nèi)部因素引起的熵增時,才能避免系統(tǒng)陷入無序狀態(tài)而死亡?？梢?地理環(huán)境是人類存在和社會發(fā)展的基礎(chǔ),負(fù)熵流的大小控制著人類社會的演化。由于地球表層是一個準(zhǔn)封閉系統(tǒng),它與宇宙環(huán)境只有能量交流,而太陽輸給地球的能量接近于一個常數(shù)I0,從而形成以下的約束條件∫des≤g(Ι0)(1-3)即人類社會從環(huán)境吸取的負(fù)熵流總量有一定限度,如果人類的索取超過其閾值,就會導(dǎo)致環(huán)境支持系統(tǒng)的崩潰,乃至人類文明的毀滅。因此,人類必須尋求與環(huán)境之間的綜合協(xié)調(diào)。因此,研究人地相關(guān)作用不僅能夠促使自然—人文二元合一,而且具有深刻的實踐意義。人類社會與地理環(huán)境之間的相關(guān)作用過程是復(fù)雜的非線性過程,這個過程存在著某種混沌(chaos)機(jī)制,從而導(dǎo)致地球表層的許多人文分形(fractal)結(jié)構(gòu)。下面運(yùn)用混沌理論和分形思想對人地非線性相關(guān)作用做進(jìn)一步的探討。2人與地相關(guān)作用的混合特征2.1qnqn地理系統(tǒng)可以簡單地定義為由相互作用的各個地理要素所構(gòu)成的綜合體。一個地理系統(tǒng)(如城市系統(tǒng))可以采用不同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行描述。不妨象貝塔蘭菲(L.VonBertalanffy)描述一般系統(tǒng)那樣,選取一組聯(lián)立方程式進(jìn)行表達(dá)。令Qi表示要素Pi(i=1,2,...,n)的某個測度,對于有限數(shù)目的要素,當(dāng)處于極簡單的情況下,有如下形式:dQ1/dt=f1(Q1,Q2,...,Qn)dQ2/dt=f2(Q1,Q2,...,Qn)dQn/dt=fn(Q1,Q2,...,Qn)}(2-1)式(2-1)表明,任何一個Qi的變化都是從Q1到Qn之間所有Qj的函數(shù);反之,任何一個Qj的變化都會引起別的Qj的變化(j≠i,j=1,2,...,n),從而使整個系統(tǒng)發(fā)生變化。令n=1,即系統(tǒng)只有一種類型的元素,則式(2-1)簡化為dQ/dt=f(Q)(2-2)上式展開為泰勒(Taylor)級數(shù)dQ/dt=a1Q+a11Q2+...(2-3)當(dāng)Q很小時,可以只考慮級數(shù)的第一項,此時有dQ/dt=a1Q(2-4)上式的解為Q=Q0ea1t(2-5)顯然,Q0是Q在t=0時的量。上式表明,系統(tǒng)在沒有約束條件的情況下會呈指數(shù)形式增長,式(2-5)實為指數(shù)增長曲線。但是,任何地理系統(tǒng)都不會沒有極限的增長,正如恩格斯(Engels)所說:“大自然絕不會讓一棵樹長得刺破了天”。為此考慮式(2-3)的前兩項,則有dQ/dt=a1Q+a11Q2(2-6)這是一個簡單的非線性微分方程,后面將會看到它的解是邏輯斯蒂(Logistic)曲線,這就表明系統(tǒng)在有約束的情況下,其增長是有極限的。對于人類社會而言,這種約束主要來自自然環(huán)境的生態(tài)限定。在系統(tǒng)的生成初期,由于變量很小,方程的非線性項可以忽略不計,這時可以將其增長近似地看成指數(shù)形式。但當(dāng)系統(tǒng)發(fā)育到一定程度,變量較大時,非線性關(guān)系就表現(xiàn)出來。由于方程組(2-1)在地理系統(tǒng)中具有普遍意義,例如它可用于描述城市體系,故從其引申出來的非線性方程在地理系統(tǒng)分析中也具有一般性。下面以人口增長為例分析人地非線性相關(guān)作用的動力學(xué)特征。2.2邏輯斯蒂映射對于一般地理系統(tǒng)的某個變量的增長,可以用復(fù)利公式進(jìn)行描述,即有簡單的迭代方程Qn+1=(1+r)Qn(2-7)這是方程(2-4)的差分形式,Qn為第n代某要素的變量值;Qn+1為第n+1代的變量值;r=(Qn+1-Qn)/Qn為增長率。利用泰勒級數(shù)關(guān)系er≈1+r,有Qn+1=Qner=Q0enr(2-8)顯然,上式與式(2-5)等價。由于實際增長的生態(tài)限定,可在式(2-7)中加上反映地理環(huán)境約束的非線性項bQ2n,并令μ=1+r,則有Qn+1=μQn-bQ2n(2-9)再令x=bQ/μ,作變量代換,可得Xn+1=μXn(1-Xn)(2-10)這便是著名的邏輯斯蒂映射。梅(L.May)的生態(tài)模型便是這種形式。當(dāng)參數(shù)μ選取適當(dāng)(2<μ<3)時,這種映射會逐漸趨向于一個穩(wěn)定的點(diǎn)(圖1),即所謂不動點(diǎn)(fixedpoint)。將方程(2-10)還原為式(2-6)型的微分形式,即得dx/dt=(μ-1)x-μx2(2-11)這是柏努利(Bernoully)式微分方程,其解是大家熟知的邏輯斯蒂曲線(圖2)x=[(μ-1)/μ]/{1+[(μ-1)/μxo-1]exp(1-μ)t}(2-12)當(dāng)t→∞時,x→1-1/μ,即limt→∞x=1-1/μ,可見x=1-1/μ為迭代方程(2-10)的不動點(diǎn)。邏輯斯蒂曲線又叫生長曲線,地理系統(tǒng)中各種要素的增長都具有此曲線的特性,人口的增長過程最有代表意義。19世紀(jì)人們用式(2-7)描述人口增長,馬爾薩斯(R.Malthus)強(qiáng)調(diào),人口的這種增長在現(xiàn)實中是不能成立的,它終將受到環(huán)境要素(資源、糧食等)的限制。但馬爾薩斯仍用方程(2-7)描述人口的增長。維赫斯特(Verhulst)改用方程(2-10)反映人口的增長,更為符合實際。不僅人口,一個國家的糧食單產(chǎn)、工業(yè)品年產(chǎn)量等,其增長都呈S曲線型。回想式(1-3)表明的環(huán)境約束,不難理解,人類社會系統(tǒng)任何要素的發(fā)展都受自然環(huán)境的制約,人口的增長受到自然的限制最能說明問題。2.3混沌過程:確定因素系統(tǒng)的探索式(2-10)雖然是最基本的、只有一個自由度的映射,卻能很好地反映人類社會系統(tǒng)與地理環(huán)境之間的相關(guān)作用,參數(shù)μ的大小反映人地關(guān)系的強(qiáng)弱。在人口增長過程中,μ的大小與人口增長率成正比(線性正相關(guān)),增長率的大小與人地關(guān)系的協(xié)調(diào)程度有一定關(guān)系。在一般地理系統(tǒng)中,μ具有更深刻的內(nèi)涵。研究表明,隨著μ取值的變化,該模型表現(xiàn)出多種性態(tài):(1)在0≤μ<1時,Xn單調(diào)減少,當(dāng)n→∞時,X∞→0,X=0是一個貧乏的不動點(diǎn);(2)在1≤μ<2時,Xn單調(diào)增加,最后趨向另一不動點(diǎn)1-1/μ,即n→∞時,X∞→1-1/μ;(3)在2≤μ<3時,Xn以振蕩衰減的趨勢漸近于1-1/μ(圖1);(4)在3≤μ＜1+√6(=3.449)時,Xn出現(xiàn)分岔(bifurcation),進(jìn)入周期2狀態(tài),即在兩個值之間來回跳動;(5)隨著μ的遞增,Xn出現(xiàn)4周期(μ=3.449),8周期(μ=3.544),16周期(μ=3.564),...,2n周期狀態(tài),這種周期倍增并非沒有止境,當(dāng)μ=3.569945672...時,Xn具有一切的周期點(diǎn),即進(jìn)入混沌狀態(tài)。費(fèi)根鮑姆(M.J.Feigenbaum)發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)進(jìn)入混沌是有規(guī)律的,橫軸分岔間距按δ=limn→∞[(μn-μn-1)/(μn+1-μn)]≈4.6692呈漸近等比數(shù)列衰減,縱軸分岔寬度以Q=limn→∞dn/dn-1≈2.5029衰減(圖3)。系統(tǒng)的混沌過程為何呈δ=4.6692的規(guī)律尚待研究,但人們已經(jīng)知道,混沌是確定型系統(tǒng)表現(xiàn)出的內(nèi)在隨機(jī)性。線性系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌,混沌的動力學(xué)根源是非線性。人類社會與地理環(huán)境的相關(guān)作用過程,是復(fù)雜的非線性過程。邏輯斯蒂方程可視為人地系統(tǒng)的極端簡化形式,透過這個“窗口”可以觀察人地關(guān)系的某些法則。當(dāng)控制參數(shù)μ太小時,系統(tǒng)會逐漸消亡;當(dāng)μ太大時,系統(tǒng)會進(jìn)入混沌狀態(tài);只有當(dāng)μ取適當(dāng)?shù)闹?系統(tǒng)才會漸趨穩(wěn)定。這就要求人與環(huán)境的相關(guān)作用必須保持一定的強(qiáng)度,唯其如此,才能維持人與環(huán)境的協(xié)調(diào)。進(jìn)入混沌也許并不可怕,問題在于人類目前無法控制混沌;現(xiàn)實中又正因為人類無法控制混沌,在復(fù)雜的地理系統(tǒng)中混沌過程常常出現(xiàn)。因此,研究人地關(guān)系的混沌原理就成為必要。系統(tǒng)的混沌過程常常產(chǎn)生奇異吸引子(strangeattractor)。所謂吸引子是指在t→∞時,系統(tǒng)在相圖上的軌道被吸入的極限集合。最簡單的吸引子是不動點(diǎn),在式(2-10)中,當(dāng)Xn=1-1/μ時,Xn+1=Xn,故1-1/μ為其不動點(diǎn)。吸引子的產(chǎn)生與折疊有關(guān),在圖1中每進(jìn)行一次映射,區(qū)間[0,1]就被折疊一次,在Xn=1-1/μ時,滿足f(Xn)=Xn,這時折線被吸進(jìn)一個固定的點(diǎn)而不再運(yùn)動,表現(xiàn)在邏輯斯蒂曲線上則是1-1/μ成為曲線的一條漸近線,系統(tǒng)在此趨于穩(wěn)定狀態(tài),輸入與輸出平衡?？梢姴粍狱c(diǎn)作為吸引子的結(jié)果是導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定態(tài)。不動點(diǎn)實則零維的平庸吸引子。另有一類吸引子,其運(yùn)動軌道沒有周期性,并且對初始條件很敏感,人們將這類吸引子稱為奇異吸引子。奇異吸引子具有精細(xì)的層次結(jié)構(gòu),即分形結(jié)構(gòu),其維數(shù)為分?jǐn)?shù)維(fractaldimension)。第一個奇異吸引子是洛侖茲(E.N.Lorenz)在研究全球氣候模型時發(fā)現(xiàn)的,它的相圖看似貓頭鷹的面孔,分維為2.06。這種美麗的圖式激起了地理學(xué)者的無限暇想,許多地理學(xué)家正在尋找地理系統(tǒng)中的奇異吸引子。氣候在某種意義上是人地關(guān)系的中介,既然氣候系統(tǒng)中存在奇異吸引子,而人地相關(guān)作用過程又是非線性過程,可以想見,在人地相關(guān)作用系統(tǒng)中肯定有奇異吸引子的存在。由于吸引子刻畫的是系統(tǒng)行為的長遠(yuǎn)目標(biāo),尋找奇異吸引子對于研究人地相關(guān)作用的協(xié)調(diào)機(jī)制具有重要意義。奇異吸引子的分形結(jié)構(gòu)暗示了混沌與分維的關(guān)系,混沌過程常導(dǎo)致分形結(jié)構(gòu)。實際上,人地相關(guān)作用和過程自身便具有某種分形性質(zhì)。3人類相關(guān)功能的分類3.1人地合作中的地理過程混沌是自組織系統(tǒng)在時間標(biāo)度上的變化模式,而分形則是空間標(biāo)度上的組織模式,二者存在某種意義上的因果關(guān)系。討論人地關(guān)系的分維性質(zhì)有助于理解地理系統(tǒng)的動力學(xué)機(jī)制。人類參與的地理過程可表示為如下響應(yīng)形式:y=mf(x1,x2,...?xn)(3-1)式中m表示人類活動的強(qiáng)度;x1,x2,...,xn為一組自然投入要素;y表示輸出。求導(dǎo)可得dyy=dmm+nΣi=1δidxiXi(3-2)式中δi=(?y/?xi)(xi/y)(i=1,2,...,n),實為彈性公式δi=|dlny/dlnxi|(3-3)上式是分維的微分形式,可見δi具有分維意義?？梢宰C明,δi與多分形(multifractals)奇異性指數(shù)有關(guān),因此人類參與的地理過程具有多分維性,從而人地相關(guān)作用過程也具有多分維性質(zhì)。分維性質(zhì)從另一個角度反映了人地關(guān)系的非線性特征。式(3-2)顯示,在人類活動過程中,各種自然要素的投入與地理系統(tǒng)的輸出形成一種秩序,這便是自相似的分形序。通過研究分維數(shù),不僅可以獲得地理系統(tǒng)的許多信息,從而預(yù)測其變化趨勢,而且這種研究在理論上有助于理解地理系統(tǒng)中眾多的人文分形景觀的形成。3.2人文地理系統(tǒng)的分形與系地球表面看起來破碎無規(guī),實則充滿了分形構(gòu)造。所謂分形,系指由與整體以某種方式相似的各個部分構(gòu)成的一類形體,分形的基本特征是自相似性(self-similarity)。地理世界實則是一個分形世界,從山脈、水系到城市、交通網(wǎng)絡(luò)、人口分布,在某種意義上都具有分形性質(zhì)。分形是大自然的優(yōu)化結(jié)構(gòu),因此研究分形結(jié)構(gòu)關(guān)系到人類如何合理地利用地理空間問題。那么,人文地理現(xiàn)象的分形序是如何形成的呢?首先自然地理系統(tǒng)的混沌過程創(chuàng)生了大量的自然分形景觀(如山脈、水系),自然地理背景的分形構(gòu)造影響了人類活動的空間圖式,例如地表形態(tài)的分形結(jié)構(gòu)肯定以某種方式規(guī)定著“流”的路徑,從而導(dǎo)致人類活動的空間秩序。另一方面,人地相關(guān)作用的非線性機(jī)制導(dǎo)致混沌過程,這種過程又具有分維性質(zhì),分維性質(zhì)的混沌過程必然誘發(fā)出分形性質(zhì)的空間結(jié)構(gòu)。不僅如此,人文地理過程也具有分維性質(zhì),例如在一個城市體系中,城鎮(zhèn)之間的比速增長便表現(xiàn)出分?jǐn)?shù)維性。所以,人文地理系統(tǒng)的分形結(jié)構(gòu)與三個層次的因素有關(guān):第一個層次是自然過程和自然結(jié)構(gòu);第二個層次是人地相關(guān)作用;第三個層次是系統(tǒng)內(nèi)部要素的相關(guān)作用。自然過程和自然結(jié)構(gòu)的影響通過人地相關(guān)作用體現(xiàn)出來,而要素的相關(guān)作用則以人地相關(guān)作用為運(yùn)動背景。人地關(guān)系的多分維性質(zhì)暗示了這