沙粒的初始啟動(dòng)與垂直抬高

沙粒的初始啟動(dòng)與垂直抬高

沙區(qū)是一個(gè)災(zāi)難的天氣過程。目前,許多學(xué)者已從沙塵暴成因、天氣特征、沙塵暴演變趨勢(shì)以及理論機(jī)制等方面進(jìn)行了研究。Bagnold首次提出了沙粒的沖擊假說,但是第一粒沙如何啟動(dòng)的,什么地方啟動(dòng)的,一直是個(gè)問題。筆者嘗試著探討了沙粒的初始啟動(dòng)問題。另外,也分析了沙粒維持上升的條件。1砂粒開采機(jī)制分析以下僅對(duì)干燥、松散沙粒進(jìn)行分析。1.1沙面參數(shù)及約束方程設(shè)所研究的受力沙粒處在風(fēng)應(yīng)力與重力方向所組成的兩維平面(x,z)內(nèi)。設(shè)表層半徑為r的O沙粒被n個(gè)半徑為ri(i為整數(shù),1≤i≤n的沙粒接觸包圍(圖1)。該O沙粒受到的力有:重力msg=16πd3ρsg,空氣的浮力16πd3ρa(bǔ)g?n個(gè)沙粒對(duì)它的彈力Ni(1≤i≤n)以及風(fēng)應(yīng)力?f。其中,ms為沙粒的質(zhì)量,ρs、ρa(bǔ)分別為沙粒與空氣的密度,d為沙粒的直徑,g為重力加速度。另設(shè)彈力Ni與x向夾角為αi;風(fēng)應(yīng)力?f與x向夾角為γ。為了討論方便,取凈重力G=重力-浮力=16πd3(ρs-ρa(bǔ))g。則容易得到:msdwdt=msd2zdt2=n∑i=1Νisinαi+fsinγ-G(1)msdudt=msd2xdt2=n∑i=1Νicosαi+fcosγ(2)u與w為O沙粒的水平與垂直速度。半徑ri與n有以下約束關(guān)系:0≤2n∑i=1arcsinrir+ri≤2π(3)αi的定義域?yàn)閇0,2π]。(1)\,(2)式即為最表層沙粒受力的約束方程。下面由此方程組推導(dǎo)沙塵粒子啟動(dòng)機(jī)制。為了方便起見,將n個(gè)沙粒合成處于參考沙粒O兩側(cè)的兩個(gè)沙粒(圖2)。此時(shí)(1)式與(2)式變?yōu)閙sdwdt=msd2zdt2=Ν1sinβ+Ν2sinα+fsinγ-G(4)msdudt=msd2xdt2=-Ν1cosβ+Ν2cosα+fcosγ(5)這里β取(1)(2)方程中原角的補(bǔ)角,目的是使α與β的約束關(guān)系能夠更簡(jiǎn)潔地表示為三角形內(nèi)角和小于180°:0≤|α|+|β|≤π(6)當(dāng)(6)式取等號(hào)時(shí),對(duì)應(yīng)的是沙面水平;α與β取正值時(shí)對(duì)應(yīng)沙平面上極大值;兩者取負(fù)值時(shí)對(duì)應(yīng)凹槽的極小值。以下我們對(duì)公式(4)、(5)進(jìn)行分析。1.1.1風(fēng)應(yīng)力的大小由于彈力為接觸力,當(dāng)沙粒脫離地面的瞬間就變?yōu)榱懔?。?4)式中的彈力為零,可以得到沙粒啟動(dòng)的一個(gè)充分條件是:fsinγ≥G(7)顯然,此時(shí)風(fēng)應(yīng)力的大小取決于沙粒的凈重力與其方向γ。當(dāng)γ=0或者π時(shí),在水平面上不會(huì)產(chǎn)生沙粒的垂直運(yùn)動(dòng),而會(huì)產(chǎn)生沙粒的水平運(yùn)動(dòng)。顯然,這里風(fēng)應(yīng)力至少大到沙粒的凈重力時(shí)(7)式的條件才能成立。當(dāng)γ>π時(shí),沙粒受到更多向下的力,不利于沙粒的啟動(dòng)。1.1.2沙面風(fēng)應(yīng)力大凈重力時(shí)沙粒的啟動(dòng)此時(shí)對(duì)應(yīng)著凹槽。由于彈力為負(fù),因此,風(fēng)應(yīng)力大于凈重力時(shí)沙粒才可能啟動(dòng)。但是如果風(fēng)應(yīng)力大于凈重力時(shí),處于沙面上的非極小值處的沙粒已經(jīng)啟動(dòng)了,所以這種情況不利于沙粒啟動(dòng)。這時(shí)的風(fēng)應(yīng)力應(yīng)為第一表層沙粒啟動(dòng)的極大值,也就是第二層沙粒啟動(dòng)的極小值。1.1.3最小風(fēng)應(yīng)力與支撐力的關(guān)系設(shè)O1沙粒(見圖2)兩側(cè)的沙粒不動(dòng),可以證明(略),使O1沙粒啟動(dòng)的最小風(fēng)應(yīng)力是順著順風(fēng)應(yīng)力方向的O3沙粒表面運(yùn)行時(shí)的力。此時(shí)的約束條件為:x=x0+R-Rcosβ,z=z0+Rsinβ(8)dx=Rsinβdβ;dz=Rcosβdβ(9)r+r3=R(10)Ν2=0(11)其中,x0與z0為O1沙粒的初始坐標(biāo);r、r3是O1、O3的半徑。將(8)～(11)式分別代入(4)式與(5)式,經(jīng)過整理可以得到:msrd2βdt2=fsin(β+γ)-Gcosβ(12)msr(dβdt)2=-Ν1+fcos(β+γ)+Gsinβ(13)(12)式有一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是消除了支撐力,這說明,最小風(fēng)應(yīng)力與支撐力無關(guān)。對(duì)(12)式求β從β0到sign(π/2,β0)的積分平均(sign表示給π/2取β0的符號(hào)),并注意中值定理,得到:fsin(?+γ)=msrˉd2β/dt2βφsinφ+Gcos?(14)其中,d2β/dt2ˉβ是基于β的平均。近似的取?=[sign(π/2,β0)+β0]/2?=[sign(π/2,β0)-β0]/2(15)從(14)式可以看出,最小風(fēng)應(yīng)力取決于凈重力、平均角加速度、β0、平均β角?以及風(fēng)應(yīng)力方向γ。由于沙粒啟動(dòng)時(shí)的平均角速度非負(fù),φsinφ≥1,所以(14)式可以化為fsin(?+γ)≥Gcos?=16π(ρs-ρa(bǔ))d3gcos?(16)當(dāng)(16)式取等號(hào)時(shí),意義為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。此時(shí)風(fēng)應(yīng)力主要取決于粒徑d、平均β角?與風(fēng)應(yīng)力的方向γ。(16)式取等號(hào)時(shí)風(fēng)應(yīng)力隨粒徑d、?與γ的變化曲線見圖3。由圖3可以知道:①粒徑越小,最小風(fēng)應(yīng)力也越小;粒徑越大,最小風(fēng)應(yīng)力也越大,兩者成正比關(guān)系;②最小風(fēng)應(yīng)力的極小值并不存在于其方向垂直向上的時(shí)候,相反它出現(xiàn)在其方向角γ與?互余時(shí);③在γ=0且?為銳角時(shí),最小風(fēng)應(yīng)力與?反比。由此可以得到三個(gè)產(chǎn)生最小風(fēng)應(yīng)力的條件是:較小的粒徑,?與γ互余,?為直角(此時(shí)為上凸的拐點(diǎn)處)。還可以得到三個(gè)不利于產(chǎn)生最小風(fēng)應(yīng)力的條件:較大的粒徑,?取π的倍數(shù)(此時(shí)實(shí)際上對(duì)應(yīng)的是水平面),?與γ的和為π的倍數(shù)。其中最后一個(gè)條件的意義是平均彈力的方向與風(fēng)應(yīng)力的方向共線,若對(duì)?求取極限,令它等于β0,可以知道,風(fēng)應(yīng)力此時(shí)是順著沙面的坡度的。由這三個(gè)有利與不利因素可以得出,沙粒不易在水平面以及風(fēng)應(yīng)力與沙面交角較大的地方啟動(dòng),它更容易在滿足較小粒徑、?與γ互余以及?為直角的地方啟動(dòng)。1.2斜截面為單一沙面的情況下,斜直面沙粒初始脫離沙面設(shè)傾斜面與水平面的的夾角為θ(圖4),描述它的方程可以對(duì)(4)\,(5)式采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法得到。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為:x′=xcosθ+zsinθz′=-xsinθ+zcosθα′=α±θ;β′=β±θ;γ′=γ±θ(17)其中,帶′的為新坐標(biāo)中的值。當(dāng)沙斜面右斜時(shí),α′=α-θ;β′=β+θ;γ′=γ-θ;左斜時(shí),α′=α+θ;β′=β-θ;γ′=γ+θ。由于θ不是時(shí)間的函數(shù),因此得到的方程與(4)、(5)式相似,不過這時(shí)由于重力項(xiàng)的分解,會(huì)使得垂直于沙面的凈重力G變?yōu)镚cosθ,而平行的變?yōu)镚sinθ,這樣就減小了垂直方向的約束力,而增強(qiáng)了順沙面的下滑力。顯然,斜面比平面更容易啟動(dòng)沙粒。取沙面向左傾斜的情況,則類似于前面的分析,(8)式可變?yōu)?fsinγ′≥Gcosθ(18)(12)\,(13)式變?yōu)?msrd2β′dt2=fsin(β′+γ′)-Gcos(β′+θ)(19)msr(dβ′dt)2=-Ν1+fcos(β′+γ′)+Gsin(β′+θ)(20)(14)式為:fsin(?′+γ′)=msrd2β/dt2ˉβ′φ′sinφ+Gcos(?′+θ)(21)(16)式為:fsin(?′+γ′)≥Gcos(?′+θ)=16π(ρs-ρa(bǔ))d3gcos(?′+θ)(22)沙面向右傾斜時(shí)讓上述方程中的θ以-θ代替即可得到。其中,?=[sign(π/2-θ,β0)+β0]/2,π/2-θ是鉛直向與斜面的夾角?？梢钥闯?(18)式在滿足(8)式條件時(shí)的臨界值比(8)式的小,且這種趨勢(shì)隨著θ向直角靠近時(shí)越來越顯著。當(dāng)θ=π/2,此時(shí)會(huì)出現(xiàn)風(fēng)應(yīng)力極小值,等于0。顯然這也是第一粒沙粒啟動(dòng)的地方,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為陡直坡面的上凸拐點(diǎn)。(22)式在滿足(16)式條件時(shí),當(dāng)|?′+θ|由正的θ漸大以至于等于π/2時(shí),沙粒越容易啟動(dòng),尤其當(dāng)?′與θ均為正時(shí),更容易促進(jìn)|?′+θ|向π/2靠近,所以也更容易促進(jìn)沙粒的啟動(dòng)。上述|?′+θ|的大小可以簡(jiǎn)單地表示為|?z?xd|/|?z?xu|的大小,|?z?xd|/|?z?xu|越大沙粒越容易啟動(dòng)。其中,下標(biāo)u表示逆著沙平面向上,d表示順著沙平面向下。綜合上面水平與傾斜面上的分析,我們可以得到在相同條件下,沙粒初始脫離沙面的先后順序圖(圖5)。最容易使沙粒啟動(dòng)的位置是1處,也就是上凸脊的拐點(diǎn)處,接著是斜面上的凸點(diǎn)2處,第三個(gè)容易使沙粒啟動(dòng)的地方是極大點(diǎn)3處,第四是水平面4處,第五是極小值點(diǎn)5處,最不容易起沙的地方是凹槽處的拐點(diǎn)6處。1.3縮移運(yùn)動(dòng)與持相運(yùn)動(dòng)設(shè)風(fēng)向平行于沙面,下面約定順風(fēng)向指水平風(fēng)向與沙斜面外法向交角為銳角的情況,逆風(fēng)向指呈鈍角的情況。當(dāng)風(fēng)速維持在臨界風(fēng)速ub附近時(shí),由于此時(shí)逆風(fēng)向沙粒仍然保持靜止,而順風(fēng)向斜面沙粒啟動(dòng)的風(fēng)速比ub小而早先啟動(dòng),因此,會(huì)產(chǎn)生沙丘順風(fēng)向沙粒的單向運(yùn)動(dòng)(圖6)。這樣的后果是:①當(dāng)沙丘處于沙漠內(nèi)部時(shí),沙粒子會(huì)由此沙丘搬運(yùn)堆積到對(duì)面沙丘的逆風(fēng)向處,從而造成此沙丘順風(fēng)向沙面變薄而對(duì)面沙丘順風(fēng)向沙面變厚的現(xiàn)象(圖6中a)。這在形態(tài)上表現(xiàn)為沙丘位相的后移;②當(dāng)沙丘處于沙漠邊緣時(shí),在風(fēng)后方的邊緣沙丘會(huì)逐漸變小乃至于最終消失,而在風(fēng)前方的沙漠邊緣,會(huì)新生出來新的沙丘。我們把沙丘的這種運(yùn)動(dòng)稱為縮移運(yùn)動(dòng),即位相后縮沙丘前移運(yùn)動(dòng)。顯然,若考慮到沙丘與風(fēng)場(chǎng)的不均勻分布,即相鄰沙丘大小高低不同、風(fēng)速大小方向也不同,則會(huì)出現(xiàn)沙丘的疊加,單峰沙丘雙峰、多峰化的現(xiàn)象。這在沙漠里是比較常見的。使風(fēng)速繼續(xù)增大。接著依次啟動(dòng)的是水平向沙粒、凹槽沙粒、逆風(fēng)向沙粒以及下凹拐點(diǎn)的沙粒。顯然,當(dāng)下凹拐點(diǎn)沙粒啟動(dòng)時(shí),意味著整個(gè)沙面的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)風(fēng)速大到依照?qǐng)D5排序的各個(gè)沙粒所受的凈力差別不大時(shí),沙面上的沙粒會(huì)以大致相同的速度前進(jìn),這時(shí)候沙丘的形狀會(huì)得到保持。結(jié)果是看到沙粒在沙丘表面上順沙丘滾滾向前運(yùn)動(dòng)而沙丘位相保持不變的現(xiàn)象。這種運(yùn)動(dòng)可稱為持相運(yùn)動(dòng)(圖6中b)。該運(yùn)動(dòng)在邊界上有一個(gè)奇妙的現(xiàn)象是:在風(fēng)由沙漠邊緣吹過的情況下,風(fēng)后沙漠邊界處沙丘的沙粒一層層剝離而沿前面的沙丘群表面滑行,直至遠(yuǎn)程輸送到風(fēng)前沙漠邊界的無沙地帶堆積而形成新的沙丘(設(shè)風(fēng)一直維持),剝離的沙粒并不在沙漠腹地停留。而風(fēng)前沙漠邊緣新生的沙丘的沙粒即純粹是風(fēng)后沙漠邊緣被剝離沙丘的沙粒。區(qū)別是風(fēng)后沙丘的表面(底部)的沙粒變?yōu)轱L(fēng)前沙丘底部(表面)的沙粒。這好比將風(fēng)后沙丘沿以沙漠長(zhǎng)度的一半為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)180°后覆扣到風(fēng)前一樣,是一個(gè)倒置的過程。這種現(xiàn)象與前面的縮移運(yùn)動(dòng)不同:縮移運(yùn)動(dòng)在沙漠內(nèi)部的各個(gè)沙丘順風(fēng)向的沙粒都是在其相鄰的前方沙丘背面上堆積,是一個(gè)個(gè)遞傳的過程,相當(dāng)于整個(gè)沙丘系整體向前平移了半個(gè)波長(zhǎng)左右,這樣風(fēng)后邊界處的沙丘落到了次邊界處,而風(fēng)前最后一個(gè)沙丘則落到了向前擴(kuò)展了半個(gè)波長(zhǎng)左右的邊界處;持相運(yùn)動(dòng)在沙漠內(nèi)部的沙丘是保持靜止不動(dòng)的,位相并不發(fā)生任何變化,風(fēng)前的無沙處新生的沙丘則純粹是風(fēng)后邊界處沙丘“超距懸空”搬運(yùn)到風(fēng)前所致。兩者迥然不同?？梢栽O(shè)想,在維持持相運(yùn)動(dòng)、且風(fēng)向常年不變的沙漠里,其前沿沙丘必然是后沿處的沙丘。如果風(fēng)速接著增大到整個(gè)沙丘的所有沙粒皆跟著運(yùn)動(dòng),此時(shí)會(huì)產(chǎn)生整個(gè)沙丘系的平移運(yùn)動(dòng)。不過這應(yīng)當(dāng)是發(fā)生在地質(zhì)事件里。以下我們求取平化運(yùn)動(dòng)、縮移運(yùn)動(dòng)與持相運(yùn)動(dòng)的臨界值。根據(jù)斜面沙粒運(yùn)動(dòng)的(22)式可以得到縮移運(yùn)動(dòng)的極小值。容易知道(22)式的?′=π4-θ2(注意θ≤π2)。由于γ′不與?′有關(guān),故令γ′+?′=π2,即γ′=π4+θ2以使方程左邊取其最大值,此時(shí)可以得到縮移運(yùn)動(dòng)的最小臨界風(fēng)應(yīng)力fb為:fb=Gcos(?′+θ)=16π(ρs-ρa(bǔ))d3gcos(π4+θ2)(23)換算為臨界風(fēng)速ub為:ub=[43(ρs-ρa(bǔ))ρa(bǔ)dCDgcos(π4+θ2)]1/2(24)顯然,ub為θ的函數(shù),且與θ反比(θ≤π2)。當(dāng)風(fēng)速大于ub時(shí)為縮移運(yùn)動(dòng),小于ub時(shí)為平化運(yùn)動(dòng)。持相運(yùn)動(dòng)的臨界值需要求出沙丘背面沙粒受到的力。依照本文一直以沙面左斜為主的討論知道,此時(shí)即右斜沙斜面沙粒啟動(dòng)所受的力fh:fh=Gcos(?′-θ)=16π(ρs-ρa(bǔ))d3gcos(π4-θ2)(25)換算為臨界風(fēng)速uh為uh=[43(ρs-ρa(bǔ))ρa(bǔ)dCDgcos(π4-θ2)]1/2(26)顯然,uh為θ的函數(shù),且與θ正比。由于π4-θ2≥0,所以u(píng)h與ub均為正數(shù),且uh>ub>us。這說明,風(fēng)速較大地區(qū)以持相運(yùn)動(dòng)為主,風(fēng)速較小的地區(qū)以縮移運(yùn)動(dòng)為主,微風(fēng)、無風(fēng)處以平化運(yùn)動(dòng)為主。我們計(jì)算了θ=30°\,45°\,60°時(shí)uh與ub的大小(表1)。由表1可知,平化運(yùn)動(dòng)、縮移運(yùn)動(dòng)與持相運(yùn)動(dòng)的臨界速度(對(duì)平化運(yùn)動(dòng)為最大速度)均很小,這表明,在沙漠里面這三種運(yùn)動(dòng)是很容易實(shí)現(xiàn)的。不過,這里持相運(yùn)動(dòng)的最小臨界風(fēng)速要比實(shí)際產(chǎn)生持相運(yùn)動(dòng)的低得多,這是因?yàn)榇藭r(shí)求的臨界分速并不滿足順風(fēng)向沙粒與背風(fēng)向沙粒所受凈力可以相當(dāng)?shù)臈l件,它僅僅是給出了持相運(yùn)動(dòng)發(fā)生的最小可能?？紤]到持相運(yùn)動(dòng)與縮移運(yùn)動(dòng)中重力項(xiàng)的差異,可以得到持相運(yùn)動(dòng)的條件實(shí)際是:fh=fb+mgsinθ(27)為了比較平化運(yùn)動(dòng)、縮移運(yùn)動(dòng)與持相運(yùn)動(dòng)的風(fēng)速區(qū)間,繪制uh與hb比值uh/ub=cos(π4-θ2)/cos(π4+θ2)隨θ的變化曲線(圖7)。由圖中可以知道:在θ∈[0,π2]的條件下,uh與ub呈指數(shù)正比關(guān)系,且隨著θ的增加,兩者區(qū)別愈明顯。顯然,持相運(yùn)動(dòng)一般發(fā)生在沙丘比較平緩的地方,縮移運(yùn)動(dòng)一般發(fā)生在沙丘比較陡峭的地方,而平化運(yùn)動(dòng)則發(fā)生在更為陡峭的地方。反過來說,沙丘平緩的地方多以持相運(yùn)動(dòng)為主,較陡峭的地方以縮移運(yùn)動(dòng)為主,更陡峭的地方以平化運(yùn)動(dòng)為主。可以求出各個(gè)運(yùn)動(dòng)的臨界θ。平化運(yùn)動(dòng)由于其臨界值為0,故令縮移運(yùn)動(dòng)的臨界速度ub對(duì)θ的一階導(dǎo)數(shù)為零為其臨界角。容易求出θ=90°。這表明平化運(yùn)動(dòng)發(fā)生在比拐點(diǎn)更陡的地方。依照我們前面討論的假設(shè):當(dāng)θ=90°時(shí)沙粒自動(dòng)啟動(dòng),可以知道,這種自動(dòng)啟動(dòng)正是平化運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上,由于沙丘的崩坍現(xiàn)象,平化運(yùn)動(dòng)的臨界仰角會(huì)比90°小。因此,平化運(yùn)動(dòng)的臨界角為崩塌運(yùn)動(dòng)的臨界角?？s移運(yùn)動(dòng)與持相運(yùn)動(dòng)的臨界角如下求得。由于uh/ub的一、二階導(dǎo)數(shù)在θ∈[0,π2]中并不等于零(證略),故我們令其一階導(dǎo)數(shù)為1時(shí)為兩者的判點(diǎn)。經(jīng)過推導(dǎo)可以得到一階導(dǎo)數(shù)等于1的方程滿足:sin4θ-2sin3θ+2sinθ-15/16=0.0(28)用迭代法(精度為10-8)可以求得:θ=0.7277405=41.6965(29)1.4防沙較好的措施以上我們對(duì)沙粒的初始啟動(dòng)進(jìn)行了理論的分析?；诜治龅臈l件與結(jié)果,可以知道,沙粒的啟動(dòng)取決于沙粒間的松散程度、次層沙粒的堅(jiān)實(shí)度、粗糙程度、沙粒的粒徑、沙平面的坡度以及風(fēng)應(yīng)力的大小與方向。因此防沙較好的措施應(yīng)當(dāng)是在處理沙面的坡度、減小作用在沙面上的風(fēng)應(yīng)力以及設(shè)法讓沙粒間結(jié)塊等等。只要設(shè)法消除上凸脊的拐點(diǎn)、平緩坡度、減小風(fēng)速、讓風(fēng)應(yīng)力的方向與沙面相垂直以及增加水分等,自然可以起到很好的防沙效果。2沙粒臨界相對(duì)垂直速度與沙粒垂向的關(guān)系不帶電的球形沙粒受到的力有:重力:G=16πd3ρsg空氣的浮力:FB=-πd2(Pt-Pb)/4摩擦力:Fd=CDρa(bǔ)πd2w2/8及與正風(fēng)速垂直切變有關(guān)的Saffman力Fs=Κ4(μρa(bǔ))1/2d2ur(?u?z)1/2其中,d、ρs、ρa(bǔ)與CD同前,Pt與Pb分別是施加在沙粒上的上下壓強(qiáng),u為水平風(fēng)速,u?r為空氣相對(duì)于沙粒的水平相對(duì)速度,w為空氣相對(duì)于沙粒的垂直運(yùn)動(dòng)速度,ω?r為空氣相對(duì)沙粒的水平渦度,k?是垂向單位矢量,系數(shù)K在u(v?u?z)1/2小于1時(shí),K=6.46,μ是粘性系數(shù),v是運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù),拖曳系數(shù)CD為Reynolds數(shù)的函數(shù)。對(duì)于球形顆粒,CD值如下:CD={24/Re10-4<Re<1,Stokes區(qū)18.5/Re1<Re<103,Allen區(qū)0.44103<Re<2×105,Νewton區(qū)(30)容易得到沙粒的垂直運(yùn)動(dòng)方程:msdwsdt=FB±Fd+Fm+Fs-G(31)(31)式中摩擦力的符號(hào)取負(fù)號(hào)時(shí),表示沙粒具有一定初速度的沖擊起沙方式中沙粒垂速比空氣垂速大的情況;取正時(shí),表示空氣對(duì)沙粒產(chǎn)生拖曳上升作用的空氣動(dòng)力起沙方式中的沙粒垂速比空氣垂速小的情況。(31)式即:式中,ms為沙粒的質(zhì)量;ws為沙粒的垂直速度。令(32)式等于0,可以得到沙粒上升的臨界相對(duì)垂直速度:w=±(8ρsg-fm)d-12(Ρb-Ρt)-fs6CDρa(bǔ)(33)由(33)式可以知道,臨界相對(duì)垂直速度與粒徑d、壓差(Pb-Pt)、相對(duì)水平風(fēng)速u?r、水平風(fēng)速垂直梯度?u?z、水平渦度的大小與方向以及阻力系數(shù)有關(guān)。值得注意的是,與粒徑的關(guān)系在根號(hào)中取某一符號(hào)時(shí)并不呈現(xiàn)出單一的關(guān)系,它取決于重力G與Magnus力Fm的差。2.1沙粒臨界粒徑和沙通量的變化和陣風(fēng)鋒這反映的是初速度為零的氣動(dòng)力(如對(duì)流)起沙方式。(33)式根號(hào)中取正號(hào):w=(8ρsg-fm)d-12(Ρb-Ρt)-fs6CDρa(bǔ)(34)其約束條件如下:(8ρsg-fm)d-12(Ρb-Ρt)-fs6CDρa(bǔ)≥0(35)可以推得在實(shí)數(shù)域中,d{≥dc=12(Ρb-Ρt)+fs8ρsg-fm,當(dāng)fm<8ρsg,即Fm<Fmc=G無解當(dāng)fm≥8ρsg,即Fm≥Fmc=G(36)顯然,在一定的壓差、一定的相對(duì)水平風(fēng)速與水平風(fēng)速垂直梯度的情況下,能夠垂直向上運(yùn)動(dòng)的沙粒必須滿足兩個(gè)條件:一是Magnus力須小于重力;二是沙粒的粒徑必須大于臨界值dc。所以,在沙粒垂速由零逐漸增大的氣動(dòng)力起沙過程中,升力Magnus力有一定的限度,它必須小于臨界值Fmc\_\_也即重力方可;過大的Magnus力反而起到阻礙的作用,既使得有正貢獻(xiàn)的摩擦力變?yōu)樨?fù)貢獻(xiàn)。由此,沙粒的凈上升力是有一個(gè)極大值存在(令摩擦力等于零即得,此略)。所以在氣動(dòng)力起沙過程中,只有重力大于Magnus力的沙粒才可能被拖起,相反重力小于Magnus力的沙粒則永遠(yuǎn)不會(huì)。這就存在著風(fēng)對(duì)沙粒的篩選過程。不過由于Magnus力與重力中均隱含著沙粒的體積項(xiàng),Magnus力與重力的關(guān)系就轉(zhuǎn)化為大氣對(duì)沙粒的相對(duì)水平速度與相對(duì)渦度的叉積的大小和方向問題。也就是說,只有相對(duì)水平速度與轉(zhuǎn)速達(dá)到一定程度的沙粒才可以進(jìn)入大氣中;反過來,只有具有合適的水平速度場(chǎng)與渦度場(chǎng)的大氣,沙粒才會(huì)維持上升。其約束可表述如下:顯然,對(duì)西風(fēng)而言,具有徑向負(fù)渦度的大氣與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的沙粒是容易滿足(37)式的。這就是說,在徑向負(fù)渦度的大氣中順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的沙粒容易進(jìn)入大氣,而徑向正渦度的大氣中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的沙粒則不容易進(jìn)入大氣。由此可以根據(jù)大氣中的渦度場(chǎng)來推斷起沙的地點(diǎn)。臨界粒徑的變化曲線見圖8。由圖8中a可以知道,隨著Magnus力核心項(xiàng)fm與Saffman力核心項(xiàng)fs的逐漸增大,臨界粒徑也逐漸變大。這表明,在一定的轉(zhuǎn)速、一定的水平風(fēng)速垂直切變的前提下,在相對(duì)水平速度較大的初始時(shí)刻,通過氣動(dòng)力帶起的由臨界粒徑到沙粒最大粒徑所組成的沙粒粒徑譜較窄;以后隨著沙粒汲取的空氣動(dòng)量逐漸增多,從而使得水平風(fēng)速減弱、相對(duì)水平速度ur逐漸變小時(shí),所能維持上升的沙粒粒徑譜將逐漸變寬(圖8中b,dc∝ur)。這意味著在風(fēng)沙起動(dòng)到定常狀態(tài)的過程,氣動(dòng)力帶起的沙粒的最小粒徑是逐漸變小的,也就是粒徑譜逐漸向低粒徑譜區(qū)擴(kuò)展的過程。由于臨界相對(duì)垂直風(fēng)速(見(34)式)正比于粒徑,因此粒徑越小越容易起沙(當(dāng)然須大于臨界粒徑dc)。所以在這種粒徑譜擴(kuò)展的過程中,氣動(dòng)力帶起的沙粒數(shù)也將增長(zhǎng)。因而,在風(fēng)沙起動(dòng)到定常的過程,伴隨著沙粒粒徑譜的擴(kuò)展與沙通量的增加兩種效應(yīng)。不過,在沙粒汲取空氣動(dòng)量的過程中,沙粒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也會(huì)變化,若空氣的旋度場(chǎng)與沙粒的旋度方向相反,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能則逐漸變小,由fs知道,它會(huì)制約該粒徑譜變寬的趨勢(shì),這點(diǎn)還需要進(jìn)一步的研究。以上我們僅對(duì)氣動(dòng)起沙的約束條件給出了分析,下面我們以臨界相對(duì)垂速公式(34)式來分析維持沙粒垂直運(yùn)動(dòng)的有利條件?？紤]沙粒垂直速度由零逐漸產(chǎn)生的過程。顯然,此條件下的初始時(shí)刻,當(dāng)空氣垂直運(yùn)動(dòng)速度維持少變的情況下,相對(duì)垂直速度的大小本質(zhì)上反映的是空氣垂直速度的大小。因此若使得空氣垂直速度較小,需使得(34)中的臨界相對(duì)垂直速度較小。據(jù)(34)式可知,臨界相對(duì)垂直速度在(35)的約束下,正比于粒徑,反比于Magnus力,反比于壓差,反比于Saffman力,以及反比于拖曳系數(shù)CD。所以,較小的粒徑、較大的但不大于重力的Magnus力、較強(qiáng)的不穩(wěn)定(壓差)、較大的Saffman力以及較大的拖曳系數(shù)CD\_\_也即較小的Reynolds數(shù)是沙粒上升的有利條件;相反,較大的粒徑、較小的Magnus力、穩(wěn)定大氣、較小的Saffman力以及較大的Reynolds數(shù)是沙粒上升的不利條件,這也就是沙粒干沉降的有利條件。所以,氣動(dòng)力起沙的條件是:小粒徑沙粒(大于臨界值)、大風(fēng)(由Magnus力得到)、渦度場(chǎng)(與水平風(fēng)同符號(hào),由Magnus力得到)、不穩(wěn)定(含壓差反映的層結(jié)不穩(wěn)定與風(fēng)速垂直切變反映的切變不穩(wěn)定)以及小的Reynolds數(shù)。顯然,這也應(yīng)是沙塵暴發(fā)生的條件。在這5個(gè)條件里面,出人意外的是,湍流(大Reynolds數(shù))是一個(gè)不利于沙塵暴發(fā)生或沙粒上升的條件。其實(shí),由于湍流的存在,會(huì)在沙粒的背風(fēng)向產(chǎn)生渦旋,會(huì)減小沙粒所受的凈壓強(qiáng),所以湍流并不利于流體對(duì)受體產(chǎn)生力效應(yīng)。不過,由于平常所說的湍流是對(duì)地球而言的,并不對(duì)沙粒而言。但地球的尺度遠(yuǎn)比沙粒為大,因此,對(duì)沙粒而言,雖處于湍流盛行的行星邊界層之內(nèi),但對(duì)于沙粒來說也可能只是層流。所以,沙粒的運(yùn)動(dòng)軌跡反映的是單個(gè)湍流體的運(yùn)動(dòng)或者湍流群之間的相互作用與相互影響。2.2沙粒上升的影響這反映的是具有一定初速度的沖擊起沙方式。(33)式根號(hào)中取負(fù)號(hào):w=(12(Ρb-Ρt)+fs-(8ρsg-fm)d6CDρa(bǔ)(38)此時(shí)約束條件是:(12(Ρb-Ρt)+fs-(8ρsg-fm)d6CDρa(bǔ)≥0(39)即:d{≤dc=12(Ρb-Ρt)+fs8ρsg-fm,當(dāng)fm<8ρsg,即Fm<Fmc=G無關(guān)當(dāng)fm≥8ρsg,即Fm≥Fmc=G(40)(40)式與(36)式不同,(40)式的Magnus力不再受到重力的約束,它可以取到其自身值域中的任意值。由(40)式可以得知:在Magnus力小于重力的條件下,只有粒徑小于臨界粒徑的沙粒才可以維持上升,其分析結(jié)果與對(duì)(37)式的分析同,此略。而在Magnus力大于重力的條件下,(39)式自動(dòng)滿足,其分析可以對(duì)(37)式的分析結(jié)果取反:即對(duì)于西風(fēng)而言,徑向正渦度的大氣中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的沙粒容易上升,而徑向負(fù)渦度的大氣中順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的沙粒則不容易上升。不過由(38)式可以知道,在Fm≥Fmc=G的條件下,臨界相對(duì)垂直速度將增大;因此Magnus力大于重力的地方實(shí)際上是具有維持沙粒上升的潛力。臨界粒徑曲線與圖8類似,但結(jié)論也相反,即在Magnus力小于重力時(shí)的沖擊起沙過程中,隨著沙粒汲取的空氣動(dòng)量逐漸增多,從而使得水平風(fēng)速減弱、相對(duì)水平速度ur逐漸變小時(shí),其所維持上升的由小粒徑到臨界粒徑的沙粒粒徑譜將逐漸由寬變窄,從而使得維持上升的沙粒愈小,這意味著在此粒徑譜外、而先前粒徑譜內(nèi)的大粒徑粒子將會(huì)沉降。另外,由(38)式知,在此粒徑譜縮小的過程中,其臨界相對(duì)速度反而增大。因此,該過程是起沙、降沙耦合的過程。這可能沙塵暴干沉降的一種機(jī)制。顯然,由ur的變化可以推知沖擊起沙的沙粒的粒徑譜。當(dāng)Magnus力大于等于重力時(shí),不再受臨界粒徑的約束,而僅受臨界相對(duì)垂直速度的影響。當(dāng)Magnus力與重力相等時(shí),臨界相對(duì)垂速與粒徑無關(guān)。這說明,此時(shí)任何粒徑的沙粒均可以穩(wěn)定的上升,不存在風(fēng)對(duì)沙粒的篩選問題。當(dāng)Magnus力大于重力時(shí),臨界相對(duì)垂速與粒徑正比。這意味著,粒徑越大越不容易維持上升,粒徑越小越容易維持上升。(38)式的其余分析,與(34)式類似,但是結(jié)論相反,即:臨界粒徑附近的沙粒、小風(fēng)、渦度場(chǎng)(與水平風(fēng)反符號(hào))、穩(wěn)定大氣以及湍流是2.2情況的有利條件;反之則是不利條件。2.3徑向水平潮值場(chǎng)由2