基于多分形特征的金融資產價格波動研究

基于多分形特征的金融資產價格波動研究

0金融市場多分形領域研究的意義和展望近年來，許多關于金融資產價格變化的研究表明，實際價格變化的收入分布模式除了具有偏差（sked）和“峰值虛尾”等非正式特征外，還具有重要的非線性特征（公私分）。金融市場多分形特征的發(fā)現(xiàn)對于金融學的研究與發(fā)展具有重大的理論和現(xiàn)實意義。分形理論之父Mandelbrot指出,多分形理論中蘊含了分形對象復雜波動特征的豐富信息,運用它可以精確分析金融資產價格不同波動規(guī)模(風險)的不同標度(scale)關系。因此,對于金融市場多分形領域的研究不應該只停留在實證檢驗的層面,而應該進一步挖掘多分形分析中產生的對市場價格波動研究有益的統(tǒng)計信息?；谶@一認識,本文以兩種不同類型金融市場(新興資本市場和成熟資本市場)的股指價格序列為樣本,由分析價格變化的多分形特征出發(fā),充分提煉并深入探討了多分形理論中所蘊含的有關價格波動的間接統(tǒng)計信息。1樣本數據的描述和多段分析1.1市場數據來源本文采用的研究樣本為上證綜指和S&P500指數的每5分鐘高頻股價數據,數據時間區(qū)間都為2001年3月1日到2006年10月10日,每種指數約有1400個交易日。上海證券交易所每個交易日共有4個小時(240分鐘)的連續(xù)競價交易時間,采用每5分鐘記錄一個數據的方法,上證綜指每天可以產生48個高頻股價記錄(不包括收盤價)。對于S&P500指數,這樣的每天高頻股價記錄數量為80個1。1.2高頻市場指數相關關系H¨older指數α和多分形譜(multifractalspectrum)f(α)是描述多分形對象特征的一套基本語言。以上證綜指為例,采用“數盒子”(box-counting)方法計算股價序列的α和f(α)的一般過程如下:(1)假設交易日時間長度為標準化的1,則無重復均勻覆蓋上證綜指一天中48個高頻股價記錄的盒子長度分別可以取為:1、1/2、1/3、1/4、1/6、1/8、1/12、1/16、1/24、1/48。(2)當盒子長度為δ時,假設覆蓋一天中的所有高頻股價記錄需要m個盒子,每個盒子內有n個記錄,同時記一天當中的高頻股價記錄為I(t),第i個盒子中的第j個指數為I(ij),則定義在第i個盒子上的指數概率測度為:Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)/k∑t=1Ι(t)(i=1,2,?,m,k=48)。若令Nα(δ)表示具有相同H¨older指數α的長度為δ的盒子個數,則有如下冪律(Power-law)關系存在:Ρi(δ)～δα(1)Να(δ)～δ-f(α)(2)(3)定義分割函數(Partitionfunction)Sq(δ)=m∑i=1Ρqi(δ)?Sq(δ)同樣滿足冪律關系Sq(δ)～δτ(q)。在實際計算時,q的取值范圍以α和f(α)達到飽和值為準,而τ(q)的值可以通過求取在雙對數坐標軸ln(Sq(δ))～ln(δ)上的直線斜率得出,并且通過Legendre變換可以得到:α=dτ(q)dq(3)f(α)=αq-τ(q)(4)若ln(Sq(δ))～ln(δ)圖隨不同q呈現(xiàn)為斜率不等的直線,則序列具有良好的多分形特征。我們令|q|≤100,按照上述步驟,作出了上證綜指2002年6月3日和S&P500指數2002年7月23日的ln(Sq(δ))～ln(δ)圖。為清晰起見,圖1中只匯報出了當|q|≤5時的情況。由圖1可以看出,無論是上證綜指還是S&P500指數,在|q|≤5時,ln(Sq(δ))～ln(δ)圖都呈現(xiàn)出了良好的線性關系。而且經過計算,q為其它數值以及其余各天的情況也與此相同。這一結果確認了上證綜指和S&P500指數的價格波動存在多分形特征,我們可以運用多分形語言來描述和研究市場價格的變化行為。2table的標準差和多分形譜f分布的離散程度按照1.2節(jié)中的步驟,我們繼續(xù)計算了上證綜指在2002年6月3日和6月4日,以及S&P500指數在2002年7月23日和7月24日的H¨older指數α和多分形譜f(α),并將其與兩天中的價格走勢情況匯報于圖2和圖3中。由圖2可以看出,上證綜指在2002年6月3日的走勢比較平穩(wěn),價格波動幅度相對較小,這天的H¨older指數α和多分形譜f(α)的分布就較為集中;而在6月4日,上證綜指價格波動幅度相對較大,對應的α和f(α)的分布就較為離散。同樣,圖3中S&P500指數在2002年7月23日和7月24日的情況也說明了這一規(guī)律的存在。我們進一步考慮的是,可以用H¨older指數α的標準差(Sα)和多分形譜f(α)的標準差(Sf)表示一天中α和f(α)分布的離散程度,從而表示出一天中價格波動的程度大小。具體來講,由于每個指數價格盒子的概率測度Pi(δ)～δα,所以α的標準差Sα就代表了一天中具有不同概率測度盒子的測度值離散程度。Sα越大,表明當天價格走勢分布越分散,即當天價格波動的絕對程度越大。而f(α)其實就是測度對象的豪斯道夫維數(Hausdorffdimension),該維數可以用來刻畫測度對象局部混亂(復雜)的程度。豪斯道夫維數分布越分散(即f(α)的標準差Sf越大),即測度對象局部的豪斯道夫維數差別越大,則表明測度對象的混亂程度越高。因此,當Sf越大時,價格序列的局部波動混亂程度的差別就越大,一天當中的價格波動分布就越不均勻,即價格波動行為越復雜。為了驗證以上認識,圖4和圖5分別匯報了樣本區(qū)間內上證綜指和S&P500指數的收益率序列、每天價格波動的方差、Sα和Sf。由圖4和圖5可以看出,無論是上證綜指還是S&P500指數,其Sα、Sf的分布與價格波動的方差分布具有非常強的相似性,并且在很多時候,Sα對于價格大幅波動的反映要比方差更敏感,另外Sf還指示了價格波動的相對高低趨勢。值得注意的是,一些文獻中運用一天中H¨older指數α的極差Δα(Δα=αmax-αmin)來反映該天金融資產價格波動的不均勻性。但是我們認為,由于Δα只運用了一天中所有α值的兩個記錄,并沒有充分利用H¨older指數α所提供的所有波動信息,而且通過圖2和圖3我們還可以看出,多分形譜f(α)分布本身對于價格波動也有著良好的反映。因此,綜合運用α和f(α)的標準差(Sα和Sf)而不只是α的極差Δα來作為多分形波動率測度的構建基礎無疑具有更為合理和堅實的理論基礎。3金融資產價格波動的信息本文以上證綜指和S&P500指數為例,在確認了股指價格波動具有多分形特征的基礎上,充分提煉并探討了多分形語言中所蘊含的價格波動信息。運用多分形分析研究金融資產價格的波動,就像用不同倍數的放大鏡來觀察同一事物一樣,可以得到不同幅度的價格波動信息,而這些信息對于金融風險管理、衍生產品定價等具有相當的重要性。因此