山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)教師版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山西大學(xué)附中2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高三10月月考（總第四次）數(shù)學(xué)試題考查時間：120分鐘滿分：150分考查內(nèi)容：高考綜合命題人：吳晨晨審核人：張耀軍一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以，故選：C2．若集合，，則的充要條件是（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】因為集合，，若，利用數(shù)軸，可求，故選：D.3．二項式展開式的常數(shù)項為（

）A． B．60 C．120 D．240【答案】B【詳解】展開式的通項為：，令得：，所以展開式的常數(shù)項為，故選：B．某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃杯造型可以近似看成是一個圓柱挖去一個圓臺得到，其近似模型的直觀圖如圖2所示（圖中數(shù)據(jù)單位為cm），則該玻璃杯所用玻璃的體積（單位：）為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，該玻璃杯所用玻璃的體積為.故選：A5．若則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出的圖象：由圖象可知故選：B6．有6名選手（含選手甲、乙）參加了男子100米賽跑決賽（無并列名次），則在甲比乙快的條件下，甲、乙兩人名次相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】甲的名次比乙高，當(dāng)甲第一名時，乙有5種位置，其中甲乙相鄰有1種情況，當(dāng)甲第二名時，乙有4種位置，其中甲乙相鄰有1種情況，當(dāng)甲第三名時，乙有3種位置，其中甲乙相鄰有1種情況，當(dāng)甲第四名時，乙有2種位置，其中甲乙相鄰有1種情況，當(dāng)甲第五名時，乙有1種位置，其中甲乙相鄰有1種情況，所以甲的名次比乙高共有種情況，甲的名次比乙高且甲乙相鄰有5種情況，所以在甲的名次比乙高的條件下，甲、乙兩人名次相鄰的概率為.故選：C.公眾號：高中試卷君7．已知是等比數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，，，又是等比數(shù)列，所以，即，解得，所以．當(dāng)時，，又滿足，所以，，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以．故選：A.8．設(shè)橢圓的右焦點為F，橢圓C上的兩點A、B關(guān)于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，則，所以平行四邊形為矩形，故，設(shè)，，則，在直角中，，，所以，則，所以，令，得，又由，得，因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，則，故，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.9．兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則不符合這一結(jié)果的試驗是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率【答案】ABC【詳解】解：根據(jù)統(tǒng)計圖可知，實驗結(jié)果在附近波動，即其概率，則選項A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；選項B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為，故此選項不符合題意；選項C，轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為，故此選項不符合題意；選項D，從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為，故此選項符合題意；故選：ABC.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得函數(shù)的圖象，則（

）

A．B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞增D．在上有兩個極值點【答案】AC【詳解】A選項，設(shè)的最小正周期為，由圖象知，解得，因為，所以，所以，故A正確；B選項，由，得，解得，又，所以只有符合要求；由，得，故，所以，所以.由得的圖象不關(guān)于點對稱，故B不正確；C選項，由，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，又，故在上單調(diào)遞增，故C正確；D選項，當(dāng)時，，由于在上，只有為極小值點，故在上僅有一個極值點，故D不正確.故選：AC.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為.若，且，則（

）A．是減函數(shù) B．是增函數(shù)C．有最大值 D．沒有極值【答案】BD【詳解】因為，所以，設(shè)，則，因為，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，，故恒成立；當(dāng)時，，，，，故恒成立.所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.故選：BD.已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（

）A．B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前n項和為【答案】BCD【詳解】如圖所示，是三棱錐的高，是三角形的中心，設(shè)三棱錐的棱長均為，所以，.是三棱錐的內(nèi)切球的球心，在上，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球的半徑為，則由，得，得.所以，又，所以，所以.故A不正確；在上取點，使得，則，即為的中點，則球與球切于，過作與底面平行的平面，分別與交于，則球是三棱錐的內(nèi)切球，因為為的中點，所以三棱錐的棱長是三棱錐的棱長的一半，所以球的內(nèi)切球的半徑，以此類推，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，，故B正確；所以，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故C正確；，，故D正確.

故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.13．已知向量、滿足，則與的夾角是_____．【答案】【詳解】因為，則，所以，，所以，，則，又因為，所以，，因為，因此，.14.在中，角所對的邊為，且，，則_____.【答案】3【詳解】由可知，利用正弦定理可得，將代入可得，整理可得，解得或（舍）；即.故答案為：若正實數(shù)滿足，則的最小值為_____.【答案】【詳解】根據(jù)已知，所以，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.16．新冠病毒肺炎疫情防控難度極大，某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查4類人員：新冠患者、疑似患者、普通感冒發(fā)熱者和新冠密切接觸者，過程中排查到一戶6口之家被確認為新冠肺炎密切接觸者，按要求進一步對該6名成員逐一進行核糖核酸檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率相同均為，且相互獨立，該家庭至少檢測了5人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時，最大，此時_____．【答案】【詳解】由題意可得，該家庭至少檢測了5人才能確定為“感染高危戶”，則前4人檢測為陰性，第5人為陽性或前5人檢測為陰性，第6人為陽性，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得令，即，解得(舍)或（舍）或.當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值.所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，求數(shù)列和的通項公式;令設(shè)數(shù)列的前n項和為，求【答案】解：設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，則由，，，，得，解得，，，；解：由可得，，則，即，…

18．（12分）信用是指依附在人之間、單位之間和商品交易之間形成的一種相互信任的生產(chǎn)關(guān)系和社會關(guān)系.良好的信用對個人和社會的發(fā)展有著重要的作用.某地推行信用積分制度，將信用積分從高到低分為五檔，其中信用積分超過150分為信用極好；信用積分在內(nèi)為信用優(yōu)秀；信用積分在內(nèi)為信用良好；信用積分在內(nèi)為輕微失信；信用積分不超過80分的信用較差.該地推行信用積分制度一段時間后，為了解信用積分制度推行的效果，該地政府從該地居民中隨機抽取200名居民，并得到他們的信用積分數(shù)據(jù)，如下表所示.信用等級信用極好信用優(yōu)秀信用良好輕微失信信用較差人數(shù)2560653515(1)從這200名居民中隨機抽取2人，求這2人都是信用極好的概率.(2)為鞏固信用積分制度，該地政府對信用極好的居民發(fā)放100元電子消費金；對信用優(yōu)秀或信用良好的居民發(fā)放50元消費金；對輕微失信或信用較差的居民不發(fā)放消費金.若以表中各信用等級的頻率視為相應(yīng)信用等級的概率，現(xiàn)從該地居民中隨機抽取2人，記這2人獲得的消費金總額為X元，求X的分布列與期望.【答案】（1）從這200名居民中隨機抽取2人，共有種不同抽法，其中符合條件的不同抽法有，則所求概率.（2）從該地居民中隨機抽取1人，則這人獲得100元電子消費金的概率是，獲得50元電子消費金的概率是，沒有獲得電子消費金的概率是.由題意可知X的所有可能取值為0，50，100，150，200.，，，，，則X的分布列為X050100150200P故.19．（12分）長方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉(zhuǎn)至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當(dāng)二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明：在長方形中，，為中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如圖，取的中點，的中點，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點時，二面角的平面角為，平面，且，公眾號：高中試卷君到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積20．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，，則令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2），則，，∴由，得.當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，又，，且，∴在上有兩個零點需滿足條件，解得故實數(shù)的取值范圍是.21.（12分）已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為鈍角的平分線，CB與AD相交于點O，，，.

(1)求CO的長；(2)若，求的面積.【答案】（1）在中，由余弦定理得，解得或（舍去）.因為，所以.所以，解得（負值舍去），所以.因為，所以.所以.所以.（2）在中，由正弦定理可得，則，由于為銳角，所以.因為，所以，所以，所以，由余弦定理可得，解得.因為，所以，所以.22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1），，.，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當(dāng)時，恒成立．令，只需證當(dāng)時，恒成立．因為，所以在區(qū)間