福建省龍巖重點中學2023-2024學年高三上學期第一次月考數(shù)學試題（含答案）

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數(shù)學試題

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合，則中的元素個數(shù)為（）

A．8B．9C．10D．11

2．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．下列命題中，錯誤的命題有（）

A．函數(shù)與不是同一個函數(shù)

B．命題“，”的否定為“，”

C．設函數(shù)，則在上單調(diào)遞增

D．設，則“”是“”的必要不充分條件

4．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）

A．B．C．D．

5．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少1/4，要使產(chǎn)品達到市場要求，則至少應過濾的次數(shù)為（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）

A．8B．9C．10D．11

6．設定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）

A．B．

C．D．

7．已知，，，則（）

A．B．

C．D．

8．定義在上的函數(shù)滿足，時，若的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．已知為實數(shù)集的非空集合，則的必要不充分條件可以是（）

A．B．C．CRBCRAD．BRA=R

10．已知，下列命題為真命題的是（）

A．若，則B．若，則ac2>bc2

C．若，則D．若，則

11．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的周期為4

C．函數(shù)關(guān)于點中心對稱D．

12．函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（）

A．B．C．D．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知實數(shù)集R，集合A＝{x|log2x0，設命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值圍.

18.（本題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求；

（2）若，求的范圍.

19．（本題滿分12分）

已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

20.（本題滿分12分）

某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

21.（本題滿分12分）

已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，.

(1)若函數(shù)與有相同的零點，求的值；

(2)若，，求的取值范圍.

22.（本題滿分12分）

已知函數(shù)，．

(1)討論函數(shù)單調(diào)性；

(2)當時，若函數(shù)在有兩個不同零點，求實數(shù)m的取值范圍．

龍巖重點中學2023-2024學年高三上學期第一次月考

數(shù)學參考答案

題號123456789101112

答案BBCDDDABABDCDBCDABD

{2，3，4}14.15.2,-316.-1

8.【答案】B【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于對稱，

作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因為不等式的解集為，其中，根據(jù)圖象可知：當直線過點時為臨界狀態(tài)，此時，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.

12.【答案】ABD

【詳解】，當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；

當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

由，當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；

當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

于是有，因此選項AB正確，

兩個函數(shù)圖象如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，

不妨設，

且，

由，又，又當時，單調(diào)遞增，所以，

又，又，

又當時，單調(diào)遞減，所以，

，，于是有，所以選項D正確，

故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.

16.解：作出函數(shù)的圖象如下：

令，則，

由題意，結(jié)合圖象可得，，，

所以，，，因此.故答案為：.

17.解：（1）當時，，可得，

又由，所以..5分

（2）當時，可得.因為命題是命題的充分不必要條件，則，可得，等號不能同時成立，解得，所以實數(shù)的取值范圍為10分

18.1分

6分（用特殊值沒檢驗的，扣2分）

8分

12分

19．解：（1）由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，

在區(qū)間（2，+）上恒成立2分

即k+1恒成立，又，∴，故

∴的取值范圍為4分(沒有等號扣2分)

（2）設，6分

令得或由（1）知，

當時，，在R上遞增，顯然不合題意7分

②當時，，隨的變化情況如下表：

—

↗極大值↘極小值↗

由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即10分

∴，解得,綜上，所求的取值范圍為12分

20.解：（1）由題意，得，3分

即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).5分

（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，

從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，7分

21.解:(1)因為是上的奇函數(shù)，所以，

即解得2分

因為是函數(shù)的零點，所以，則4分

(2)由(1)可得，

，6分

因為奇函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，

則在上的最大值為8分

因為，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

則的最小值為和中的較小的一個.

因為，.所以10分

因為，，所以.

解得.故的取值范圍為12分

22.解（1）：因為定義域為，

所以，1分

當時，令，解得或，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，2分

當時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，3分

當時，令，解得或，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，4分

綜上可得，當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；5分

解（2）：當時，，

所以，令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

當，即時，所以在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)只有一個零點，不符合題意，舍去；6分

當，即時，又，

所以存在唯一的，使得，當時，，當時，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，

當時，此時，所以，函數(shù)只有一個零點，不符合題意，舍去；

當時，，此時有兩個零點時，應滿足，8分

即，

其中

，9分

設，，

則，令，解得，

所以當時，當時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，11分

即恒成立，所以且12分

【方法點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

龍巖一中2024屆高三上學期第一次月考

數(shù)學試題

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

命題人：王珍連審題人：馬洪亮

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合，則中的元素個數(shù)為（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】B【詳解】解不等式得：，即，而，由解得：，又，顯然滿足的自然數(shù)有9個，所以中的元素個數(shù)為9.故選：B

2．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B【詳解】由都是R上的偶函數(shù)，得，設，，為偶函數(shù)，即“都是R上的偶函數(shù)時，則必為偶函數(shù)”，反之，“若為偶函數(shù)，則不一定能推出都是R上的偶函數(shù)”，例如：取，則是R上的偶函數(shù)，而都不具備奇偶性，故“是R上的偶函數(shù)”是“都是R上的偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B．

3．下列命題中，錯誤的命題有（）

A．函數(shù)與不是同一個函數(shù)

B．命題“，”的否定為“，”

C．設函數(shù)，則在上單調(diào)遞增

D．設，則“”是“”的必要不充分條件

【答案】C【詳解】對于A選項，因為兩個函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)是不同的函數(shù)，故A正確；對于B選項，因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以B正確；

對于C選項，因為，但是，與增函數(shù)定義矛盾，所以C錯誤；

對于D選項，若，當時，推不出，當時，且，所以D正確.故選：C.

4．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D【詳解】當時為增函數(shù)，故時有成立

所以；

當時，故時有成立，所以

綜上所述：

故選：D

5．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少1/4，要使產(chǎn)品達到市場要求，則至少應過濾的次數(shù)為（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】D【詳解】設至少需要過濾次，則，即,

所以，即，又，所以，所以至少過濾11次才能使產(chǎn)品達到市場要求,故選D．

【點睛】本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的運算，考查學生的閱讀能力，考查學生的建模能力，屬于中檔題．與實際應用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解

6．設定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）

A．B．

C．D．

【答案】D【詳解】解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上也是增函數(shù)，且，，，由可得，即.當時，得，解得；

當時，可得，解得.因此，原不等式的解集為或.故選：D.

7．已知，，，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A【詳解】解：，，

令，則，當時，，當時，，

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，

當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，

即，所以，由，得，

由，得，，因為，

所以，所以，所以，即，所以，

綜上所述.故選：A.

【點睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.

8．定義在上的函數(shù)滿足，時，若的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】B【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于對稱，

作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因為不等式的解集為，其中，根據(jù)圖象可知：當直線過點時為臨界狀態(tài)，此時，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．已知為實數(shù)集的非空集合，則的必要不充分條件可以是（）

A．B．C．CRBCRAD．BRA=R

【答案】ABD

10．已知，下列命題為真命題的是（）

A．若，則B．若，則ac2>bc2

C．若，則D．若，則

【答案】CD

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷ABC，由作差法可判斷D.

【詳解】對于A，若，則，A錯誤；

對于B，若,且時，則，B錯誤；

對于C，若，則，故，則必有，C正確；

對于D，若，則，

所以，D正確.

故選：CD

11．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)的周期為2

B．函數(shù)的周期為4

C．函數(shù)關(guān)于點中心對稱

D．

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性對選項逐一分析即可.

【詳解】解：因為為偶函數(shù)，所以，

所以，則，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，

因為為奇函數(shù)，所以，所以，

所以，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，故C正確，

由與得，即，

故，所以函數(shù)的周期為4，故不正確，B正確；，故D正確.

故選：BCD.

12．函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABD【詳解】，當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

由，

當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；

當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

于是有，因此選項AB正確，

兩個函數(shù)圖象如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，

不妨設，

且，

由，又，又當時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，所以選項D正確，

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知實數(shù)集R，集合A＝{x|log2x0，設命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù)的取值圍.

17解：（1）當時，，可得，

又由，所以..5分

（2）當時，可得.因為命題是命題的充分不必要條件，則，可得，等號不能同時成立，解得，所以實數(shù)的取值范圍為10分

18.（本題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求；

（2）若，求的范圍.

1分

6分（用特殊值沒檢驗的，扣2分）

8分

12分

19．（本題滿分12分）

已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

解：（1）由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，

在區(qū)間（2，+）上恒成立2分

即k+1恒成立，又，∴，故

∴的取值范圍為4分(沒有等號扣2分)

（2）設，6分

令得或由（1）知，

當時，，在R上遞增，顯然不合題意7分

②當時，，隨的變化情況如下表：

—

↗極大值↘極小值↗

由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即10分

∴，解得,

綜上，所求的取值范圍為12分

20.（本題滿分12分）

某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

解：（1）由題意，得，3分

即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).5分

（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，

從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，7分

21.（本題滿分12分）

已知函數(shù)是上的奇函