高中數(shù)學人教A版選修2-22.1.2類比推理【練習】

選修2-22.1.2類比推理一、選擇題1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤【答案】B【解析】由合情推理得出的結(jié)論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結(jié)論本身就是一個猜想，C不正確；合情推理結(jié)論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應選B.2．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都壞了④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④【答案】C【解析】①是類比推理；②④都是歸納推理，都是合情推理．3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為四面體四個面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)B．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)abcD．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)【答案】A【解析】邊長對應表面積，內(nèi)切圓半徑應對應內(nèi)切球半徑．故應選A.4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認為比較恰當?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．5．類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長等于底邊的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點可得四面體的對應性質(zhì)：(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積(2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于第四個面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點其中類比推理方法正確的有()A．(1)B．(1)(2)(3)C．(1)(2)D．都不對【答案】B【解析】以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確．6．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由向量的有關(guān)運算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應選B.二、填空題11．設f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．【答案】3eq\r(2)【解析】本題是“方法類比”．因等比數(shù)列前n項和公式的推導方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝＋＋…＋，而當x1＋x2＝1時，有f(x1)＋f(x2)＝＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故所求答案為6×eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).12．六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)等于________．【答案】4AAeq\o\al(2,1)＋4AB2＋4AD2【解析】ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝(ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1))＋(BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1))＝2(AAeq\o\al(2,1)＋AC2)＋2(BBeq\o\al(2,1)＋BD2)＝4AAeq\o\al(2,1)＋2(AC2＋BD2)＝4AAeq\o\al(2,1)＋4AB2＋4AD2.13．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則過此點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，而在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢＝________.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．【答案】π·a·b；eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1【解析】當橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得eq\f(x0,r2)·x＋eq\f(y0,r2)·y＝1，則過橢圓上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1，其嚴格證明可用導數(shù)求切線處理．14．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立．【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)【解析】從分析所提供的性質(zhì)入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當n<19－n時，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝eq\f((19－2n)(an＋1＋a19－n),2)＝0，∴等式成立．