第五章 貝塞爾函數(shù)講解課件

第五章貝塞爾函數(shù)第五章貝塞爾函數(shù)講解5.1貝塞爾方程

在利用分離變量法求解其它偏微分方程的定解問題時，會導(dǎo)出其它形式的常微分方程的邊值問題，從而得到各種各樣的坐標(biāo)函數(shù)---特殊函數(shù)。如貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項式等第五章貝塞爾函數(shù)講解

在2.3節(jié)分析了圓域內(nèi)的二維拉譜拉斯方程的定解，溫度是穩(wěn)定分布，與時間沒有關(guān)系。分離變量

在極坐標(biāo)系中：化簡引入常量

歐拉方程第五章貝塞爾函數(shù)講解5.1.1貝塞爾方程的導(dǎo)出

假設(shè)半徑為R的圓形薄盤，上下面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為零度，且初始溫度已知，求圓盤內(nèi)溫度的分布規(guī)律。

由于溫度是不是穩(wěn)定分布，而是瞬時分布，即可表示這第五章貝塞爾函數(shù)講解分離變量化簡引入常量Helmholtz方程(5.5)為了求Helmholtz方程(5.5)，可在極坐標(biāo)中進行求解(5.7)(5.8)解：采用分離變量第五章貝塞爾函數(shù)講解再次分離變量(5.9)(5.10)

由于溫度函數(shù)u(x,y,t)是單值的，所以v(x,y)也是單值，因此應(yīng)是以2為周期的函數(shù)。因此，,方程(5.10)的解為：第五章貝塞爾函數(shù)講解將代入(5.9)式得到(5.11)n階貝塞爾方程令，記F(r)=y(x)，則(5.11)轉(zhuǎn)化為：(5.12)貝塞爾方程由于圓盤上的溫度是有限的，如圓心。因此，,結(jié)合邊界條件，(5.11)式可定義為求解以下定解問題。(5.12)為二階變系數(shù)常微分方程，其解稱貝塞爾函數(shù)或柱函數(shù)第五章貝塞爾函數(shù)講解(5.12)貝塞爾方程求解貝塞爾方程(5.12)，假設(shè)如下冪級數(shù)解：(5.13)將(5.13)代回貝塞爾方程(5.12)，整理得到：第五章貝塞爾函數(shù)講解故有：由于，可得,需要分別討論：(5.14)(5.15)(5.16)情形1：n不為整數(shù)和半奇數(shù)，則s1-s2=2n也不為整數(shù)。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：(5.17)第五章貝塞爾函數(shù)講解(5.18)Jn(x)稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)將所求的系數(shù)代回(5.13)式得到第一個特解引入函數(shù)并利用其遞推式：，則一般項的系數(shù)變?yōu)椋旱谖逭仑惾麪柡瘮?shù)講解取s2=-n時：(5.19)可以得到方程另一個特解J-n(x)稱為-n階第一類貝塞爾函數(shù)第五章貝塞爾函數(shù)講解Yn(x)稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)，諾伊曼函數(shù)Jn(x)和J-n(x)線性無關(guān)，故貝塞爾方程(5.12)的通解可表示為：(5.20)令，則(5.20)可寫成(5.21)第二個線性無關(guān)特解貝塞爾方程(5.12)的通解可表示為：(5.22)第五章貝塞爾函數(shù)講解情形2：n為整數(shù)，則s1-s2=2n也為整數(shù)。與前面相同處理，當(dāng)n>=0時，方程的一個解為：(5.23)(5.21)第五章貝塞爾函數(shù)講解

可見，不論n是不明為整數(shù)，貝塞爾方程(5.12)的通解都可以表示為：情形3：n為半奇數(shù)后面討論。第五章貝塞爾函數(shù)講解Jn（x）第五章貝塞爾函數(shù)講解Yn（x）第五章貝塞爾函數(shù)講解Kn（x）第五章貝塞爾函數(shù)講解In（x）第五章貝塞爾函數(shù)講解(5.18)5.2貝塞爾函數(shù)的遞推式由(5.18)式可以得到第一類貝塞爾函數(shù)遞推式：第五章貝塞爾函數(shù)講解第二類貝塞爾函數(shù)第五章貝塞爾函數(shù)講解半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)第五章貝塞爾函數(shù)講解第五章貝塞爾函數(shù)講解5.1.2.虛宗量貝塞耳方程

階虛宗量貝塞耳方程定義：通解：第五章貝塞爾函數(shù)講解5.3貝塞爾函數(shù)展開為級數(shù)由于圓盤上溫度的定解問題可表示：貝塞爾方程(5.32)的通解可表示為：(5.32)(5.33)第五章貝塞爾函數(shù)講解(5.34)由于(5.34)式可知：當(dāng)取不同值時，Jn(x)有零值,即貝塞爾函數(shù)的零點。由于為無窮大，由邊界條件可以得到D=0，再利用另一個條件可以得到：1.Jn(x)有無窮多個零點,關(guān)于原點對稱分布。2.Jn(x)的零點和Jn+1(x)的零點是彼此相間分布，且Jn(x)的零點更靠近坐標(biāo)原點。3.當(dāng)x趨于無窮大時，Jn(x)兩個零點之間的距離接近于π。第五章貝塞爾函數(shù)講解J0(x)J1(x)第五章貝塞爾函數(shù)講解利用上述關(guān)于貝塞爾函數(shù)的零點的結(jié)論，可設(shè)為Jn(x)的正零點，則由（5.34）可得：即與這些固有值相對應(yīng)的函數(shù)F可表示為：第五章貝塞爾函數(shù)講解二、正交關(guān)系貝塞耳方程是施圖姆－劉維爾本征值方程：在區(qū)間(0,R)上帶權(quán)r正交：第五章貝塞爾函數(shù)講解三貝塞耳函數(shù)的模定義積分：的平方根，為貝塞爾函數(shù)的模：第五章貝塞爾函數(shù)講解四傅立葉-貝塞耳級數(shù)在求解貝塞耳方程時，往往要把已知函數(shù)按貝塞耳函數(shù)展開為級數(shù)。如果f(r)為定義在區(qū)間(0,R)內(nèi)的分段連續(xù)函數(shù)，且積分的值有限，則它必可以展開為以下級數(shù)形式：(5.42)性質(zhì)：1.在級數(shù)f(r)的連續(xù)點(5.42)收斂于f(r);2.在