大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第三章線性方程組第五節(jié)(課堂講義)

主要內(nèi)容線性方程組的向量表示形式線性方程組有解判別定理第五節(jié)一般線性方程組的解法線性方程組有解判別定理線性方程組的求解步驟整理課件在有了向量和矩陣的理論準(zhǔn)備之后，我們現(xiàn)在可以來(lái)分析一下線性方程組的問(wèn)題，給出線性方程組有解的判別條件.設(shè)線性方程組為一、線性方程組的向量表示形式整理課件引入向量于是線性方程組(1)可以改寫成向量方程x1

1+x2

2+…+xn

n

=

.(3)顯然，線性方程組(1)有解的充分必要條件為向量

可以表示成向量組

1,

2,…,

n

的線性組合.用秩的概念，這個(gè)條件可以敘述如下：整理課件二、線性方程組有解判別定理定理7

線性方程組(1)有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣整理課件有相同的秩.證明先證必要性.設(shè)線性方程組(1)有解,就是說(shuō)，

可以經(jīng)向量組

1,

2,…,

n

線性表出.由此立即推出，向量組

1,

2,…,

n

與

1,

2,…,

n,

等價(jià)，因而有相同的秩.這兩個(gè)向量組分別整理課件是矩陣A

與A的列向量組.A因此，矩陣A

與有相同的秩.再證充分性.A設(shè)矩陣A與有相同的秩，就是說(shuō)，它們的列向量組

1,

2,…,

n

與

1,

2,…,

n,

有相同的秩，令它們的秩為r.

1,

2,…,

n中的極大線性無(wú)關(guān)組是由r

個(gè)向量組成，無(wú)妨設(shè)

1,

2,…,

r是它的一個(gè)級(jí)大線性無(wú)關(guān)組.顯然整理課件

1,

2,…,

r也是

1,

2,…,

r,的一個(gè)級(jí)大線性無(wú)關(guān)組，因此向量

可以經(jīng)

1,

2,…,

r線性

表出，它當(dāng)然可以經(jīng)

1,

2,…,

n

線性表出.因此，方程組(1)有解.證畢整理課件三、一般線性方程組的解法根據(jù)克拉默法則，可以得到一般線性方程組的一個(gè)解法.這個(gè)解法有時(shí)在理論上是有用的.設(shè)線性方程組(1)有解，矩陣A與A的秩都等于r，而D

是矩陣A

的一個(gè)不為零的r

級(jí)子式A(當(dāng)然它也是的一個(gè)不為零的子式)，為了方便起見(jiàn)，不妨設(shè)D

位于A

的左上角.整理課件顯然，在這種情況下，A的前r

行就是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，第r+1,…,s

行都可以經(jīng)它們線性表出.因此，方程組(1)與同解.當(dāng)

r=n

時(shí)，由克拉默法則，方程組(4)有唯一

解，也就是方程組(1)有唯一解.整理課件當(dāng)r<n

時(shí)，將方程組(4)改寫為方程組(5)作為以x1,x2…,xr

為變量的一個(gè)方程組，它的系數(shù)行列式D

0.由克拉默法則，對(duì)于xr+1,…,xn

的任意一組值，方程組(5)，也就是方程組(1)，都有唯一解.xr+1,…,xn

就是方程組(1)整理課件的一組自由未知量.對(duì)(5)用克拉默法則，可以解出x1,x2…,xr

：(6)就是方程組(1)的一般解.上述一般線性方程組的求解方法，可歸納成以下步驟：整理課件例1

解線性方程解首先我們來(lái)判別方程組是否有解.把方程組的增廣矩陣化為行階梯形整理課件初等行變換因?yàn)橄禂?shù)矩陣和增廣矩陣的秩均為2，所以方程組有解.它的一個(gè)同解方程組是整理課件把x1,x5

取作非自由未知量，x2,x3,x4

當(dāng)作自由未知量，并把方程組變形成解之得方程組的一般解為整理課件本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.