分式方程及其應(yīng)用1

PAGEPAGE6分式方程及其應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2.解分式方程的一般步驟：（1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。3.列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。二、分類(lèi)解析例1.解方程：分析：首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根解：方程兩邊都乘以，得例2.解方程分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個(gè)分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1，而分子也有這個(gè)特點(diǎn)，因此，可將分母的值相差1的兩個(gè)分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個(gè)分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。解：原方程變形為：方程兩邊通分，得經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是例3.解方程：分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)式之和。解：由原方程得：即例4.解方程：分析：此題若用一般解法，則計(jì)算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。解：原方程變形為：約分，得方程兩邊都乘以注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識(shí)。因此要學(xué)會(huì)根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用特殊方法解分式方程。三、中考題解：例1．若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（）A. B.C. D.分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D。例2.甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)？分析：利用所用時(shí)間相等這一等量關(guān)系列出方程。解：設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹(shù)，由題意得：答：甲班每小時(shí)種樹(shù)20棵，乙班每小時(shí)種樹(shù)22棵。說(shuō)明：在解分式方程應(yīng)用題時(shí)一定要檢驗(yàn)方程的根。四、題型展示：例1.m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以，得整理，得說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根例2.甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)零件所用的時(shí)間和乙做60個(gè)零件所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)零件？分析：等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間

例3.甲工人與乙工人生產(chǎn)同一種零件，甲每小時(shí)比乙多生產(chǎn)8個(gè)，現(xiàn)在要求甲生產(chǎn)出168個(gè)這種零件，要求乙生產(chǎn)出144個(gè)這種零件，他們兩個(gè)人誰(shuí)能先完成任務(wù)呢？分析：先用含x的代數(shù)式分別表示甲和乙生產(chǎn)168個(gè)和144個(gè)零件各需要的時(shí)間，再比較時(shí)間的大小從而得出結(jié)果.需要注意的是，本題要用到求差比較兩數(shù)大小與分類(lèi)的思想。提醒：①利用求差來(lái)比較兩個(gè)數(shù)的大小，是比較大小的一種常用方法。②求差的結(jié)果無(wú)法直接與0比較大小時(shí)，則必須討論各種可能出現(xiàn)的情況。解：設(shè)乙每小時(shí)生產(chǎn)x個(gè)零件，則甲每小時(shí)生產(chǎn)（x+8）個(gè)零件。則乙生產(chǎn)144個(gè)這種零件需小時(shí)，甲生產(chǎn)168個(gè)這種零件需小時(shí)。∴∵x>0，∴x(x+8)>0∴當(dāng)x>48時(shí)，乙先完成任務(wù)；當(dāng)x=48時(shí)，兩人同時(shí)完成任務(wù)；當(dāng)x<48時(shí)，甲先完成任務(wù)。五、鞏固提高1.填空：(1)一件工作甲單獨(dú)做要m小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要n小時(shí)完成，如果兩人合做，完成這件工作的時(shí)間是______小時(shí)；(2)某食堂有米m公斤，原計(jì)劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計(jì)劃多用天數(shù)是______;(3)把a(bǔ)千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為_(kāi)_____千克.2.填空（1.）甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車(chē)，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車(chē)的速度（）A. B.C. D.（2.）如果關(guān)于x的方程A. B. C. D.33.列方程解應(yīng)用題.(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個(gè)，當(dāng)?shù)诙渭庸r(shí)，他革新了工具，改進(jìn)了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個(gè)小時(shí).已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時(shí)每小時(shí)加工多少零件?(2)某人騎自行車(chē)比步行每小時(shí)多走8千米，如果他步行12千米所用時(shí)間與騎車(chē)行36千米所用的時(shí)間相等，求他步行40千米用多少小時(shí)?(3)已知輪船在靜水中每小時(shí)行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時(shí)間與逆流航行48千米所用的時(shí)間相同，那么此江水每小時(shí)的流速是多少千米?(4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車(chē)從A地開(kāi)往B地，大汽車(chē)比小汽車(chē)早出發(fā)5小時(shí)，小汽車(chē)比大汽車(chē)晚到30分鐘.已知兩車(chē)的速度之比是5：2，求兩輛汽車(chē)各自的速度.（5）.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩隊(duì)合作2天就完成了全部工程。已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？4.解方程：5求x為何值時(shí)，代數(shù)式的值等于2？部分答案1.由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車(chē)的路程為千米。又已知乘車(chē)的時(shí)間為b小時(shí)，故汽車(chē)的速度為2.把方程兩邊都乘以若方程有增根，則3.（1）分析：方程左邊很特殊，從第二項(xiàng)起各分式的分母為兩因式之積，兩因式的值都相差1，且相鄰兩項(xiàng)的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂項(xiàng)，即用“互為相反數(shù)的和為0”將原方程化簡(jiǎn)解：原方程可變?yōu)椋?）分析：用因式分解（提公因式法）簡(jiǎn)化解法