線性代數(shù)第三章 復(fù)習(xí)概要

第三章向量一．n維向量的定義：數(shù)域F中n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組。二．n維向量的運(yùn)算：向量加法，數(shù)乘三．線性組合與線性表出四．線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)重要結(jié)論與定理：?jiǎn)蝹€(gè)向量線性無(wú)關(guān)。包含零向量的向量組一定線性相關(guān)。（證明）一個(gè)向量組線性相關(guān),則加上任意多個(gè)(有限個(gè))向量后，新向量組仍線性相關(guān)。(局部相關(guān),整體相關(guān))（證明）若一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān),取出其中任一部分也必定線性無(wú)關(guān)。(整體無(wú)關(guān)，局部無(wú)關(guān))任意n+1個(gè)n維向量，必定線性相關(guān)。（齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，有非零解）一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則在相同位置處都增加一個(gè)分量，得到的新向量組（稱為原向量組的加長(zhǎng)組）仍線性無(wú)關(guān)。（無(wú)關(guān)組加長(zhǎng)組仍無(wú)關(guān)）一個(gè)向量組是線性相關(guān)，在相同位置去掉分量，得到新的向量組（稱為原向量組的縮短組）仍線性相關(guān)。（相關(guān)組縮短組相關(guān)）若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則必可由線性表出，且表示方法唯一。（證明）向量組Ⅰ，向量組Ⅱ，Ⅱ中每一個(gè)向量都可由Ⅰ表出，則向量組Ⅱ一定線性相關(guān)。（個(gè)數(shù)多的可由少的線性表出，多的一定線性相關(guān)）若向量組可由線性表出，且線性無(wú)關(guān)，則。（無(wú)關(guān)的向量組不能由比它個(gè)數(shù)少的向量組線性表出）五．向量組的極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩1極大無(wú)關(guān)組的定義2極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)1)一個(gè)向量組與它的任一個(gè)極大無(wú)關(guān)組之間可以互相線性表出。2）一個(gè)向量組S的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組S1，S2之間也可互相線性一表出。（S1，S2等價(jià)）3）一個(gè)向量組任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必一樣多。相關(guān)例題例3.1設(shè)是一組n維向量，則下列正確的是（）若不線性相關(guān)，就一定線性無(wú)關(guān)。如果存在個(gè)全為零的數(shù)，使，則線性無(wú)關(guān)。若向量組線性相關(guān)，則可由線性表示。向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是不能由其余n-1個(gè)向量線性表出。例3.2n維向量組（）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是:()存在不全為零的數(shù)，使中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出例3.3向量組線性相關(guān)的充要條件是:()A.中有一零向量B.中任意兩個(gè)向量的分量成比例C.中有一個(gè)向量是其余向量的線性線合D.中任意一個(gè)向量都是其余向量的線性組合例3.4n維向量組線性無(wú)關(guān)的充分條件是:()A.均不是零向量B.中任意兩個(gè)向量的分量不成比例C.向量的個(gè)數(shù)D.某向量可以由線性表示,且表示式唯一例3.5已知向量組線性無(wú)關(guān),則向量組:()A.,,,線性無(wú)關(guān)B.,,,線性無(wú)關(guān)A.,,,線性無(wú)關(guān)B.,,,線性無(wú)關(guān)例3.6設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組和,若存在兩組不全為零的數(shù)和,使,則()A.和都線性相關(guān)B.和都線性無(wú)關(guān)C.線性無(wú)關(guān)D.線性相關(guān)例3.7若向量組線性無(wú)關(guān),線性相關(guān),則下列結(jié)論正確的是()A.必可由線性表出B.必不能由線性表出C.必可由線性表出D.必不能由線性表出例3.8設(shè)向量可由向量組線性表出,但不能由向量組Ⅰ線性表出,記向量組Ⅱ,則()A.不能由(Ⅰ)線性表出,也不能由(Ⅱ)線性表出B.不可由(Ⅰ)線性表出,但可由(Ⅱ)線性表出C.可由(Ⅰ)線性表出,也可由(Ⅱ)線性表出D.可由(Ⅰ)線性表出,但不能由(Ⅱ)不線性表出例3.9設(shè)n維向量組Ⅰ:()線性無(wú)關(guān),則n維列向量組Ⅱ：線性無(wú)關(guān)的充分必要條件為()A.向量組可由向量組線性表出B.向量組可由向量組線笥表C.向量組與向量線等價(jià)D.矩陣與矩陣等價(jià)例3.10設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),向量可由線性表出,而向量不能由線性表出,則對(duì)于任意常數(shù),必有()A.線性無(wú)關(guān)B.線性相關(guān)C.線性無(wú)關(guān)D.線性相關(guān)例3.11設(shè)向量組線性相關(guān),線性無(wú)關(guān),問(wèn)(1)能否由線性表出(2)能否由線性表出?例3.12設(shè),,,問(wèn)是否可表示成,,的線性組合.例3.13已知,,,問(wèn)(1)a,b取何值時(shí)，不能由線性表出（2）a,b取何值時(shí)，能由線性表出例3.14設(shè)三階矩陣,三維向量,且與線性相關(guān),求例3.15設(shè)都是n維向量，可由線性表示，但不能由線性表示，證明：可由線性表示.例3.16設(shè)線性無(wú)關(guān),則是否線