一元一次方程 省賽獲獎

一元一次方程瀘溪縣第二中學問題：一輛客車和一輛卡車同時沿從A地出發(fā)同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h,卡車的行駛速度是50km/h,，客車比卡車早1小時經(jīng)過B地，A,B兩地之間的路程是多少？一、方程1.方程的概念我們已經(jīng)學過整式和等式，回憶一下等式，我們知道，表示相等關系的式子叫做等式。比如3+4＝7，4÷2＝2等等。方程是指含有未知數(shù)的等式。如：4x＝456，，，4x+7y＝35z等等，在這里，有兩個要點，一個是要含有未知數(shù)，還有一個是必須是等式（以后還要學到不等式）。2.未知數(shù)在研究方程之前未知的數(shù)叫未知數(shù)。如5x-4=8中，x是未知數(shù)，而5，-4，8是已知數(shù)。例1用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？聯(lián)系實際探究新知解：設正方形的邊長為xcm，然后發(fā)現(xiàn)相等關系：4×邊長=周長可以利用這個相等關系，得到方程：4x=24

例2

一臺計算機已使用1700小時，預計每月再使用150小時，經(jīng)過多少個月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時？

聯(lián)系實際探究新知解：設x個月后這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時，得到方程：1700+150x=2450例3某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？聯(lián)系實際探究新知解：設這個學校有x名學生，那么女生數(shù)就是0.52x，男生數(shù)是（1－0.52）x，可列方程：0.52x－（1－0.52）x=80

概念：只含有一個未知數(shù)（），

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1（）的方程

叫做一元一次方程。（1）4x=24；（2）4x+2(35－x)=94；（3）1700+150x=2450；（4）0.52x－（1－0.52）x=80歸納總結(jié)元次下列方程有什么共同的特點？（1）4x+2(35－x)=94；（2）4x=24；（3）1700+150x=2450；（4）0.52x－（1－0.52）x=80想一想

①只含有一個未知數(shù)；

②未知數(shù)的最高次數(shù)都是1。共同特點：例題1：下列四個式子中，是方程的為（）Ａ． B． Ｃ． Ｄ．練習1.判斷下列各式是不是方程，并說明理由：(1)3+5=4+4

(2)2a+3b

(3)x+2y=5

(4)3+(-2)=8-|7|

(5)x+6=3x-5

（1）不是方程。因為它是不含未知數(shù)的等式；（2）不是方程。因為它不是等式，它是一個代數(shù)式；（3）x+2y=5是方程，它是含有未知數(shù)x,y的等式。（4）不是方程。因為它是不含未知數(shù)的等式。（5）x+6=3x-5是方程，它是含有未知數(shù)x的等式。X=1000和x=2000，哪一個能使方程

0.52x-（1-0.52）x=80左右兩邊相等？做一做：方程的解：使方程左右兩邊

的未知數(shù)的值。把x=2000代入原方程，左邊=80，右邊=80，左邊=右邊，所以x=2000是原方程的解。解方程：求一個方程的解的過程。相等練習提高練習1：鳥巢里的環(huán)形跑道一周長400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？解：設跑x周可以跑到3000m，根據(jù)題意可得：400x=3000（1）2x+3y-1；(2)

x2+2x+1=0；

（3）x+2y=3；（4）1-x=x+1；（5）x2+3=4；（6）x+y=5；（7）1+7=15-8+1；（8）2χ2-5χ+1=0

；根本辦法：

下列各式是一元一次方程嗎？

判斷：①有1個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是1(1)-2+5=3(2)3χ-1=0(3)y=3(4)χ+y>2(5)2χ2-5χ+1=0(6)χy-1=0(7)2m-n(8)S=πr2

根本辦法：①有未知數(shù)②是等式下列各式是不是方程？

判斷：3.方程的解使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。只含有一個未知數(shù)的方程的解，也叫做根。反過來，已知方程的解，則代入后，方程左右兩邊的值相等（可以用于驗算）。例題2：x＝3是下面哪個方程的解（ ）A.B.3x-9＝6xC.D.3x+4＝7例題3：方程3x-7y＝6-y的解是（ ）A.x＝0，y＝-1 B.x＝2，y＝0 C.x＝1，y＝ D.以上都是例題4：檢驗x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。

4.會根據(jù)已知條件列出方程。

例題5：根據(jù)下列條件列出方程

（1）某數(shù)比它的4倍小8。

（2）代數(shù)式與x+1互為相反數(shù)。

。練習2．根據(jù)下列條件列出方程

（1）某數(shù)的8倍減去5等于它的4倍加上3；

（2）某數(shù)比它的大7；

（3）某數(shù)與3的和的平方比它的平方大4；

（4）某數(shù)與5的差的3倍等于33；

（5）某數(shù)與-7的和的與某數(shù)加上的和互為相反數(shù)；

（6）某數(shù)的平方比它自身的2倍多8。

解：設某數(shù)為x，則根據(jù)條件列出方程為：

(1)8x-5=4x+3

(2)x-x=7或x=x+7

(3)(x+3)2-x2=4

(4)3(x-5)=33

(5)(x-7)+(x+)=0

(6)x2=2x+8

練習3．說出下列變形的依據(jù)：

(1)2x-5=3，2x=8

(2)3x=27，x=9

(3)-3x=，x=-

(4)-x=4，x=-12

(5)=2，x+3=10

(6)=x+6，x-2=3x+18（X-2=3X+6）注意：①使用等式性質(zhì)時注意方程兩邊同時進行相同的變化，不要只顧一邊，忘記另一邊。

②當方程某一邊是多項式時，要注意使用分配律，避免出現(xiàn)錯誤。練習4．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。

分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右兩邊相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，這是一個關于|a|的方程，可以把|a|求出來，再進一步確定a的值。

解：∵x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，

∴2×(-4)+3|a|=-4-1，

∴-8+3|a|=-5，

由等式的基本性質(zhì)1得：-8+8+3|a|=-5+8，

即3|a|=3，

由等式的基本性質(zhì)2得：|a|=1，

∴a=±1。二.一元一次方程只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a≠0)，它的解是x=。

我們判斷一個方程是不是一元一次方程要看它化簡后的最簡形式是不是標準形式ax+b=0(a≠0)。例如方程3×2+5=8x+3×2，化簡成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一個未知數(shù)x，且x的次數(shù)是一次，但化簡后為0x=0，不是一元一次方程。例題6：方程（a-1）x2-ax+1=0是一元一次方程，則a等于（）A、0 B、1 C、±1 D、-1*一元一次方程判斷前提是整式方程。三.解一元一次方程1.首先，我們回憶一下等式的性質(zhì)：⑴等式兩邊加（或減）同一個數(shù)字(或式子)，結(jié)果仍相等。⑵等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。*由于方程也屬于等式，所以也有上述性質(zhì)。解方程過程中，都要用到以上性質(zhì)。

2．解一元一次方程的一般步驟：

（1）方程含有分母時要先去分母，使過程簡便，具體做法為：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)。要注意不要漏掉不含分母的項，如方程，去分母得10x+3=3就錯了，因為方程右邊忘記乘以6，造成錯誤。（2）去括號：按照去括號法則先去小括號，再去中括號，最后去大括號。特別注意括號前是負號時，去掉負號和括號，括號里的各項都要變號。括號前有數(shù)字因數(shù)時要注意使用分配律。

（3）移項：把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊。注意移項要變號。

（4）合并同類項：把方程化成最簡形式ax=b(a≠0)。

（5）把未知數(shù)的系數(shù)化成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=。

解方程時上述步驟有些可能用不到，并且也不一定按照上述順序，要根據(jù)方程的具體形式靈活安排求解步驟。例題7：利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）x+7＝26；（2）-5x＝20；（3）解:(1)兩邊減7，得

x+7-7=26-7

于是

x=19(2)兩邊同除以-5，得于是

x=-4解:(3)兩邊加5，得化簡得兩邊同乘-3，得

x=-27例題8：解方程(x-5)=3-(x-5)

分析：按常規(guī)此方程應先去分母，去括號，但發(fā)現(xiàn)方程左右兩邊都含有x-5項，所以可以把它們看作一個整體，移項，合并同類項，使運算簡便。

解：移項得：(x-5)+(x-5)=3

合并同類項得：x-5=3

∴x=8。

例題9：解方程解：因為方程含有分母，應先去分母。

去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2)（注意每一項都要乘以6）

去括號：12x-3x-3=8-2x-4

(注意分配律及去括號法則)

移項：12x-3x+2x=8-4+3

合并同類項：11x=7

系數(shù)化成1：x=。例題10：

解法1：從外向里逐漸去括號，展開求解：

去大括號得：

去中括號得：

整理得：

去小括號得：

去分母得：x+2+12=15

移項，合并同類項得：x=1。

解法2：從內(nèi)向外逐漸去括號，展開求解：

去小括號得：

去中括號得：

去大括號得：

去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945

即：x+2+12+90+840=945

移項合并同類項得：∴x=1。

注意：從上面的兩種解法可以看到，解一元一次方程并不一定要嚴格按照前面說的步驟一步一步來，可以按照具體的題目靈活運用方法。例題11：解方程

分析：此方程含括號，因為，所以先去中括號簡便。

解：去中括號：

去小括號：

去分母：5x-20-24-40x=60

移項：5x-40x=60+44

合并同類項：-35x=104

系數(shù)化成1得：x=-。例題12：解方程

分析：本方程分子、分母中都含有小數(shù)，如果直接去分母，會使運算繁瑣。但如果利用分數(shù)的性質(zhì)，即分子分母同乘以不等于零的數(shù)分數(shù)的值不變的性質(zhì)，使方程左邊前兩項分子、分母中的小數(shù)都化成整數(shù)，就能使運算簡便。

解：利用分數(shù)的性質(zhì)（即左邊第一項分子、分母同乘以10，第二項分子、分母同乘以100），原方程可化為：

去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0

去括號：24x+54-30+20x-15x+75=0

移項得：24x+20x-15x=-54+30-75

合并同類項得：29x=-99

系數(shù)化成1：x=。

例13．在公式S=(a+b)h中，已知：a=5,S=44,h=8，求b的值。

分析：這是梯形面積公式，四個量S，a,b,h中知道任意3個量的值，都可以求出第四個量的值。

解法1：把a=5,S=44,h=8代入公式得

44=(5+b)×8這是關于b的一元一次方程

化簡得：b+5=11

移項，合并同類項得：b=6。解法2：

S=(a+b)h

去分母：2S=(a+b)h

去括號：2S=ah+bh

移項：2S-ah=bh即bh=2S-ah

系數(shù)化成1：∵h≠0，∴b=-a(一定不要忘記條件h≠0)

當a=5,S=44，h=8時，

b=-5=11-5=6例14．若單項式3a4b2x與是同類項，求x的值。分析：這個問題是利用一元一次方程解決實際問題的一個例子，利用同類項的定義，建立關于x的方程，然后解方程求出x的值。

解：依題意，由同類項的概念知兩個單項式中b的次數(shù)應相等，

所以有：2x=3(x-)

去括號：2x=3x-1

移項合并同類項得：x=1

∴x的值為1。例15．當x=2時，二次三項式x2+bx+4的值為0，求當x=3時，這個二次三項式的值。

分析：這仍是一元一次方程的應用的例子，要弄清二次三項式的值（即代數(shù)式的值）的概念，先求出b的值，也就確定了二次三項式，最后求當x=3時，二次三項式的值。

解：∵當x=2時，x2+bx+4的值為0，

∴4+2b+4=0(得到關于b的一元一次方程)

解這個方程得2b=-8，∴b=-4，

∴二次三項式為x2-4x+4，

當x=3時，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,

∴當x=3時，這個二次三項式的值為1。例16．解絕對值方程：

(1)|2x-1|=8

(2)

(3)

(4)|3x-1|+9=5

(5)|1-|x||=2

說明：解絕對值方程也是一元一次方程的應用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一個整體，把絕對值方程看作是以|ax+b|為未知數(shù)的一元一次方程，變形成|ax+b|=c的形式；②對|ax+b|=c進行討論，當c>0時，正確去掉絕對值，得到ax+b=c或ax+b=-c兩個一元一次方程，從而求出x的值；當c=0時，得到ax+b=0一個一元一次方程，從而求出x；當c<0時，由于絕對值是非負數(shù)，所以此方程無解。

(1)解：∵|2x-1|=8

∴2x-1=8或2x-1=-8

∴2x=9或2x=-7

∴x=或x=

∴x=或x=是原方程的解。

(2)解：∵

去分母得：|3x+2|=12

∴3x+2=12或3x+2=-12

∴3x=10或3x=-14

∴x=或x=

∴x=或x=是原方程的解。

(3)解：∵

去分母：2|x|+5=12

移項，合并同類項：2|x|=7

系數(shù)化為1：|x|=

∴x=

∴x=或x=為原方程的解。

(4)解：∵|3x-1|+9=5

∴|3x-1|=-4

∵任何有理數(shù)的絕對值均為非負數(shù)，

∴此方程無解。(5)解：∵|1-|x||=2，

∴1-|x|=2或1-|x|=-2，

∴|x|=-1或|x|=3，∴x=±3，

由絕對值概念知，|x|=-1此方程無解；

∴x=±3是原方程的解。

在第（5）個方程中，要處理兩次絕對值，只要嚴格按規(guī)律辦事就能順利求出x的值。四.一元一次方程的應用列方程解應用題，是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。許多實際問題都歸結(jié)為解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應用題是數(shù)學聯(lián)系實際，解決實際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應用題，可以培養(yǎng)我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學好這部分知識。（一）列方程解應用題的主要步驟：

1、認真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關系，找出其中的等量關系；

2、用字母表示題目中的未知數(shù)，并用這個字母和已知數(shù)一起組成表示各數(shù)量關系的代數(shù)式；

3、利用這些代數(shù)式列出反映某個等量關系的方程（注意所使用的單位一定要統(tǒng)一）；

4、求出所列方程的解；

5、檢驗所求的解是否使方程成立，又能使應用題有意義，并寫出答案。

列方程解應用題是學習中的重點、難點。主要困難有三：

①找不到相等關系；

②找到相等關系式，不能正確用含未知數(shù)x的代數(shù)式表示相等關系中有關的量；

③有些學生形成思維定勢，習慣于用算術方法解應用題，對于列方程解應用題的新的思維方法不理解，不適應。

解決上述問題的方法是：

①明確題目類別，并明確該類問題中有幾類不同性質(zhì)的量，它們之間的基本關系式是什么。例如：行程問題中有三類不同性質(zhì)的量：速度、時間、路程，它們之間的數(shù)量基本關系是：速度×時間=路程。

②要認真審查已知數(shù)量與未知數(shù)量的性質(zhì)，同類性質(zhì)的量有幾種，已知量及未知量之間的對應關系。必要時，可以通過列表格，畫線段圖等辦法對已知數(shù)量及未知數(shù)量的關系進行整理。

③正確地用含有x的代數(shù)式表示相等關系中的有關未知量是列方程的基礎。一般地，經(jīng)過上述分析，有助于找到相等關系，列出方程。列方程解應用題常見的題型有：（1）和、差、倍、分問題；（2）行程問題；（3）調(diào)配問題；（4）工程問題；（5）濃度問題；（6）形積問題；（7）利潤率問題；（8）數(shù)字問題。（二）對常見應用題的解法分析

1、和、差、倍、分問題；這類問題主要應搞清各量之間的關系，注意關鍵詞語。（1）倍數(shù)關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現(xiàn)。（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn)。例1、某單位今年為災區(qū)捐款2萬5千元，比去年的2倍還多1000元，去年該單位為災區(qū)捐款多少元？

分析：相等關系是：今年捐款=去年捐款×2+1000解：設去年為災區(qū)捐款x元，

由題意得，2x+1000=25000

2x=24000

∴x=12000

答：去年該單位為災區(qū)捐款12000元。例2、旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

分析：等量關系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。

解：設油箱里原有汽油x公斤，

由題意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%

去分母整理得，9x+20=5x+6x

∴2x=20

∴x=10

答：油箱里原有汽油10公斤。2、等積變形問題：

“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關系為：原料體積=成品體積。

例3、現(xiàn)有直徑為0.8米的圓柱形鋼坯30米，可足夠鍛造直徑為0.4米，長為3米的圓柱形機軸多少根？

分析：等量關系為：機軸的體積和=鋼坯的體積。

解：設可足夠鍛造x根機軸，

由題意得，解這個方程得x==

答：可足夠鍛造直徑為0.4米，長為3米的圓柱形機軸40根。2、勞力調(diào)配問題：

這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：（1）既有調(diào)入又有調(diào)出。（2）只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。例4、有兩個工程隊，甲隊有285人，乙隊有183人，若要求乙隊人數(shù)是甲隊人數(shù)的，應從乙隊調(diào)多少人到甲隊？

分析：此問題中對乙隊來說有調(diào)出，對甲隊來說有調(diào)入。等量關系為：乙隊調(diào)出后人數(shù)=甲隊調(diào)入后人數(shù)。

解：設應從乙隊調(diào)x人到甲隊，

由題意得，183-x=(285+x)

解這個方程，285+x=549-3x

4x=264

∴x=66

答：應從乙隊調(diào)66人到甲隊。例5、甲、乙兩個工程隊分別有188人和138人，現(xiàn)需要從兩隊抽出116人組成第三個隊，并使甲、乙兩隊剩余人數(shù)之比為2：1，問應從甲、乙兩隊各抽出多少人？

分析：此問題中只有調(diào)出，沒有調(diào)入。等量關系為：甲隊調(diào)出后人數(shù)=2×乙隊調(diào)出后人數(shù)。

解：設應從甲隊抽出x人，則應從乙隊抽出(116-x)人，

由題意得，188-x=2[138-(116-x)]

解這個方程188-x=2(138-116+x)

188-x=44+2x

3x=144

∴x=48

116-x=116-48=68答：應從甲隊抽出48人，從乙隊抽出68人。

例6、李明今年8歲，父親是32歲，問幾年以后父親的年齡為李明的3倍。

分析：此問題中只有調(diào)入，沒有調(diào)出。等量關系為：幾年后父親年齡=3×李明幾年后的年齡。

解：設x年后父親的年齡為李明的3倍，

由題意得，32+x=3(8+x)

解這個方程：32+x=24+3x

2x=8

∴x=4

答：4年后父親的年齡為李明的3倍。4、比例分配問題：

這類問題的一般思路為：設其中一份為x,利用已知的比，寫出相應的代數(shù)式。

常用等量關系：各部分之和=總量。

例7、甲、乙、丙三個人每天生產(chǎn)機器零件數(shù)為甲、乙之比為4：3；乙、丙之比為6：5，又知甲與丙的和比乙的2倍多12件，求每個人每天生產(chǎn)多少件？

分析：應設一份為x件，則其他量均可用含x的代數(shù)式表示。等量關系為：（甲日產(chǎn)量+丙日產(chǎn)量）-12=乙日產(chǎn)量的2倍。

解：設一份為x件，則甲每天生產(chǎn)4x件，乙每天生產(chǎn)3x件，丙每天生產(chǎn)×3x件（即x件），

由題意得，4x+x-12=2×3x

解這個方程，=12

∴x=24

∴4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），x=×24=60（件）

答：甲每天生產(chǎn)96件，乙每天生產(chǎn)72件，丙每天生產(chǎn)60件。5、數(shù)字問題：

要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且

1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。例8、一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和比這個兩位數(shù)的大6，求這個兩位數(shù)。

分析：等量關系為：個位數(shù)字+十位數(shù)字-6=×這個兩位數(shù)。

解：設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+5，

則這個兩位數(shù)為：10x+x+5

由題意得，x+5+x-6=(10x+x+5)

解這個方程得：14x-7=11x+5

3x=12

∴x=4

∴x+5=9

這個兩位數(shù)為49。

答：這個兩位數(shù)為49。6、工程問題：

工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率×工作時間

經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。例9、一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？

分析：設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。

解：設乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位1，

由題意得，

解這個方程，

12+15+5x=60

5x=33

∴x==

答：乙還需天才能完成全部工程。例10、一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單位開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？

分析：等量關系為：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。

解：設打開丙管后x小時可注滿水池，

由題意得，解這個方程，

21x+42-8x=72

13x=30

∴x=

答：打開丙管后小時可注滿水池7、行程問題：

[解題指導]

（1）行程問題中的三個基本量及其關系：路程=速度×時間。

（2）基本類型有

1）相遇問題；

2）追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。

（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。例11：甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。

（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？

（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？

（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？

（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？

（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。

（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：

等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。

解：設快車開出x小時后兩車相遇，

由題意得，140x+90(x+1)=480

解這個方程，230x=390

∴x=

答：快車開出小時兩車相遇。（2）分析：相背而行，畫圖表示為：

等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。

解：設x小時后兩車相距600公里，

由題意得，(140+90)x+480=600

解這個方程，230x=120

∴x=

答：小時后兩車相距600公里。（3）分析：等量關系為：快車所走路程-慢車所走路程+480公里=600公里。

解：設x小時后兩車相距600公里，

由題意得，(140-90)x+480=600

50x=120

∴x=2.4

答：2.4小時后兩車相距600公里。（4）分析：追及問題，畫圖表示為：

等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。

解：設x小時后快車追上慢車。

由題意得，140x=90x+480

解這個方程，50x=480

∴x=9.6

答：9.6小時后快車追上慢車。（5）分析：追及問題，相等關系與（4）類似。

解：設快車開出x小時后追上慢車。

由題意得，140x=90(x+1)+480

50x=570

∴x=11.4

答：快車開出11.4小時后追上慢車。例12：甲、乙二人同時從A地去往相距51千米的B地，甲騎車，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍還多1千米/時，甲到達B地后停留小時，然后從B地返回A地，在途中遇見乙，這時距他們出發(fā)的時間恰好6個小時，求二人速度各是多少？

分析：本題屬于相遇問題，用圖表示（甲用實線，乙用虛線表示）。注意：甲在B地還停留小時。A、B兩地相距51千米。

等量關系為：甲走路程+乙走路程=51×2。

解：設乙速為x千米/小時，則甲速為(3x+1)千米/小時，

由題意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2

解這個方程，6x+(3x+1)×=102

12x+27x+9=204

39x=195

∴x=53x+1=15+1=16答：甲速為16千米/時，乙速為5千米/時。例13：某船從A碼頭順流而下到達B碼頭，然后逆流返回，到達A、B兩碼頭之間的C碼頭，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為7.5千米時，水流速度為2.5千米/時。A、C兩碼頭之間的航程為10千米，求A、B兩碼頭之間的航程。

分析：這屬于行船問題，這類問題中要弄清（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度。相等關系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。解：設A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米，

由題意得，

解這個方程，

3x=90

∴x=30

答：A、B兩碼頭之間的航路為30千米。例14：環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度。

分析：這是環(huán)形問題，本題類似于追及問題，距離差為環(huán)城一周20千米。相等關系為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千米。解；設最慢的人速度為x千米/時，則最快的人的速度為x千米/時，

由題意得，x×-x×=20

解這個方程，×x=20

∴x=10

x=35

答：最快的人的速度為35千米/時，最慢的人的速度為10千米/時。8、配套問題：

[解題指導]：這類問題的關鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關系。例15：某車間有工人85人，平均每人每天可以加工大齒輪8個或小齒輪10個，又知1個大齒輪和三個小齒輪配為一套，問應如何安排勞力使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好成套？

分析：這個問題的等量關系為：小齒輪個數(shù)=3倍大齒輪個數(shù)解：設應安排x個工人加工大齒輪，則有(85-x)個工人加工小齒輪，

由題意得，(85-x)×10=3×8x

解這個方程，850-10x=24x

34x=850

∴x=25

85-x=85-25=60

答：應安排25個工人加工大齒輪，其余60人加工小齒輪，才能使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好成套。9、其他實際應用問題：

[解題指導]這類問題的關鍵是理解所給問題中的實際關系

例16：銀行定期壹年存款的年利率為2.5%，某人存入一年后本息922.5元，問存入銀行的本金是多少元？

分析：這里的相等關系為：

本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期數(shù)

解：設存入銀行的本金是x元，

由題意得，922.5=x+x×2.5%×1

解這個方程，1.025x=922.5

∴x=900（元）

答：存入銀行的本金是900元。例17：某商品的進價為1600元，原售價為2200元因庫存積壓需降價出售，若每件商品仍想獲得10%的利潤需幾折出售。

分析：等量關系為：原價×折扣=進價×（1+10%）

解：設需x折出售，

由題意得，2200×=1600(1+10%)

220x=1600×1.10

x=8

答：需8折出售。例18：已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元。因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調(diào)價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少？

分析：甲原單價×（1-10%）+乙原單價×（1+5%）=100×（1+2%）。解：設甲商品原單價為x元，則乙商品原單價為(100-x)元。

由題意得，(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%)

解這個方程，0.9x+1.05(100-x)=102

90x+10500-105x=10200

15x=300

∴x=20

100-x=80

答：甲商品原單價20元，乙商品原單價為80元。注意：雖然我們分了9種類型，對應用題進行了研究，但實際生活中的問題是千變?nèi)f化的，遠不止這9類問題。因此我們要想學好列方程解應用題，就要學會觀察事物，關心日常生產(chǎn)生活中的各種問題，如市場經(jīng)濟問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，認真審題，適當設元，尋找等量關系，從而列出方程，解出方程，使問題得解。典型應用題練習

1．某車間原計劃每周裝配36臺機床，預計若干周完成任務。在裝配了三分之一以后，改進操作技術，工效提高了一倍，結(jié)果提前一周半完成任務。求這次任務需裝配機床總臺數(shù)。解題策略：本題主要等量關系是“提前一周半完成任務”。即原計劃周數(shù)-實際完成任務周數(shù)=1。只需設元后分別列出左邊兩表達式即可。列方程解應用題的關鍵是通過數(shù)量關系的研究，將實際問題轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學問題來解決，因此常有面目迥然不同而問題實質(zhì)相同。在練習中要注意比較，歸納，提高我們的分析、解題能力。

解法一：設這次任務需裝配機床總臺數(shù)為x臺，則原計劃裝配周，現(xiàn)在實際裝配的前一段時間為周，后一段時間為周，則根據(jù)題意，得

解這個方程：

3x-x-x=162

x=162

經(jīng)檢驗，它是所列方程的解，也符合題意。

答：這次任務需裝配機床總數(shù)為162臺。

解法二：如解法一設元，注意到提前的時間實質(zhì)是完成后任務中所提前的，故方程可列為：

解法三：設裝配了以后還余x臺，則總?cè)蝿帐?/p>

(臺)，

根據(jù)題意，得

錯誤辨析：涉及“多少”、“快慢”等數(shù)量關系，要注意辨清有關量的大小。本題易將被減數(shù)與減數(shù)搞錯。尤其當分子相同，分母不同時要注意。

解法三：設裝配了以后還余x臺，則總?cè)蝿帐?/p>

(臺)，

根據(jù)題意，得

錯誤辨析：涉及“多少”、“快慢”等數(shù)量關系，要注意辨清有關量的大小。本題易將被減數(shù)與減數(shù)搞錯。尤其當分子相同，分母不同時要注意。2．某班同學參加平整土地勞動，運土人數(shù)比挖土人數(shù)的一半多3人。若從挖土人員中抽出6人運土，則兩者人數(shù)相等。求原來運土和挖土各多少人。

解題策略：本題等量關系明顯，設元后只要把相應語句“譯”成等式，即所需方程，不妨可稱作“譯式”問題。解題要注意設元要有利于列方程，并盡量應用原始的等量關系。如本題不宜運土人數(shù)為x。解：設挖土同學原為x人，則運土人數(shù)原為人。

根據(jù)題意，得x-6=x+3+6，

解這個方程：x-x=3+6+6

x=30

x+3=18

經(jīng)檢驗適合所列方程，也符合題意。

答：原來運土18人，挖土30人。錯誤辨析：勞力調(diào)配問題中需注意一隊調(diào)出人員是否調(diào)入另一隊。本題易忽視運土人數(shù)的增加而列成3．某年級三個班為災區(qū)捐款。（1）班捐了380元，（2）班捐款數(shù)是另兩個班級的平均數(shù)，（3）班捐款數(shù)是三個班總數(shù)的，求（2）班，（3）班捐款數(shù)。解題策略：解應用題中的設元要善于應用已知條件，在列方程時要能通過分析，尋找隱含的等量關系，使方程簡單、易解。

解法一：設(3)班捐款x元，則(2)班捐款元，

根據(jù)題意，得

解這個方程：5x=760+2x+380+x

2x=1140

x=570

=475

答：（2）班捐款475元，（3）班捐款570元。解法二：同上法設元，注意到（2）班的捐款數(shù)也是三個班級的平均數(shù)，則三個班捐款數(shù)是其3倍。

可設方程解法三：設三個班捐款總數(shù)為x元，則（2）班為元，根據(jù)題意，得

求得x=1425后再求各班捐款數(shù)。4．一輪船航行于兩個碼頭之間，逆水需10小時，順水需6小時。已知該船在靜水中每小時航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離。解題策略：涉及航行中的順、逆流問題，基本關系是：船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度；船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度。然后根據(jù)行程問題的一般法則求解。解法一：設水流速度為x千米/時，根據(jù)題意，得6(12+x)=10(12-x)，

解這個方程，得x=3，

路程為6(12+x)=90。

答：水流速度是3千米/時，兩碼頭間路程90千米解法二：設兩個碼頭間路程為x千米，

根據(jù)題意，得

解這個方程，得x=90。5．有一批長度均為50厘米的鐵錠，截面都是長方形，一邊長10厘米，另一邊各不相同，現(xiàn)要鑄造一個42.9千克的零件，應選截面另一邊長為多少的鐵錠（鐵錠每立方厘米重7.8克）？解題策略：幾何體變換問題的關鍵是注意變換前后的體積等量關系，并且要熟悉常見幾何體的體積公式。本題要由鑄造零件的規(guī)格給出重量，應有一個轉(zhuǎn)換過程，并注意單位名稱一致。

解：設需要截面另一邊長為x厘米的鐵錠，則鐵錠體積為50×10x立方厘米，所鑄零件重量為42.9千克，

則其體積為立方厘米，

根據(jù)題意，得50×10x=

解這個方程，得x=11。

答：需要截面另一邊長為11厘米的鐵錠。

錯誤辨析：方程右邊易漏乘1000，未將單位化為一致。6．甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習長跑，兩人速度分別為200米/分和160米/分。兩人同時從起點同向出發(fā)。當兩人起跑后第一次并肩時經(jīng)過了多少時間？這時他們各跑了多少圈？解題策略：環(huán)形線路上的相遇問題與直線情形相仿。其同時同地同向的追及問題關鍵在于理解速度較快者每追上較慢者一次，即多行一圈。其余關系與通常的追及、相遇問題一致。

解：設兩人到第一次并肩時花了x分鐘。根據(jù)題意，得200x-160x=400。

解這個方程，得x=10。

這時甲、乙跑的圈數(shù)分別是10×200÷400=5和10×160÷400=4。

答：兩人起跑后第一次并肩花了10分鐘時間，甲，乙兩人分別跑了5圈和4圈。7．檢修一處住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天。前7天由甲、乙兩人合做，但乙中途離開了一段時間，后2天由乙、丙合作完成。問乙中途離開了幾天？解題策略：做一項工作，但沒有具體數(shù)量指標，只提完成與否的，通常稱作工程問題。工作總量用1表示?；镜攘筷P系是工作量=工作效率×工作時間。其中工作效率是單位時間內(nèi)完成的工作量，通常是單獨完成時間的倒數(shù)。如本題甲的工作效率是，乙的工作效率為，丙的工作效率為。涉及到幾個施工單位合作、先后工作等，在建立方程時取其工作量之和。常見的水池進出水問題，也屬此類。解：設乙中途離開了x天，則乙工作了(7-x+2)天，其工作量是，甲的工作量是，丙的工作量是。根據(jù)題意，得

解這個方程：

9+9-x+3=18

x=3

答：乙中途離開了3天。8．某商場甲、乙兩個柜組十二月份營業(yè)額共64萬元。一月份甲增長了20%，乙增長了15%，營業(yè)額共達到75萬元。求兩柜組各增長多少萬元。解題策略：一次增長（減少）百分率問題的基本關系是原有量×(1±p%)=現(xiàn)有量，

這里p%是增長或減少的百分率。要注意原有量與現(xiàn)有量的相互換算。這類問題還需注意設元的合理性，