北航空氣動力學(xué)第四章課件

空氣動力學(xué)基礎(chǔ)第四章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)（4學(xué)時）第4章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)4.1、流體的粘性及其對流動的影響4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)4.7、層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響1、流體的粘滯性在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn)動狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流體所承受剪力大小是不同的。流體的粘滯性是指：流體在運(yùn)動狀態(tài)下抵抗剪切變形能力

流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對運(yùn)動因此，流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對運(yùn)動的能力。

流體抵抗剪切變形的能力，可通過流層之間的剪切力表現(xiàn)出來。（這個剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。流體在流動過程中，必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年）

F=μAU/h2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無關(guān)。設(shè)

表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），則

μ---流體的動力粘性系數(shù)。量綱、單位：[μ]=M/L/Tkg/m/sNs/m2=Pa.s；水：1.139

10-3

空氣：1.7885

10-5

=μ/

---流體的運(yùn)動粘性系數(shù)。

量綱、單位：[

]=L2/Tm2/s。水：1.139

10-6空氣：1.461

10-52010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響一般流層速度分布不是直線，而是曲線，如圖所示。

此時，流層間的內(nèi)摩擦力涉及到速度的方向?qū)?shù)：

F=μAdu/dy

=μdu/dydu/dy----表示單位高度流層的速度增量，稱為流速梯度。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響

實(shí)際上，流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系可表示為：1--

=0+μdu/dy2--=μ(du/dy)1/23--=μdu/dy4--=μ(du/dy)25--理想流體

μ=05du/dy1234

1---binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2---偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆、絕緣3---牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4---脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等5---理想流體，無粘流體。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響2、粘性流體運(yùn)動特點(diǎn)自然界中流體都是有粘性的，因此粘性對流體運(yùn)動的影響是普遍存在的。但對于具體的流動問題，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。因此，為了簡化起見，提出了理想流體的概念和理論。

回憶達(dá)拉貝爾疑題。以下用若干流動事例說明粘性流動與無粘流動的差別。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課（1）繞過平板的均直流動

當(dāng)理想流體繞過平板（無厚度）時，平板對流動不產(chǎn)生任何影響，在平板表面，允許流體質(zhì)點(diǎn)滑過平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條件）。平板對流動無阻滯作用，平板阻力為零。但如果是粘性流體，由于存在粘性，緊貼平板表面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上，與平板表面不存在相對運(yùn)動（既不允許穿透，也不允許滑動），即：在邊界面上流體質(zhì)點(diǎn)必須滿足不穿透條件和不滑移條件。隨著離開平板距離的增大，流體速度有壁面處的零值迅速增大到來流的速度。這樣在平板近壁區(qū)存在速度梯度很大的流動，因此流層之間的粘性切應(yīng)力就不能忽略，對流動起控制作用。這個區(qū)稱為邊界層區(qū)。平板對流動起阻滯作用，平板的阻力不為零，有：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響（2）圓柱繞流

2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課Streamlinesforflowaroundacircularcylinderat40≤Re≤50.(g=0.0001,L=300lu,D=100lu)(PhotographbySadatoshiTaneda.Taneda1956a,J.Phys.Soc.Jpn.,11,302-307.)S.GokaltunFloridaInternationalUniversity4.1、流體的粘性及其對流動的影響2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響理想流體繞流圓柱時，在圓柱上存在前駐點(diǎn)A，后駐點(diǎn)D,最大速度點(diǎn)B、C。中心流線在前駐點(diǎn)分叉，后駐點(diǎn)匯合。根據(jù)Bernoulli定理，流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱所經(jīng)歷的過程為在A-B（C）區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)流速為零，壓強(qiáng)最大，以后質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程減小，流速沿程增大，到達(dá)B點(diǎn)流速最大，壓強(qiáng)最小。A~B區(qū)屬于增速減壓區(qū)，順壓梯度區(qū)；在B（C）-D區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程增大，流速沿程減小，到達(dá)D點(diǎn)壓強(qiáng)最大，流速為零。該區(qū)屬于減速增壓區(qū)，逆壓梯度區(qū)。在流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱的過程中，只有動能、壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓強(qiáng)分布對稱，無阻力存在。著名的達(dá)朗貝爾佯謬2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課

對于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物面近區(qū)將產(chǎn)生邊界層，受流體粘性的阻滯作用，流體質(zhì)點(diǎn)在由A點(diǎn)到B點(diǎn)的流程中，將消耗部分動能用之克服摩擦阻力做功，以至使其無法滿足由B點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，導(dǎo)致流體質(zhì)點(diǎn)在BD流程內(nèi)，流經(jīng)一段距離就會將全部動能消耗殆盡（一部分轉(zhuǎn)化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功）。于是在壁面某點(diǎn)速度變?yōu)榱悖⊿點(diǎn)），以后流來的流體質(zhì)點(diǎn)將從這里離開物面進(jìn)入主流場中，這一點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為邊界層分離。在分離點(diǎn)之間的空腔內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生倒流，由下游高壓區(qū)流向低壓區(qū)，從而在圓柱后面形成了旋渦區(qū)。這個旋渦渦區(qū)的出現(xiàn)，使得圓柱壁面壓強(qiáng)分布發(fā)生了變化，前后不對稱（如前駐點(diǎn)的壓強(qiáng)要明顯大于后駐點(diǎn)的壓強(qiáng)），因此出現(xiàn)了阻力D。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響前駐點(diǎn)后駐點(diǎn)有粘時：前后壓力分布不再對稱后部壓力小于前部壓力來源于粘性損失形成壓差阻力2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.1、流體的粘性及其對流動的影響總的結(jié)論如下：（1）粘性摩擦切應(yīng)力與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動有別與理想流體運(yùn)動的主要標(biāo)志。（2）粘性的存在是產(chǎn)生阻力的主要原因。（3）邊界層的分離必要條件是：流體的粘性和逆壓梯度。（4）粘性對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴(kuò)散等問題起主導(dǎo)作用，不能忽略。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理4.2.1流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中，將發(fā)生剛體運(yùn)動（平動和轉(zhuǎn)動）與變形運(yùn)動（線變形和角變形運(yùn)動）。平動轉(zhuǎn)動線變形角變形2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理4.2.2速度分解定理德國物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級數(shù)展開給出分解。在，速度為

在點(diǎn)處，速度為：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項得到：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理整理有：如果令：綜合起來，有：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項表示微團(tuán)的平動速度，第二項表示微團(tuán)轉(zhuǎn)動引起的，第三項表示微團(tuán)變形引起的。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理定義如下：流體微團(tuán)平動速度：流體微團(tuán)線變形速度：

流體微團(tuán)角變形速度（剪切變形速度）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2、流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理4.2.3有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動流體質(zhì)點(diǎn)的渦量定義為表示流體質(zhì)點(diǎn)繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運(yùn)動。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.2.4變形率矩陣（或變形率張量）

在速度分解定理中，最后一項是由流體微團(tuán)變形引起的，其中稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項與流體微團(tuán)的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。

定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為：該矩陣是個對稱矩陣(無外加動量輸入)，每個分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有三個量是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)的不變量。它們是：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課

對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。

如果選擇坐標(biāo)軸是三個變形率矩陣的主軸，則此時變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應(yīng)的變形率矩陣與不變量為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。

粘性流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間不可以存在相對運(yùn)動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。

2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)

在粘性流體運(yùn)動中，由于存在切向力，過任意一點(diǎn)單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸方向的投影分量。

由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課如，對于x面的合應(yīng)力可表示為

y面的合應(yīng)力表達(dá)式為

z面的合應(yīng)力表達(dá)式為如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個坐標(biāo)面上的九個應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。作用面作用邊*回顧變形率矩陣根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨(dú)立的，其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即（2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即：（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)

牛頓內(nèi)摩擦定理：粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有：

說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）2、Stokes假設(shè)（1845年）Stokes（1845年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)，在三大合理假設(shè)下將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理---應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）：(Stokes，英國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，1819-1903年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性關(guān)系，與流體的平動和轉(zhuǎn)動無關(guān)；（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位置無關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強(qiáng)。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無切應(yīng)力。即：

因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）：

式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）

由于系數(shù)b

與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b

只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成。可令：式中，為待定系數(shù)。將a、b代入，有

取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）

歸并同類項，得到在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有

由于b1和b2均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下，均成立。則有：然后代入第一式中，有：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）如果令：稱為流體壓強(qiáng)。則本構(gòu)關(guān)系為：上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（為牛頓流體的本構(gòu)方程）。用指標(biāo)形式，上式可表示為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）對于不可壓縮流體,有：如果用坐標(biāo)系表示，廣義牛頓內(nèi)摩擦定理為：粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程

利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程。(在流場中取一個微分六面體流體微團(tuán)進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動方程）。北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程

整理后，得到這是以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程，具有普遍意義，既適應(yīng)于理想流體，也適應(yīng)于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質(zhì)量力已知的情況下，方程中多了6個應(yīng)力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構(gòu)關(guān)系，如粘性流體的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程2、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動方程組）人類對流體運(yùn)動的描述歷史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科學(xué)家）定性描述。1755年Euler（瑞士科學(xué)家，1707-1783）推導(dǎo)出理想流體運(yùn)動方程。1822年Navier（1785-1836，法國科學(xué)家）開始考慮流體粘性。1829年P(guān)oisson(1781-1846)1843年SaintVenant（1795-1886)1845年Stokes(1819-1903，英國科學(xué)家)結(jié)束，完成了推導(dǎo)過程，提出現(xiàn)在形式的粘性流體運(yùn)動方程。（歷時90年）2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程以x

方向的方程為例，給出推導(dǎo)。引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，即代入得到：北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程對于y和z方向的方程為

這就是描述粘性流體運(yùn)動的N-S方程組，適應(yīng)于可壓縮和不可壓縮流體2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程寫成張量的形式為：

對于不可縮流體，，且粘性系數(shù)近似看作常數(shù)，方程組可得到簡化。仍以x向方程進(jìn)行說明。

北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程由此可得到：

張量形式：矢量形式：主分量相加分量拉普拉斯算子2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程

為了研究流體的有旋性，格羅米柯-蘭姆等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的N-S方程的格羅米柯-蘭姆形式。*對比歐拉方程的格羅米柯-蘭姆形式渦量2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程3、Bernoulli積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中：Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯），1623-1708，第一代；Bernoulli,Johann（約翰），1667-1748，第二代，提出虛位移原理；Bernoulli,Daniel（丹尼爾），1700-1782，第三代，著有《流體動力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。

與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動方程類似，積分形式的N-S方程假定：（1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（3）質(zhì)量力有勢；（4）沿流線積分。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程。與理想流體能量方程不同的是，方程中多了一項因粘性引起的損失項，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的能量。在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應(yīng)的流速為：沿流線積分N-S方程，有：北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程流線微段與速度之間的關(guān)系為：2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課質(zhì)量力有勢，因此有：不可壓縮定常流動，有：粘性項寫成為：在流線微段上，微分形式為：

與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項與粘性有關(guān)的項，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所做的功，代表機(jī)械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。

2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程對于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)榉匠虄蛇呁詆，得到

表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程

如果令能量方程變?yōu)閱挝粫r間單位重量流體所具有的機(jī)械能為；單位時間單位重量流體粘性力所做的功為。沿著同一條流線積分，得到2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程

上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位時間單位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時，總機(jī)械能是保持守恒的，無機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能量。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程粘性流體的Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方。通常所說的，水從高處流向低處，高壓流向低壓，都是不完全的。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)

粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動的有旋性，旋渦的擴(kuò)散性，能量的耗散性。

1、粘性流體運(yùn)動的渦量輸運(yùn)方程為了討論旋渦在粘性流體流動中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程是必要的。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課其Lamb型方程是引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)Lamb型方程變?yōu)閷ι鲜絻蛇吶⌒?，得到整理后得?010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)

這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質(zhì)量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個方程即為Helmholtz渦量守恒方程。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運(yùn)方程變?yōu)閺埩啃问綖?010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)（3）對于二維流動，上式簡化為2、粘性流體運(yùn)動的有旋性理想流體運(yùn)動可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運(yùn)動一般總是有旋的。用反證法可說明這一點(diǎn)。對于不可壓縮粘性流體，其運(yùn)動方程組為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)根據(jù)場論知識，有代入上式，得到2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)

如果流動無旋，則

這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動與理想流體流動完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)要求降階后的方程組同時滿足這兩個邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動一般總是有旋的。但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)不存在相對滑移，這時不滑移條件自動滿足，這樣理想流體方程自動滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動可以是無渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對運(yùn)動的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)3、粘性流體旋渦的擴(kuò)散性粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會擴(kuò)散，渦量從強(qiáng)度大的地方向強(qiáng)度小的地方擴(kuò)散，直至旋渦強(qiáng)度均衡為止。以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度的定解問題為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)這是一個擴(kuò)散方程的定解問題，其解為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.6、粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運(yùn)動必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能。粘性流體的變形運(yùn)動與機(jī)械能損失是同時存在的，而且機(jī)械能的耗散與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機(jī)械能損失是不可避免的。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失1、粘性流體微團(tuán)的受力及其對流動的影響粘性流體運(yùn)動與理想流體運(yùn)動的主要區(qū)別是，微團(tuán)的受力除慣性力外，還有粘性力，根據(jù)這兩種力的特點(diǎn)，它們對流體微團(tuán)運(yùn)動行為的影響是不同的。按照定義，粘性力的作用是阻止流體微團(tuán)發(fā)生相對運(yùn)動的，而慣性力的作用與粘性力的作用正好相反，因此在粘性流體流動中，流動的行為決定于這兩種力作用的結(jié)果。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課對于兩種受力極端的情況將引起人們高度的重視，其一是粘性力的作用遠(yuǎn)大于慣性力的作用，其二是慣性力的作用遠(yuǎn)大于粘性力的作用，可以推測在這兩種情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動特征是極然不同的。由此引出了層流、紊流的概念。4.7層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失2、粘性流體運(yùn)動的基本型態(tài)（Reynolds轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)）早期人們發(fā)現(xiàn)管道中的流速大小與水頭損失（能量損失）有關(guān)。

1839-1869年Hagen，G.發(fā)現(xiàn)，管中流速小時，水流像一根玻璃柱，清晰透明；而在大流速時，水流渾濁，不再清晰，流速時大時小。Hagen認(rèn)為這種現(xiàn)象與管徑、流速、粘性有關(guān)。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失1880年，O.Reynolds（英國科學(xué)家）用管徑2.54cm、長度1.372m玻璃管進(jìn)行了著名的流態(tài)轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)，并于1883年在一篇論文中明確指出了管中水流存在層流和紊流兩種流態(tài)，當(dāng)年Reynolds用

無量綱數(shù)來判別流態(tài)，并把這兩種流動稱為順直流動（Directmotion）和曲折流動（Sinuousmotion），后來演變?yōu)楝F(xiàn)在的名稱層流（Laminarflow）和紊流(Turbulentflow，在流體力學(xué)中也稱湍流)。（紊字脫出流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的隨機(jī)性，湍字突出流體質(zhì)點(diǎn)脈動行為）。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失

2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失(1)小流速cd段為層流,(2)大流速ab段為紊流,(3)bc或bec段為過渡段,2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失3、流動形態(tài)的判別準(zhǔn)則--臨界Re數(shù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：層流和紊流轉(zhuǎn)捩的臨界流速與管徑、流體密度和動力粘性系數(shù)有關(guān)。臨界流速與動力粘性系數(shù)成正比，與管徑和流體密度成反比。由量綱分析可得2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失把這個無量綱數(shù)稱為臨界Re數(shù)。對于同一邊界特征的流動，下臨界Re數(shù)是不變的。對于圓管流動Reynolds給出的結(jié)果是，Rec=2000，Schiller(1921)給出的結(jié)果為2320(目前認(rèn)為比較精確，普遍用2300)；后來人們重新分析Reynolds實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Rec=2400。上臨界Re數(shù)是一個變數(shù)，與來流擾動直接有關(guān)。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失4、Re數(shù)的物理意義

Re數(shù)表示慣性力與粘性力的比值，慣性力的作用是促使質(zhì)點(diǎn)失穩(wěn)，擾動放大；粘性力的作用是對質(zhì)點(diǎn)起約束作用的，是遏制擾動的。Re數(shù)大表示質(zhì)點(diǎn)慣性力大于粘性力，流動失去穩(wěn)定，流動為紊流；Re數(shù)小表示質(zhì)點(diǎn)粘性力大于慣性力，流動穩(wěn)定，層次分明，層流。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失5、阻力損失分類在粘性流體流動中，機(jī)械能損失是不可避免的。在管道中損失可為（1）沿程損失（Frictionalheadloss）是指流體沿程克服固壁摩擦阻力和流層之間內(nèi)摩擦阻力做功引起的機(jī)械能損失。（2）局部損失hj(Localheadloss)

是指流體繞過管壁發(fā)生突變的區(qū)域，使流動發(fā)生急劇變化而引起的內(nèi)摩擦阻力做功損失的機(jī)械能。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失(3)沿程損失的一般表達(dá)形式通過管道實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，沿程損失hf是下列變量的函數(shù)。即實(shí)驗(yàn)表明2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失這個方程稱為Darcy-Weishach公式。(1858年)局部損失一般表達(dá)式為2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失6、紊流的定義最早對紊流的描述可追溯到意大利文藝復(fù)興時期的科學(xué)和藝術(shù)全才DaVinci(1452-1519)，他對紊流的流動進(jìn)行了細(xì)致的觀察，在一副關(guān)于紊流的名畫中寫到：烏云被狂風(fēng)卷散撕裂，沙粒從海灘上揚(yáng)起，樹木彎下了腰。（旋渦的分裂、破碎，旋渦的卷吸，近壁區(qū)的剪切作用）2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失1883年，Reynolds把紊流定義為曲折運(yùn)動(波動)。

1937年，TaylorandVonKarman把紊流定義為：紊流是一種不規(guī)則的運(yùn)動，當(dāng)流體流過固體表面，或者當(dāng)相鄰?fù)惲黧w流過或繞過時，一般會在流體中出現(xiàn)這種不規(guī)則運(yùn)動。（這個定義突出了紊流的不規(guī)則性）。

1959年，Hinze（荷蘭科學(xué)家）定義：紊流是一種不規(guī)則的流動狀態(tài)，但其各種物理量隨時間和空間坐標(biāo)的變化表現(xiàn)出隨機(jī)性，因而能辨別出不同的統(tǒng)計平均值。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失我國著名科學(xué)家周培源先生一貫主張：紊流是一種不規(guī)則的旋渦運(yùn)動。一般教科書定義：紊流是一種雜亂無章、互相混摻，不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動。（紊流中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡）比較公認(rèn)的觀點(diǎn)：紊流是一種由大小不等、頻率不同的旋渦結(jié)構(gòu)組成，使其物理量對時間和空間的變化均表現(xiàn)出不規(guī)則的隨機(jī)性。近年的認(rèn)識：紊流中即包含著有序的大尺度旋渦結(jié)構(gòu)，也包含著無序的、隨機(jī)的小尺度旋渦結(jié)構(gòu)。紊流物理量的隨機(jī)脈動就是由這些大小不同尺度渦共同作用的結(jié)果。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失5、紊流的基本特征（1）有渦性（eddy）與渦串級理論（casecade）紊流中伴隨有大小不等、頻率不同的旋渦運(yùn)動，旋渦是引起紊流物理量脈動的主要成員。一般認(rèn)為，紊流物理量的隨機(jī)變化過程是由這些大小不等的旋渦產(chǎn)生的，顯然在一個物理量變化過程中，大渦體產(chǎn)生大的漲落，小渦體產(chǎn)生小的漲落，如果在大渦中還含有小渦，則會在大漲落中含有小漲落。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失從形式上看，這些旋渦四周速度方向是相對（相反）的，表明在渦體之間的流體層內(nèi)存在相當(dāng)大的速度梯度，大渦從基本（時均或平均）流動中獲取能量，是紊流能量的主要含能渦體，然后再通過粘性和色散（失穩(wěn)）過程串級分裂成不同尺度的小渦，并在這些渦體的分裂破碎過程中將能量逐級傳給小尺度渦，直至達(dá)到粘性耗散為止，這個過程就是1922年Richardson提出的渦串級理論。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失紊流物理量的脈動與渦結(jié)構(gòu)紊動渦體的串級觀點(diǎn)2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失1922年，L.F.Richardson（氣象學(xué)家，數(shù)值天氣預(yù)報的創(chuàng)始人）給出關(guān)于紊流渦串級理論一首著名的詩：大渦用動能哺育小渦，小渦照此把兒女養(yǎng)活。能量沿代代旋渦傳遞，但終于耗散在粘滯里。Bigwhirlshavelittlewhirls,Whichfeedontheirvelocity.Littlewhirlshavesmallerwhirls,Andsoontoviscosity.2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失

（2）紊流的不規(guī)則性（Irregularity）紊流中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是雜亂無章、無規(guī)律的隨機(jī)游動。但由于紊流場中含有大大小小不同尺度的渦體，理論上并無特征尺度，因此這種隨機(jī)游動必然要伴隨有各種尺度的躍遷。（3）紊流的隨機(jī)性（RandomBehavior）紊流場中質(zhì)點(diǎn)的各物理量是時間和空間的隨機(jī)變量，它們的統(tǒng)計平均值服從一定的規(guī)律性。近年來隨著分形、混沌科學(xué)問世和非線性力學(xué)的迅速發(fā)展，人們對這種隨機(jī)性有了新的認(rèn)識。2010年版本北航空氣動力學(xué)第四章《空氣動力學(xué)》國家精品課4.7層流、紊流及其能量損失紊流的隨機(jī)性并不僅僅來自外部邊界條件的各種擾動和激勵，更重要的是來自于內(nèi)部的非線性機(jī)制?；煦绲陌l(fā)現(xiàn)，大大地沖擊了“確定論”，確定