1-1復數(shù)與復平面解析

《復變函數(shù)與積分變換》zPN微積分的局部建立者1、笛卡兒，費馬，約瑟夫·拉格朗日，柯西，羅必塔，泰勒

2、牛頓，萊布尼茨，黎曼，高斯，阿貝爾，達朗貝爾3、傅立葉，歐拉，維爾斯特拉斯，伯努利家族

，微積分是什么？

初等數(shù)學爭論：常量；靜止、有限、近似；微積分學爭論：變量；運動、無限、準確。微積分學任務：爭論初等函數(shù)。微積分學元素:極限、連續(xù)、導數(shù)、積分。實變函數(shù)與復變函數(shù)實變函數(shù)(高等數(shù)學)主要內容微積分(一元、二元、多元)級數(shù)理論常微分方程本質核心之一：有限到無窮〔極限〕實數(shù)列的極限實函數(shù)的連續(xù)實函數(shù)的積分實函數(shù)的微分實級數(shù)、實函數(shù)項級數(shù)的收斂思考：為什么必需是實數(shù)，能是其他的嗎？比方是復數(shù)z=x+yi或三元數(shù)高等數(shù)學中的多元微積分相關概念的推廣，要求加強；相關結果的推廣，計算簡潔程度劇增。以二元函數(shù)的情形為例：積分有曲線積分和曲面積分，微分有全微分和偏微分--場論中的S-公式,O-G公式G-公式思考:能否把多元函數(shù)形式上看出單變量的?假設能,有沒有優(yōu)勢?數(shù)學的追求:應用更廣泛,理論更完善,形式更簡潔實數(shù)與復數(shù)任意兩個實數(shù)都可以比較大小,幾何直觀是實數(shù)軸一般來講,兩個復數(shù)是不能比較大小的,比方i和0,幾何直觀是復平面將y=f(x)推廣為w=f(z),相關概念的定義從形式上看根本是一樣的,但所蘊含的信息可能相差甚遠.要求大家學習時,求同存異.實積分與復積分已經(jīng)學了二元微積分,還學復積分?類似于小學好多難題不用列方程都能解,還有學方程么?f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)強行把z=x+yi視為一個整體,學習之初,想法轉變有些難度,學完之后,理論的應用便利快捷.例如但它倆都是無界函數(shù)函數(shù)的極限,在實數(shù)軸上,x趨于x0,只有左右兩側;在復平面中,z趨于z0,路徑有無窮種情形,后者要求實際上是特殊強的函數(shù)的可積和可微,在這種極限存在的條件下,結論自然就更好看了在某區(qū)域內處處可微的復函數(shù)是無窮次可微的,實函數(shù)可以處處連續(xù)且處處不行微f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)可微,則u,v都可微,但逆明確是不成立的.與高等數(shù)學中結論不同實函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)未必連續(xù),或可導.復函數(shù)項級數(shù)是內閉全都收斂的,和函數(shù)自然是可導的.在假定所求函數(shù)是處處可微的前提下,函數(shù)在某些點或定義域的某一子集上的值,能否唯一確定該函數(shù)?在實函數(shù)情形時,這個很難,一般要求是稠密子集,在復函數(shù)情形,只要該子集有極限點,答案是唯一的.這就是解析函數(shù)的唯一性定理非負實函數(shù)的積分,有下方圖形面積的直觀,復函數(shù)的積分很難想象.Roll定理在復函數(shù)論中不成立,與之相關的各種中值定理根本上都不成立;由于可積的定義要求更強,積分計算也有了更有力的工具:柯西定理,留數(shù)定理等我們可以利用復積分來處理在高等數(shù)學或工作中遇到的,明明知道積分或廣義積分是存在的,就是得不到準確解的問題.復變函數(shù)論〔TheoryofComplexVariableFunctions〕，又稱復分析〔ComplexAnalysis〕，產生于十八世紀，歐拉、達朗貝爾、拉普拉斯等數(shù)學家都為創(chuàng)立這門學科作出很多根底性的爭論工作。十九世紀，復變函數(shù)理論得到了全面進展，三位精彩的數(shù)學家Cauchy、Weierstrass和Riemann等為這門學科的進展作了大量奠基性工作。復變函數(shù)論這個新的數(shù)學分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學，當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最富有的數(shù)學分支，并且成為這個世紀的數(shù)學享受，也有人贊揚它是抽象科學中最和諧的理論之一。二十世紀初，復變函數(shù)理論又有了很大的進展，瑞典數(shù)學家列夫勒、法國數(shù)學家彭加勒、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康臓幷摴ぷ?，開拓了復變函數(shù)理論更寬闊的爭論領域，為這門學科的進展做出了重要奉獻。我國老一輩數(shù)學家在復變函數(shù)理論的爭論中也做出了重要的奉獻，著名數(shù)學家華羅庚、陳建功、楊樂等，他們在國際數(shù)學界也享有很高的聲譽。

復變函數(shù)理論進展到今日已經(jīng)有一百多年的歷史，是一門相當成熟的學科，它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等多個學科。更重要的是，它在其他學科得到了廣泛的應用，有很多簡潔的計算都是用它來解決的。比方物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就承受復變函數(shù)理論解決了飛機機翼的構造問題，他在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了奉獻。課程根本介紹課程名稱：復變函數(shù)與積分變換開課學時：48

學時考核方式：30分尋常成績〔考勤+作業(yè)〕70分卷面成績〔期末考試〕答疑時間及地點：爭論對象復變函數(shù)〔自變量為復數(shù)的函數(shù)〕主要任務爭論復變數(shù)之間的相互依靠關系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。主要內容復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、課程根本介紹學習方法復變函數(shù)中很多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內的推廣和進展，它們之間有很多相像之處。但又有不同之處，在學習中要擅長比較、區(qū)分、特殊要留意復數(shù)域上特有的那些性質與結果。復變函數(shù)的進展過程復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質了解得不清晰，用它們進展計算又得到一些沖突，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能承受的“虛數(shù)”。直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步說明白復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)爭論了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛成認承受，復變函數(shù)論才能順當建立和進展。復變函數(shù)的進展過程復變函數(shù)的進展過程1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼爭論流體力學時，作了更具體的爭論，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。復變函數(shù)論的全面進展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最富有的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人贊揚它是抽象科學中最和諧的理論之一。復變函數(shù)的進展過程二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益親切。復變函數(shù)的進展過程第一章復數(shù)與復變函數(shù)第一講復數(shù)及復平面學習要點把握復數(shù)的意義及代數(shù)運算把握復平面與復數(shù)的表示方法把握復數(shù)的乘冪與方根§1復數(shù)及其代數(shù)運算1.復數(shù)的概念

復數(shù)z的實部

Re(z)=x;虛部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小。復數(shù)相等2.四則運算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)復數(shù)的運算滿足加法交換律、結合律；乘法交換律、結合律和安排律。

共軛復數(shù)的性質定義假設z=x+iy,稱z=x-iy為z的共軛復數(shù).(conjugate)3.共軛復數(shù)解：§2復數(shù)的幾何表示1.點的表示橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面一般稱為z-平面，w-平面等。2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0時，幅角無意義。

幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，

當z落于一,四象限時，不變。

當z落于其次象限時，加p。

當z落于第三象限時，減p.

依據(jù)向量的運算及幾何學問，我們可以得到兩個重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z13.三角表示法可以用復數(shù)的模與輻角來表示非零復數(shù)z4.指數(shù)表示法yox例1例2例3例1解：例2解：例2解：例3證明：例3證明：ONzP4.復球面與無窮遠點球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切的球面，過O點作z平面的垂線與球面交于N點〔稱為北極或者球極〕。對于平面上的任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。從幾何上可以看出：z平面上每個以原點為圓心的圓周對應于球面上的某一個緯圈;N這個圓周以外的點則對應于相應緯圈以北的點，而且假設點z的模越大，球面上相應的點則越靠近北極N。規(guī)定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義§3復數(shù)的乘冪與方根1.復數(shù)的乘積與商利用復數(shù)的三角表示，我們可以更簡潔的表示復數(shù)的乘法與除法集合相等定理：對除法，有將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。o