2023-2024學(xué)年福建省廈門重點中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省廈門重點中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合A={0,1,2,3}A.2個 B.4個 C.6個 D.64個2.若(1+i)z=2A.i B.?i C.1 D.3.已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,+∞)，數(shù)列{anA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個圓環(huán)，解開九連環(huán)共需要256步，解下或套上一個環(huán)算一步，且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程.九連環(huán)把玩時按照一定得程序反復(fù)操作，可以將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第n個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)記為an(n≤9,n∈N*)，已知A.4 B.7 C.16 D.315.用一個平行于圓錐C底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為23，則該圓臺與圓錐C的體積之比為(

)A.58 B.1727 C.19276.已知角α的終邊落在直線y=?2x上，則2A.?25 B.25 C.±7.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為A.152 B.102 C.8.已知函數(shù)f(x)=x2+ex?A.(?∞,1e) B.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.設(shè)a,b為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有(

)A.a?b|a|2=ba10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，A.ω=2 B.φ=π6

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x11.直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，A.CD與AC1一定不垂直 B.AC/?/平面A1BD

12.已知x1，x2，x3(x1<x2<A.0 B.1 C.2 D.3三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知α，β為銳角，tanα=2,c14.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有______.(用數(shù)字作答)15.函數(shù)f(x)=|16.已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx2+四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有Sn=2an+n?3．18.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2a，且△ABC的面積S=b2+c2?a24．19.(本小題12.0分)

已知A，B分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點和上頂點，|AB|=520.(本小題12.0分)

已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=3，BC=2AD=2，E為CD的中點，PB⊥A21.(本小題12.0分)

某工廠A，B兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為p和2p?1(0.5≤p≤1)．

(1)從A，B生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．

(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．

①已知A，B生產(chǎn)線的不合格品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢1000件產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線的挽回?fù)p失較多？

②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后，每件可分別獲利10元、822.(本小題12.0分)

函數(shù)f(x)=sinx?ax+1．

(1)a=12，求f(答案和解析1.【答案】D

【解析】解：B={?1,0,3,8}，P={?1,0,12.【答案】A

【解析】解：由(1+i)z=2i，得z=2i1+i=2i3.【答案】B

【解析】解：“函數(shù)f(x)為增函數(shù)”，可得”數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”，

”數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”不能推出“函數(shù)f(x)為增函數(shù)”，例如f(x)=(x?43)2，x4.【答案】C

【解析】解：依題意，由a1=1，a2=1，an=an?1+2an?2+1(n≥3,n∈N*)，

可知解下第5.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為2r，截去的小圓錐的高為2h，

可得圓錐下底面半徑為3r，圓錐C的高為3h，

所以圓錐C的體積為13π(3r)23h=9πr2h，小圓錐的體積為13π(2r)22h=836.【答案】B

【解析】解：因為角α的終邊落在直線y=?2x上，

所以tanα=?2，

所以2cos2α+sin2α+3sin27.【答案】B

【解析】解：已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F2作一條直線與雙曲線右支交于A、B兩點，坐標(biāo)原點為O，

又|OA|=a2+b2=c，

則∠F1AF2=π2，

又|BF1|=5a，

則|BF28.【答案】D

【解析】解：g(x)=(x?2)2+ln(x?2+a)關(guān)于直線x=1對稱的曲線方程為y=x2+ln(a?x)，

由題意，x2+ex?12=x2+ln(a?x9.【答案】BD【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，a?b|a|2=ba中，左式為實數(shù)，右式為向量，兩邊不等，A錯誤；

對于B，由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，a?a=|a|2cos?a,a?=|a|210.【答案】AB【解析】解：由f(x)≤|f(π6)|得：ω?π6+φ=k1π+π2,k1∈Z，

由f(x)+f(56π?x)=0得：ω?5π12+φ=k2π,k2∈Z，

∴ω=4(k2?k1)11.【答案】BC【解析】解：依題作圖，如圖1，并將其補成正方體ABEC?A1B1E1C1，如圖2：

對于A，當(dāng)D為C1B的中點，CD與CB1重合，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得CD⊥AC1，故A錯誤；

對于B，因為AC/?/A1C1，A1C1?平面A1BD，所以AC/?/平面A1BD，故B正確；

則三棱錐A1?ABC的外接球即正方體的外接球，

外接球的半徑為32，外接球的表面積S=4π×(3212.【答案】CD【解析】解：因為f(1)=0，

當(dāng)x≠1時，由f(x)=0，可得?m=(x?1)ex+eex?e=(x?1)ex?1+1ex?1?1，

設(shè)h(t)=t?et+1et?1，

則h(?t)=(?t)?e?t+1e?t?1=(?t)?et13.【答案】1110【解析】解：由于β為銳角，所以sinβ=1?(255)2=14.【答案】240

【解析】解：根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有C52種選法；

然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，

根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有C52×4！=240種不同的分配方案．

故答案為：15.【答案】[1【解析】解：函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx的定義域為{x|x>0}，

當(dāng)0<x≤12時，f(x)=1?2x?2lnx為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)12<x≤1時，f(x)=2x?1?16.【答案】(5【解析】解：f(x)=cosωx+3sinωx=2sin(ωx+π6)，

令ωx+π6=kπ,k∈Z，解得x=?π6ω+kπω,k∈Z，所以f(x)的零點為17.【答案】解：(1)證明：由Sn=2an+n?3，得Sn?1=2an?1+n?4(n≥2)，

兩式相減得an=2an?2an?1+1，即【解析】(1)由Sn=2an+n?3可得Sn?1=2an18.【答案】解：(1)由余弦定理得S=b2+c2?a24=12bccosA，又因為S=12bcsinA，

所以sinA=cosA，所以tanA=1，

因為A∈(0,π)，所以A=π4，由正弦定理得csinC=asinA，

因為c=2a【解析】(1)由余弦定理可得tanA=1，進(jìn)而可求C；

(2)設(shè)∠19.【答案】解：(1)∵A、B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，的兩個頂點，且|AB|=5，

直線AB的斜率為?12，由A(a,0)，B(0,b)，

得|AB|=a2+b2=5，又k=b?00?a=?ba=?12，【解析】(1)根據(jù)題意可得|AB|=a2+b2=5,k=b?00?a=?ba=?20.【答案】解：(1)證明：由四邊形ABCD是直角梯形，AB=3，BC=2AD=2，AB⊥BC，

可得DC=2，∠BCD=π3，從而△BCD是等邊三角形，BD=2，BD平分∠ADC．

∵E為CD的中點，∴DE=AD=1，∴BD⊥AE，

又∵PB⊥AE，PB∩BD=B，∴AE⊥平面PBD．

又∵AE?平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABCD．

(2)在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O，連接OC，

又∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PB【解析】(1)推導(dǎo)出BD⊥AE，PB⊥AE，從而AE⊥平面PBD.由此能證明平面PBD⊥平面ABCD．

(2)在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O，連接OC，推導(dǎo)出21.【答案】解：(1)P=1?(1?p)[1?(2p?1)]=1?2(1?p)2．

令1?2(1?p)2≥0.995，解得p≥0.95．

故p的最小值p0=0.95．

(2)①由(1)可知A，B生產(chǎn)線上的產(chǎn)品合格率分別為0.95，0.9．

即A，

X

10

8

6

P

11

1

9∴EX=10×1140+8【解析】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算，屬于中檔題．

(1)根據(jù)對立事件的性質(zhì)得出至少有一件合格品的概率，列出不等式求出p的最小值即可；

(2)①根據(jù)A，B生產(chǎn)線的產(chǎn)品合格率，估計不合格產(chǎn)品的數(shù)量，再計算挽回的損失數(shù)得出答案；22.【答案】解：(1)a=12，f(x)=sinx?12x+1，f′(x)=cosx?12，

當(dāng)?π3+2kπ<x<π3+2kπ，k∈Z時，f′