二次函數(shù)專題三：最值問題

二次函數(shù)專題三：最值問題一、幾何最值問題引子：初中階段學(xué)過的有關(guān)線段最小值的有兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，無(wú)論是兩點(diǎn)之間選段最短還是垂線段最短，它們的本質(zhì)就是要線段首尾相接，或者說線段要有公共端點(diǎn)，如果我們公共端點(diǎn)，我們要想辦法把它們構(gòu)造成有公共端點(diǎn)來(lái)解決；有關(guān)線段最大值的問題，學(xué)過的有三角形三邊之間的關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，我們可以利用這個(gè)來(lái)求第三邊的最大值，還有稍微難一點(diǎn)的就是利用二次函數(shù)及其自變量取值范圍來(lái)求最大值幾何最值模型：1、兩點(diǎn)間距離之和最小2、兩點(diǎn)之間距離之差絕對(duì)值最大3、線段距離之和最大（?。?、費(fèi)馬定理總結(jié)：共線距離最大（?。?、拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，B(1,0)，C(0,-3).⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥：點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)距離之差最大，即求|PA－PC|的最大值，因P點(diǎn)在對(duì)稱軸上，有PA=PB，也就是求|PB－PC|，到了這兒，易知當(dāng)P點(diǎn)是BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，易知最大值就是線段BC的長(zhǎng)。具體解題過程略2、研究發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)（）圖象上任何一點(diǎn)到定點(diǎn)（0，）和到定直線的距離相等.我們把定點(diǎn)（0，）叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.（1）寫出函數(shù)圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）等邊三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在二次函數(shù)圖象上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；（3）M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P（1，3）為定點(diǎn)，求MP+MF的最小值.思路點(diǎn)撥：（2）因△OAB是等邊三角形，易知AB平行于X軸，且∠AOB=60°，知OA、OB于y軸的夾角等于30°，利用這點(diǎn)容易求出三角形的邊長(zhǎng)（3）由題目可知MF的長(zhǎng)度等于M點(diǎn)到直線y=－1的距離，那么MP+MF就是P點(diǎn)到達(dá)拋物線上某一點(diǎn)再到y(tǒng)=－1上某一點(diǎn)的距離和，易知最小值就是過P點(diǎn)做y=－1的垂線段的長(zhǎng)解：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線方程是；（2）設(shè)等邊ΔOAB的邊長(zhǎng)為x，則AD=，OD=.故A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.把A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)，得，解得（舍去），或.∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為.（3）如圖，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則MN=MF.過P作準(zhǔn)線的垂線PQ，垂足為Q，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到PQ與拋物線交點(diǎn)位置時(shí)，MP+MF最小，最小值為PQ=4.3、思路點(diǎn)撥：（2）要求AE和AM的長(zhǎng)，對(duì)于求線段的長(zhǎng)度我們學(xué)過的是勾股定理，相似三角形和簡(jiǎn)單三角函數(shù)，從題目可知OA和OE的長(zhǎng)以及E點(diǎn)到x軸的距離，我們作EG⊥x軸，垂足為G，那么容易求出OG的長(zhǎng)，從而求出AE的長(zhǎng)；要求AM的長(zhǎng)，先做OK⊥AE，垂足為K，要求AM的長(zhǎng)，首先我們利用已知的OA的長(zhǎng)和∠EAO的函數(shù)值來(lái)求出AK和OK的長(zhǎng)，利用OK的長(zhǎng)和三角形OMN是等邊三角形求出MK和NK的長(zhǎng)，AM的長(zhǎng)也就知道了（3）這個(gè)是著名的費(fèi)馬點(diǎn)的問題，第2問給了我們提示，我們可以猜想當(dāng)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，PA+PB+PO才能取最小值，P點(diǎn)應(yīng)該在線段AE上，至于具體的位置我們還不知道，我們就在線段AE上任取一點(diǎn)P，把PA、PB、PO連起來(lái)，要取最小值，那么這三條線段應(yīng)該首尾相接，我們應(yīng)該能想到它們首尾相接后的位置就是AE所在直線，這時(shí)P點(diǎn)應(yīng)該和在△OAB內(nèi)的M點(diǎn)重合，PA的長(zhǎng)就是AM的長(zhǎng)，m的最小值就是AE的長(zhǎng)解：(1）過作⊥于．---------------------------1分∵=，∴△∽△．∵點(diǎn)，，可得，．∵為中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.-----------2分∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴,∴在△中，,.過點(diǎn)作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或．（寫出一個(gè)給1分）（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為.4、2009年中考第25題如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使，過D點(diǎn)作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線y＝kx＋b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y＝kx＋b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)．若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短．(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明)思路點(diǎn)撥：（3）首先要把速度轉(zhuǎn)化成路程，也就是線段的長(zhǎng)度，直線與y軸的交點(diǎn)假設(shè)為M，則OM=6,設(shè)P點(diǎn)在y軸上的速度為2v，那么在GA上的速度為v，P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間為，要使時(shí)間最短，也就是求AG+GM/2的最小值，那么我們要把它轉(zhuǎn)化成我們熟悉的兩條線段的和，因?yàn)椤螧MO=30°，GM/2也就是G點(diǎn)到BM的距離，我們作GK⊥BM，垂足為K,問題轉(zhuǎn)化成求GA+GM的最小值，易知，A、G、M必須共線且垂直BM，所以G點(diǎn)就是過A點(diǎn)作BM的垂線與y軸的交點(diǎn)解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4)，∴OA＝6，OC＝4．設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．又，．∴CM＝2，MD＝3．同理可得EM＝3．∴OM＝6．∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，6)．(2)由(1)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，6)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線．∴點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F在y軸上．∴ED與CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四邊形CDFE為菱形，且點(diǎn)M為其對(duì)稱中心．作直線BM．設(shè)BM與CD、EF分別交于點(diǎn)S、點(diǎn)T．可證△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直線BM將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形．由點(diǎn)B(6，0)，點(diǎn)M(0，6)在直線y＝kx＋b上，可得直線BM的解析式為y＝－x＋6．第25題答圖(3)確定G點(diǎn)位置的方法：過A點(diǎn)作AH⊥BM于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn)．由OB＝6，OM＝6，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2．∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)．(或G點(diǎn)的位置為線段OC的中點(diǎn))5、（2012東城一模第25題8分）25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn),頂點(diǎn)為.(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作直線：交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)作直線∥交直線于點(diǎn).問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、、，求和的最小值.25．（本小題滿分8分）解:(1)∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0），∴解得∴二次函數(shù)解析式為.……………2分（2）可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）.可求直線AD的解析式為.由題意可求直線BK的解析式為.∵直線的解析式為,∴可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)為(5,).易求.∴四邊形ABKD是菱形.∵菱形的中心到四邊的距離相等，∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，即是滿足題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，）.……………5分(3)∵點(diǎn)D、B關(guān)于直線AK對(duì)稱,∴的最小值是.過K作KF⊥x軸于F點(diǎn).過點(diǎn)K作直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P,連接KP,交直線AD于點(diǎn)Q,∴KP⊥AD.∵AK是∠DAB的角平分線,∴.∴的最小值是.即BP的長(zhǎng)是的最小值.∵BK∥AD,∴.在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.∴的最小值為8.……………8分6、（2012朝陽(yáng)二模第第25題8分）25.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（－3,0）、B（4,0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且BD＝BC，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng).（1）求該拋物線的解析式；（2）若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；（3）該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.25.解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3,0），B（4,0）兩點(diǎn)，∴解得∴所求拋物線的解析式為.……………2分（2）如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7.∵BD＝BC，∴.………………3分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ=∠CDP.∵BD＝BC，∴∠DCB=∠CDB.∴∠CDQ=∠DCB.∴DQ∥BC.∴△ADQ∽△ABC.∴.∴.∴.解得.………4分∴.………5分∴線段PQ被CD垂直平分時(shí)，t的值為.（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BQ交該對(duì)稱軸于點(diǎn)M.則，即.…………6分當(dāng)BQ⊥AC時(shí)，BQ最小.…………………7分此時(shí)，∠EBM=∠ACO.∴.∴.∴，解得.∴M（，）.……………8分即在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（，），使得MQ＋MA的值最小.二、代數(shù)最值問題1、（2012豐臺(tái)二模25題8分）25．如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（，0），C（0，2）．(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C，求該拋物線的解析式；（2）將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（0°<<90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（0°<<180°），將得到矩形OA’B’C’，設(shè)A’C’的中點(diǎn)為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)°時(shí)，線段CE的長(zhǎng)度最大，最大值為．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴拋物線的對(duì)稱軸為x=．∴b=．……1分∴二次函數(shù)的解析式為：．……2分(2)①當(dāng)頂點(diǎn)A落在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A’，聯(lián)結(jié)OA’，設(shè)對(duì)稱軸x=與x軸交于點(diǎn)D，∴OD=．∴OA’=OA=．在Rt△OA’D中，根據(jù)勾股定理A’D=3．∴A’(，-3)．……4分②當(dāng)頂點(diǎn)落C對(duì)稱軸上時(shí)(圖略)，設(shè)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C’，聯(lián)結(jié)OC’，在Rt△OC’D中，根據(jù)勾股定理C’D=1．∴C’(，1)．……6分(3)120°，4．……8分2、（2012西城二模第25題8分）25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)為M，直線，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)A，點(diǎn)B.⑴直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；⑵設(shè)線段AB的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的最小值，并直接寫出此時(shí)線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；(3)已知二次函數(shù)（，，為整數(shù)且），對(duì)一切實(shí)數(shù)恒有≤≤，求，，的值.25．解：(1)，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分圖10(2)=AB==.圖10∴==.﹍﹍3分∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.﹍﹍4分當(dāng)取最小值時(shí)，線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是OB⊥PM且OB=PM.(如圖10)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3)∵對(duì)一切實(shí)數(shù)恒有≤≤，∴對(duì)一切實(shí)數(shù)，≤≤都成立.()①當(dāng)時(shí)，①式化為0≤≤.∴整數(shù)的值為0.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分此時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)，≤≤都成立.()②③即對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立.②③由②得≥0()對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立.④⑤∴④⑤