2021-2022學(xué)年福建省福鼎第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年福建省福鼎第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線y=﹣x3+3x2在點（1，2）處的切線方程為A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，∴曲線y=﹣x3+3x2在點（1，2）處的切線方程為y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故選A．點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎(chǔ)題．2．已知分別為橢圓的左，右焦點，為上頂點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點坐標(biāo)和點A的坐標(biāo)，進而求出三角形的面積.【詳解】由橢圓方程得..故選：D.3．函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可得，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即求.【詳解】∵，∴，由得，，∴函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C.4．已知函數(shù)在x=2處取得極值，則極小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，求得，代入利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)極小值.【詳解】由函數(shù)，可得，因為在處取得極值，可得，即，解得，所以，可得，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得極小值，極小值為．故選：C.5．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為，要使其體積最大，則其高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐高為，利用表示出底面半徑，從而可構(gòu)造出關(guān)于圓錐體積的函數(shù)關(guān)系式；利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時，體積最大，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓錐底面半徑：圓錐體積：，令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)，取最大值即體積最大時，圓錐的高為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)思想來解決立體幾何中的最值問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于所求變量的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)來求解最值.6．設(shè)分別是橢圓C:的左右焦點，點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到，兩邊平方，再根據(jù)，即可得到，從而得解；【詳解】解：依題意可得、，，因為，所以，即，所以，，解得或（舍去），所以離心率；故選：B7．函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值點，依題意因為所給區(qū)間為開區(qū)間，所以最值只能在極大值點處取得，再求出極大值，求出臨界點，即可求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：因為，所以，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，因為在上有最大值，所以極大值點，又，當(dāng)時，即，解得或，所以，故選：D．8．已知曲線與直線相切，且滿足條件的值有且只有個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，求出曲線在處的切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得出，可知關(guān)于的方程有三個解，由參變量分離法可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線方程為，因為直線過定點，將點的坐標(biāo)代入切線方程得，由題意可知，關(guān)于的方程有三個解，顯然不滿足方程，則，令，則，列表如下：增減極小值減所以，函數(shù)的極小值為，且，如下圖所示：由題意可知，當(dāng)時，直線與曲線有三個交點，故選：D.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.二、多選題9．下列求導(dǎo)運算正確的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD.10．已知橢圓M：的左右焦點分別為，左右頂點分別為，P是橢圓上異于的任意一點，則下列說法正確的是（

）A．周長為B．面積最大值為C．存在點P滿足：D．若面積為，則點P橫坐標(biāo)為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，利用橢圓的性質(zhì)可得面積最大值判斷B，求出當(dāng)是短軸端點時的后可判斷C，由三角形面積求得點坐標(biāo)后可判斷D．【詳解】由題意，，，短軸一個端點，由題知，故周長為，故A錯誤；利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；因為，所以，從而，而是橢圓上任一點時，當(dāng)是短軸端點時最大，因此不存在點滿足，故C錯誤；因為，，則，，故D正確．故選：BD．11．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)滿足則函數(shù)在處切線斜率為B．函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，則C．函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則D．若任意，都有，則有實數(shù)的最大值為【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，由，可知函數(shù)在處切線斜率為，故A正確；對于B，由函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，可知，所以，故B正確；對于C，由，可得，則在區(qū)間上有變號零點，即在區(qū)間上有解，又，當(dāng)時，，函數(shù)沒有極值，故，故C錯誤；對于D，令，則，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，又任意，都有，即，故，即實數(shù)的最大值為，故D正確.故選：ABD.12．若函數(shù)的圖象是連續(xù)的平滑曲線，且在區(qū)間上恒非負，則其圖象與直線軸圍成的封閉圖形的面積稱為在區(qū)間上的“圍面積”.根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，計算面積時，若存在函數(shù)滿足則為在區(qū)間上的圍面積.下列圍面積計算正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是B．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是C．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是D．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是【答案】BCD【分析】根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)逐個分析求解即可【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負函數(shù)，且存在滿足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以A錯誤，對于B，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負函數(shù)，且存在滿足，所以函數(shù)在區(qū)間上圍面積是，所以B正確，對于C，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負函數(shù)，且存在，滿足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以C正確，對于D，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負函數(shù)，且存在，滿足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以D正確，故選：BCD三、填空題13．函數(shù)有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】由題意可知有兩個不相等的實根，從而可可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因為函數(shù)有2個極值點，所以有兩個不相等的實根，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：14．已知橢圓的焦點F1、F2在x軸上，它與y軸的一個交點為P，且△PF1F2為正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為_______．【答案】【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，可得焦點坐標(biāo)和點的坐標(biāo)，然后由已知可得，則可得，再根據(jù)焦點到橢圓上的點的最短距離為，得，從而可求出，再利用可求出，進而可得橢圓方程【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，當(dāng)時，，不妨設(shè)，因為△PF1F2為正三角形，所以，即，所以，因為焦點到橢圓上的點的最短距離為，所以，解得，所以，所以橢圓方程為，故答案為：15．已知函數(shù)則滿足的取值范圍是_________【答案】【分析】利用的單調(diào)性解不等式【詳解】，而，，均在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可化為，解得故答案為：16．已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且、關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍為________【答案】【分析】設(shè)則，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求值域即可.【詳解】設(shè)則所以，，聯(lián)立可得，即對于有解，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，所以，所以值域為，即可得的取值范圍為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即得.四、解答題17．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點處與直線相切．(1)求實數(shù)、的值；(2)求函數(shù)極值﹒【答案】(1)1、；(2)極大值為，無極小值﹒【分析】(1)由題可知，解方程組即可得a、b的值；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求f(x)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求極值.【詳解】(1)，由題可知，解得，；(2)由(1)可知，，，x＞0，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，∴f(x)有極大值，無極小值.18．已知函數(shù)(1)討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若，且在上的最小值為，求實數(shù)的值.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下，根據(jù)正負可得單調(diào)性；（2）分別在、和三種情況下，根據(jù)單調(diào)性確定最小值點，利用最小值可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意知：定義域為，；當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，，不合題意；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：；若，則在上單調(diào)遞減，，解得：，不合題意；綜上所述：.19．某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量小于萬件時，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬件時，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價為元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入固定成本流動成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（取）.【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量萬件時，年利潤最大，最大年利潤為萬元.【分析】（1）根據(jù)題中條件，分和兩種情況，分別求出對應(yīng)的解析式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中解析式，分別求出和兩種情況下，的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為元，則萬件商品銷售收入為萬元，由題意可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以；（2）由（1）可得，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；當(dāng)時，，則，所以，當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，取得最大值；綜上，當(dāng)時，取得最大值萬元；即當(dāng)年產(chǎn)量為時，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大年利潤是萬元.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)最值的一般步驟：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.20．已知函數(shù)為實數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的范圍；【答案】（I）見解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，解得或，根據(jù)根的大小三種情況分類討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)由題意，函數(shù)，則令，解得或，①當(dāng)時，有，有，故在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，有，隨的變化情況如下表：極大極小由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③同②當(dāng)時，有，有在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，設(shè)，，則有…（）易得，令，有，，隨的變化情況如下表：極大由上表可知，又由（）式可知，故的范圍為．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．21．已知橢圓()的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于A，兩點，點的坐標(biāo)為，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由離心率可得，將代入橢圓可求得，得出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理即可求得.【詳解】（1）橢圓的離心率，，則，點在橢圓上，，解得，則，橢圓的方程為.（2）設(shè).聯(lián)立，得.，即，，，，，整理得，解得，滿足，故.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.22．已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）是否存在整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出