離散Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究及控制器設(shè)計(jì)

離散Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究及控制器設(shè)計(jì)【摘要】本文以離散Markovian跳躍系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并借助線性矩陣不等式（LMIs）的方法得到穩(wěn)定性條件及控制器形式，并對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到控制器參數(shù)?！娟P(guān)鍵詞】離散Markovian跳躍系統(tǒng)；Lyapunov穩(wěn)定法；性矩陣不等式（LMIs）0.引言在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，存在著愈加復(fù)雜的關(guān)聯(lián)子系統(tǒng)，子系統(tǒng)的相關(guān)關(guān)聯(lián)的轉(zhuǎn)變、零件故障以及外界環(huán)境的突變，都會(huì)引起系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化，由這些突變產(chǎn)生的系統(tǒng)我們稱之為Markovian跳躍系統(tǒng)[1]。這類系統(tǒng)可以描述眾多的實(shí)際系統(tǒng)，對(duì)實(shí)際控制過(guò)程有較大價(jià)值，因此得到廣泛關(guān)注。另一方面，迅猛發(fā)展的科技水平使得各種工業(yè)過(guò)程、生產(chǎn)設(shè)備以及其他很多的被控對(duì)象日益復(fù)雜化、大型化，系統(tǒng)維數(shù)呈現(xiàn)越來(lái)越高的趨勢(shì)，所以，要想實(shí)現(xiàn)對(duì)工業(yè)過(guò)程的更優(yōu)控制，要求更好地利用及優(yōu)化Markovian模型，深入研究該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件以及控制策略，這不僅有重要的理論價(jià)值，也具有很重要的實(shí)際意義。1.系統(tǒng)描述1.1離散Markovian跳躍系統(tǒng)離散Markovian跳變系統(tǒng)定義為一類具有Markov跳躍參數(shù)的離散時(shí)間切換系統(tǒng)，切換系統(tǒng)在切換的過(guò)程中，每一時(shí)刻的系統(tǒng)模式對(duì)應(yīng)于一個(gè)子系統(tǒng)的模型，由切換序列確定每一時(shí)刻系統(tǒng)切換到哪一個(gè)子系統(tǒng)[2]。而Markov跳躍系統(tǒng)在模態(tài)的切換過(guò)程中并沒(méi)有遵循任何固定的切換序列，各模態(tài)間是隨機(jī)切換的，但這種隨機(jī)切換是符合一定的統(tǒng)計(jì)特性，即服從Markov跳躍過(guò)程的，因此也被視為一類特殊的隨機(jī)系統(tǒng)，或稱隨機(jī)Markov跳躍系統(tǒng)。而離散Makovian系統(tǒng)就是模態(tài)參數(shù)為離散的一類隨機(jī)系統(tǒng)。針對(duì)離散Markovian跳變系統(tǒng)，Ji等證明了二階矩穩(wěn)定（均方穩(wěn)定、隨機(jī)穩(wěn)定與指數(shù)均方穩(wěn)定）是相互等價(jià)的特性，并運(yùn)用隨機(jī)Lyapunov泛函方法得到了隨機(jī)穩(wěn)定、隨機(jī)鎮(zhèn)定，均方穩(wěn)定及幾乎必然穩(wěn)定的條件。接著，Boukas等以代數(shù)Riccati方程的形式給出了離散Markovian跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒鎮(zhèn)定性條件[3]。1.2系統(tǒng)模型考慮離散Markovian跳躍系統(tǒng)的模型為[4]：（公式1）其中，和是系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入。這里，是離散同質(zhì)的Markovian鏈，在有限狀態(tài)空間={1，2，..，N}取值，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為，，其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率代表從模態(tài)到模態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，并且：，（公式2）對(duì)于任意，。2.系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2.1李亞普諾夫穩(wěn)定法李雅普諾夫法是建立在普遍情況之上的一種穩(wěn)定判據(jù)，即：如果系統(tǒng)有一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，那么當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)積蓄的能量隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，直到平衡狀態(tài)處達(dá)到最小值[5]。若能找到一個(gè)完全描述上述過(guò)程的所謂的能量函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題也就容易解決了，對(duì)于離散跳變系統(tǒng)，引入李亞普諾夫能量函數(shù)，即：對(duì)于離散Markovian跳變系統(tǒng)，而言，若存在正定函數(shù)，且滿足，，，則平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且當(dāng)時(shí)，有，則是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。利用這種方法，我們就可以構(gòu)造一個(gè)正定函數(shù)，用來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。2.2系統(tǒng)穩(wěn)定條件定理2.1對(duì)于系統(tǒng)（1），若存在一個(gè)正定矩陣P滿足線性矩陣不等式，其中，，則系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定[6]。證明：分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，令，系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化為：，（公式3）設(shè)定能量方程為：其中，P為正定矩陣，令，對(duì)于離散系統(tǒng)，變量的變化率用差分方程來(lái)表示，若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則要滿足：（公式4）其中，將公式3代入公式4，得：（公式5）由公式5可得證：即為系統(tǒng)穩(wěn)定條件。3.系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)Markovian跳躍系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)性較強(qiáng)的系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)的應(yīng)用中，為了防止發(fā)生數(shù)據(jù)丟失、錯(cuò)發(fā)，要設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定。3.1問(wèn)題描述設(shè)計(jì)控制器要考慮到系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)模型為：（公式6）其中，為反饋控制器，且令3.2穩(wěn)定性分析考慮Lyapunov能量方程的形式為，對(duì)能量方程進(jìn)行微分，得到差分方程如下：（公式7）將公式6代表的系統(tǒng)帶入代入公式7，得到：（公式8）由公式8可知，要想滿足，使能量方程為衰減，需要滿足：（公式9）可知，公式9即為離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。3.3控制器設(shè)計(jì)已知離散Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為：其中，，將其帶入穩(wěn)定性條件并變形得到：（公式10）以分別左乘和右乘上式公式10，得到其中，那么可由Schur補(bǔ)引理[7]，得到下列矩陣不等式其中，*代表矩陣的對(duì)陣部分。令，得到令，得到（公式10）由矩陣