數(shù)列通項公式總結(jié)(整理)(生)

PAGEPAGE1高考數(shù)列題型分類歸納解析各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法。類型1：遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進行求解。例：已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an類型2：解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足，，求。變式:已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項公式.類型3：解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，變式1：已知，，求。變式2:（2004，全國I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項類型4：（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，，，求.變式1:在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項____________（key:）變式2:已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； 類型5：解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.變式：已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列類型6：（其中p，q均為常數(shù)）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:設(shè)數(shù)列的前項的和，（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設(shè)，，證明：以下的題型不常用：類型7：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)——迭加法）:數(shù)列：，，求數(shù)列的通項公式。例:已知數(shù)列中，,,，求。變式:已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列類型8解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列變式:已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。變式:已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項公式；類型10解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求變式:數(shù)列記（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和類型11：雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累