第八章 平面解析幾何

第八章平面解析幾何第一節(jié)

直線的傾斜角與斜率、直線的方程第二節(jié)

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式第三節(jié)

圓的方程第四節(jié)

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第五節(jié)

橢圓第六節(jié)

雙曲線第七節(jié)

拋物線第八節(jié)

曲線與方程第九節(jié)

直線與圓錐曲線專家講壇目錄[備考方向要明了]1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式．2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直．3.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.考什么1.對直線的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨(dú)命題，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時要加深理解．2.對兩條直線平行或垂直的考查，多與其他知識結(jié)合考查，如2012年浙江T3等．3.直線方程一直是高考考查的重點(diǎn)，且具有以下特點(diǎn)：(1)一般不單獨(dú)命題，考查形式多與其他知識結(jié)合，以選擇題為主．(2)主要是涉及直線方程和斜率.怎么考[歸納·知識整合]1．直線的傾斜角與斜率

(1)直線的傾斜角①一個前提：直線l與x軸

；一個基準(zhǔn)：取

作為基準(zhǔn)；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向．②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為

.③傾斜角的取值范圍為

．

(2)直線的斜率①定義：若直線的傾斜角θ不是90°，則斜率k

.②計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝.相交x軸0°[0，π)tanα[探究]

1.直線的傾角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？2．兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系[探究]

2.兩條直線l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為－1，這句話正確嗎？

提示：不正確，當(dāng)一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在．3．直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)_______________不含直線x＝x0斜截式斜率k與截距b___________不含垂直于x軸的直線y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名稱條件方程適用范圍兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式截距a與b不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[探究]

3.過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？提示：當(dāng)x1＝x2，或y1＝y(tǒng)2時，由兩點(diǎn)式方程知分母此時為零，所以不能用兩點(diǎn)式方程表示．[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)若直線x＝2的傾斜角為α，則α(

)答案：C

2．(教材習(xí)題改編)過點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．過兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線方程為 (

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直線l的傾斜角為30°，若直線l1∥l，則直線l1的斜率k1＝________；若直線l2⊥l，則直線l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點(diǎn)共線，則x等于________．答案：－3直線的傾斜角和斜率[例1]

(1)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(

)(2)已知兩點(diǎn)A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，則直線AB的傾斜角為________；(3)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為________．若將本例(3)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍.斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率；1．直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(

)答案：A

2．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為(

)答案：B

直線的平行與垂直的判斷及應(yīng)用用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1與l2垂直的充要條件l1與l2平行的充分條件A2＋B1B2＝0l1與l2相交的充分條件l1與l2重合的充分條件3．已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝________.答案：－64．已知過點(diǎn)A(－2，m)，B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為________．答案：－8直線方程[例3]

(1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為 (

)A．y－1＝3(x－3)

B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．△OAB的面積為12，則直線l的方程是_____________________________________________．[自主解答]

(1)因為AO＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為：y－3＝－3(x－1)．[答案]

(1)D

(2)2x＋3y－12＝0求直線方程的常用方法

(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程．

(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程．再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．5．△ABC的三個頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．(1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率．

(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系αk0°00°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0(1)明確直線方程各種形式的適用條件點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線．在應(yīng)用時要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無特殊要求下一般化為一般式．

(2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零．

(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率存在與否加以討論.易誤警示——有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)[典例]

(2013·常州模擬)過點(diǎn)P(－2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為______________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時漏掉直線方程3x＋2y＝0而致錯．所以，可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解．

2．在選用直線方程時，常易忽視的情況還有：①選用點(diǎn)斜式與斜截式時忽視斜率不存在的情況；②選用兩點(diǎn)式方程時忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況．已知直線l過(2,1)，(m,3)兩點(diǎn)，則直線l的方程為____．答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（四十九）”1．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線3y＝2x＋1垂直，則l的方程是 (

)A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：法一：設(shè)所求直線l的方程為3x＋2y＋C＝0，則3×(－1)＋2×2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程為3x＋2y－1＝0.答案：A

2．直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是 (

)答案：D

3．已知A(3,0)，B(0,4)，動點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動，則xy的最大值等于________．答案：3

4．已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程．故所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.[備考方向要明了]1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)一般是不單獨(dú)命題的，常作為知識點(diǎn)出現(xiàn)在相關(guān)的位置關(guān)系中．2.兩點(diǎn)間距離公式是解析幾何的一個基本知識點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式是高考考查的重點(diǎn)，一般將這兩個知識點(diǎn)結(jié)合直線與圓或圓錐曲線的問題中來考查.1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、會求兩條平行直線間的距離.怎么考考什么[歸納·知識整合]交點(diǎn)坐標(biāo)(1)若方程組有唯一解，則兩條直線

，此解就是

；相交交點(diǎn)的坐標(biāo)(2)若方程組無解，則兩條直線

，此時兩條直線

，反之，亦成立．無公共點(diǎn)平行[探究]

1.如何用兩直線的交點(diǎn)判斷兩直線的位置關(guān)系？提示：當(dāng)兩條直線有一個交點(diǎn)時，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時，兩條直線平行，有無數(shù)個交點(diǎn)時，兩條直線重合．2．距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝

點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝[探究]

1.使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么？

提示：使用點(diǎn)到直線距離公式時要注意將直線方程化為一般式．使用兩條平行線間距離公式時，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對應(yīng)相等．[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是(

)答案：D

2．點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長為 (

)A．10 B．5C．8 D．6解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝ (

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)是________．答案：(－4，－3)兩條直線的交點(diǎn)問題

[例1]

(1)經(jīng)過直線l1：x＋y＋1＝0與直線l2：x－y＋3＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：2x－y＋2＝0垂直的直線l的方程是________．

(2)已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0，若l1與l2相交，則實(shí)數(shù)m、n滿足的條件是________．法二：∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線l的方程為x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.[答案]

(1)x＋2y＝0

(2)m≠±4，n∈R若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程．經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的設(shè)法經(jīng)過兩相交直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(這個直線系方程中不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.1．設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交；(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上．距離公式的應(yīng)用[例2]

已知點(diǎn)P(2，－1)．

(1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；

(2)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

(3)是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．(3)由(2)可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過的直線，因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線．求兩條平行線間距離的兩種思路

(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．

(2)利用兩平行線間的距離公式．2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2.對稱問題[例3]

已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程．求點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題的基本方法(1)已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直；(2)已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上．利用以上兩點(diǎn)建立方程組可求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題．

3．直線y＝2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線，

若點(diǎn)A(－4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：

(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；

(2)平行：Ax＋By＋n＝0.一般地，對稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對稱、直線關(guān)于直線的對稱等情況，上述各種對稱問題最終化歸為點(diǎn)的對稱問題來解決．(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨(dú)考慮；創(chuàng)新交匯——新定義下的直線方程問題1．直線方程是高考的常考內(nèi)容，但一般不單獨(dú)考查，常與圓、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，以交匯創(chuàng)新的形式出現(xiàn)在高考中．

2．解決新定義下的直線方程的問題，難點(diǎn)是對新定義的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中．[答案]①1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，對解析幾何問題與函數(shù)知識巧妙地結(jié)合創(chuàng)新．

(2)考查新定義、新概念的理解和運(yùn)用的同時考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與思維習(xí)慣有所不同．

2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)

(1)根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；

(2)認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到[OP]的最小值為1是假命題．3．在解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點(diǎn)

(1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延；

(2)對于新概念、新結(jié)論要具體化，舉幾個具體的例子，代入幾個特殊值；

(3)注意新概念、新結(jié)論的正用會怎樣，逆用會怎樣，變形用又將會如何．(1)求S＝f(k)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)k為何值時，直線y＝kx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分．“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（五十）”1．記直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直時m的取值集合為M，直線x＋ny＋3＝0與直線nx＋4y＋6＝0平行時n的取值集合為N，則M∪N＝________.2．已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分線在y＝x＋1上，則AC所在直線方程是________．答案：x－2y－1＝03．已知直線l過點(diǎn)P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．解：法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，4．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，求直線l的方程．[備考方向要明了]圓的方程、圓心坐標(biāo)、半徑、圓的性質(zhì)等是高考考查圓的基礎(chǔ)知識時最常涉及的要素．大多以選擇題或填空題的形式考查，有時也會穿插在解答題中，如2012年江蘇T12等.1.掌握確定圓的幾何要素．2.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.怎么考考什么[歸納·知識整合]1．圓的定義

(1)在平面內(nèi)，到

的距離等于

的點(diǎn)的軌跡叫做圓．

(2)確定一個圓的要素是

和

．定點(diǎn)定長圓心半徑2．圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程①兩個條件：圓心(a，b)，

；②標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半徑r(2)圓的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圓的充要條件為：

；③圓心坐標(biāo)，半徑r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？

提示：不一定．只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時，上述方程才表示圓．2．如何實(shí)現(xiàn)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化？

提示：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，可用下圖表示：3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：

與

的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三個結(jié)論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)①

?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．點(diǎn)圓心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是 (

)解析：∵點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材習(xí)題改編)經(jīng)過圓(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圓心，且與直線2x＋y＝0垂直的直線方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圓的方程[例1]

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為______________．

(2)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝2求圓的方程的兩種方法求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．若條件中圓心坐標(biāo)明確時，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時，常設(shè)為一般方程．

1．求下列圓的方程：(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．與圓有關(guān)的最值問題[例2]已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．保持本例條件不變，求點(diǎn)P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．—————————————————與圓有關(guān)的最值問題及解決方法(2)形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題．與圓有關(guān)的軌跡問題[例3]

已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

[自主解答]

(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因為P點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.求軌跡方程的一般步驟

(1)建系設(shè)點(diǎn)：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)；

(2)列式：列出幾何等式；

(3)坐標(biāo)化：用坐標(biāo)表示得到方程；

(4)化簡：化簡幾何等式得到的方程；

(5)證明作答：除去不合題意的點(diǎn)，作答．

3．如圖，已知點(diǎn)A(－1,0)與點(diǎn)B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|＝|BC|，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程．(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、r的方程組，從而求出a、b、r的值；

(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．在解決與圓有關(guān)的問題時，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化思路，簡便運(yùn)算．

(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；

(2)圓心在任意一弦的垂直平分線上；

(3)兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心共線.創(chuàng)新交匯——高考中與圓有關(guān)的交匯問題1．近年來高考對圓錐曲線的要求相對降低，因此圓的相關(guān)問題成了高考命題的一個新熱點(diǎn)．圓的性質(zhì)使其具有很強(qiáng)的交匯性，對圓的考查可以與集合、直線、向量、三角函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等知識交匯命題．

2．對于這類問題，要特別注意圓的定義及其性質(zhì)的運(yùn)用，同時要有豐富的相關(guān)知識儲備，解題時只有做到平心靜氣地認(rèn)真研究，不斷尋求解決問題的方法和技巧，才能真正把握好問題．1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查形式的創(chuàng)新，以集合的形式給出了幾何圖形，雖然兩幾何圖形常見但不落俗套;

(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線和圓的位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線與圓、直線與圓環(huán)的位置關(guān)系，同時也考查了分類討論思想．

2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)

(1)弄清集合代表的幾何意義；

(2)結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求得m的取值范圍．3．解決直線和圓位置關(guān)系問題要注意以下幾點(diǎn)

(1)根據(jù)題設(shè)條件，合理選擇利用代數(shù)方法還是幾何方法判斷其位置關(guān)系；

(2)凡是涉及參數(shù)的問題，一定要注意參數(shù)的變化對位置關(guān)系的影響，以便確定是否分類討論．1．若直線l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始終平分圓C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，則ab的最大值為 (

)答案：C

“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（五十一）”1．一動圓與兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，則動圓圓心的軌跡為 (

)A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支

D．拋物線解析：設(shè)圓x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，圓x2＋y2＋8x＋12＝0的圓心為O1(－4,0)，O′為動圓的圓心，r為動圓的半徑，則|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由雙曲線的定義知，動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.答案：C

2．已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________．答案：x＋y－1＝03．已知圓C：(x－1)2＋y2＝2，過點(diǎn)A(－1,0)的直線l將圓C分成弧長之比為1∶3的兩段圓弧，則直線l的方程為________．[備考方向要明了]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.考什么1.直線與圓的位置關(guān)系的判斷、兩圓位置關(guān)系的判斷是高考的常考內(nèi)容，主要以選擇題或填空題形式考查，難度較為簡單，如2012年重慶T3，陜西T4等．2.由直線與圓的方程求弦長或求參數(shù)是高考熱點(diǎn)之一，多以選擇題或填空題形式考查，如2012年天津T8等，難度為中低檔.怎么考[歸納·知識整合]1．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，設(shè)d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交相切相離d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時，應(yīng)注意什么？

提示：應(yīng)首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則切線不存在．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離________________相外切______________________相交__________________________________相內(nèi)切___________________________內(nèi)含_________________________d>r1＋r2無解d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解[探究]

2.若兩圓相交時，公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關(guān)系？

提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關(guān)于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程．[自測·牛刀小試]答案：A

1．直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是 (

)A．相交B．相切C．相離

D．不確定2．(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為 (

)A．內(nèi)切

B．相交C．外切

D．相離答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－6x＋6y＋14＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是 (

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重慶高考)設(shè)A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點(diǎn)，則|AB|＝ (

)解析：因為直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，所以所得弦長|AB|＝2.答案：D

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的常用方法

(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．能用幾何法，盡量不用代數(shù)法．

(2)判斷兩圓的位置關(guān)系，可根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值之間的關(guān)系求解．

1．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y－3＝0的位置關(guān)系是________．解析：將x2＋y2－2y－3＝0化為x2＋(y－1)2＝4.由于直線l過定點(diǎn)(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直線過圓內(nèi)一點(diǎn)，從而直線l與圓相交．答案：相交2．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為 (

)A．拋物線B．雙曲線C．橢圓

D．圓答案：A有關(guān)圓的弦長問題

[例2]

(1)(2012·北京高考)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________．—————————————————求圓的弦長的常用方法答案：D

答案：x2＋(y－1)2＝104.已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________．圓的切線問題[例3]

已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x，y)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求點(diǎn)P的軌跡方程．(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即為所求的方程．若將本例(1)中“不過原點(diǎn)”的條件去掉，求直線l的方程．求過一點(diǎn)的圓的切線方程的方法

(1)若該點(diǎn)在圓上，由切點(diǎn)和圓心連線的斜率可確定切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程；若切線的斜率不存在，則可直接寫出切線方程x＝x0.(2)若該點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線將有兩條．若用設(shè)斜率的方法求解時只求出一條，則還有一條過該點(diǎn)且斜率不存在的切線．5．已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點(diǎn)的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．解：(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，直線和圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合．

(1)從思路來看，代數(shù)法側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標(biāo)”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，利用了圖形的性質(zhì)．

(2)從適用類型來看，代數(shù)法可以求出具體的交點(diǎn)坐標(biāo)，而幾何法更適合定性比較和較為簡單的運(yùn)算．(1)涉及圓的切線時，要考慮過切點(diǎn)的半徑與切線垂直；

(2)當(dāng)直線與圓相交時，半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用，解題時要注意把它與點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用；

(3)判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點(diǎn)求圓的切線時，應(yīng)有兩條．在解題中，若只求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點(diǎn)經(jīng)常忽視，應(yīng)注意檢驗、防止出錯.創(chuàng)新交匯——直線與圓的綜合應(yīng)用問題1．直線與圓的綜合應(yīng)用問題是高考中一類重要問題，常常以解答題的形式出現(xiàn)，并且常常是將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問題．

2．對于這類問題的求解，首先要注意理解直線和圓等基礎(chǔ)知識及它們之間的深入聯(lián)系；其次要對問題的條件進(jìn)行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，再次要掌握解決問題常用的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)及分類討論等思想方法．[典例]

(2011·新課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)

(1)考查形式的創(chuàng)新，將軌跡問題、向量問題和圓的問題融為一體來考查．

(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線和圓的位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線與圓的位置關(guān)系，同時也考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想．

2．解決直線和圓的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)

(1)求點(diǎn)的軌跡，先確定點(diǎn)的軌跡的曲線類型，再利用條件求得相關(guān)參數(shù)；

(2)存在性問題的求解，即先假設(shè)存在，再由條件求解并檢驗．答案：A

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（五十二）”1．設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝(

)答案：C

3．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由動點(diǎn)P向⊙O與⊙O′所引的切線長相等，則動點(diǎn)P的軌跡方程是________．4．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．[備考方向要明了]1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，三種題型均有可能出現(xiàn)，如2012年山東T10等，題目難度中低檔．2.直線與橢圓位置關(guān)系問題一直是高考的重點(diǎn)，多以解答題形式考查，難度相對較大，如2012年陜西T19等.1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)．2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.怎么考考什么[歸納·知識整合]1．橢圓的定義

(1)滿足以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓①在平面內(nèi)；②與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之

等于常數(shù)；③常數(shù)大于

.(2)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)．

(3)焦距：兩

間的距離．

[探究]

1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動點(diǎn)的軌跡如何？

提示：當(dāng)2a＝|F1F2|時動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時，動點(diǎn)的軌跡是不存在的．和|F1F2|焦點(diǎn)2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)－aa－bbb－bax軸、y軸(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？[自測·牛刀小試]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6.3．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為 (

)答案：A

答案：C

答案：4橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c或m、n的方程組.

(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求；注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).答案：3橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用(1)求橢圓C的離心率；—————————————————橢圓離心率的求法求橢圓的離心率(或范圍)時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍．答案：B

直線與橢圓的綜合(1)求橢圓C的方程；(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x＝0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，直線與橢圓相交時的常見問題的處理方法涉及問題處理方法弦長根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形．當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程．

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c.(2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．

(3)求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：①中心是否在原點(diǎn)；②對稱軸是否為坐標(biāo)軸.答題模板——直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[典例]

(2012北京高考

·滿分14分)已知曲線C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2)設(shè)m＝4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y＝kx＋4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y＝1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線．[快速規(guī)范審題][準(zhǔn)確規(guī)范答題]

聯(lián)立消元后易忽視Δ＞0這一前提條件．不會將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為斜率相等去證明．整體運(yùn)算不準(zhǔn)確，導(dǎo)致推證不出正確的結(jié)論．[答題模板速成]解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解題步驟：第一步審清題意分析條件，確定相應(yīng)的曲線方程?第二步聯(lián)立方程聯(lián)立方程消元后保證Δ的取值，利用根與系數(shù)關(guān)系建立兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系第三步問題轉(zhuǎn)化求解將所給定的問題坐標(biāo)化、方程化，轉(zhuǎn)化過程中要注意整體運(yùn)算中x1＋x2，x1x2的運(yùn)用?第四步得結(jié)論解決問題得出結(jié)論?第五步反思回顧反思回顧解題過程，檢查步驟是否完備?“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（五十三）”答案：2(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(1)求該曲線C的方程；[備考方向要明了]1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)．2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用、了解雙曲線的實(shí)際背景、了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界或解決實(shí)際問題中的作用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.考什么1.雙曲線的定義、幾何性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程是高考?？純?nèi)容，三種題型均有可能，高考對雙曲線的要求比橢圓要低，難度為中低檔，如2012年大綱全國T8，新課標(biāo)全國T8等．2.直線與雙曲線也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，多以解答題形式考查，題目難度較大.怎么考[歸納·知識整合]1．雙曲線的定義滿足以下三個條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線

(1)在平面內(nèi)；

(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的___________為一定值；

(3)這一定值一定要

兩定點(diǎn)的距離．

[探究]

1.與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？

提示：只有當(dāng)2a<|F1F2|且2a≠0時，軌跡才是雙曲線；若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；若2a>|F1F2|，則軌跡不存在．差的絕對值小于2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)坐標(biāo)軸原點(diǎn)坐標(biāo)軸原點(diǎn)(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)a2＋b22a2b[探究]

2.雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關(guān)系？提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大．

3．等軸雙曲線

等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，離心率e＝____，漸近線方程為__________.實(shí)軸與虛軸y＝±x[自測·牛刀小試]1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是 (

)答案：C

解析：由題意知，a＝2，故長軸長為2a＝4.A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：由題意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.答案：D

答案：D

A．1或5B．6C．7D．9答案：C

5．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為________．雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]

(1)(2012·大綱全國卷)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝ (

)[答案]

(1)C

(2)B雙曲線定義運(yùn)用中的兩個注意點(diǎn)

(1)在解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題時，通?？紤]利用雙曲線的定義;

(2)在運(yùn)用雙曲線的定義解題時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚指整條雙曲線還是雙曲線的一支．

答案：A

A．2B．3C．4D．6答案：B

雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用答案：(1)C

(2)C—————————————————研究雙曲線幾何性質(zhì)時的兩個注意點(diǎn)(1)實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重點(diǎn)；答案：C

直線與雙曲線的綜合問題

[例3]

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個焦點(diǎn)F(－2,0)．

(1)求雙曲線方程；求解雙曲線綜合問題的主要方法(1)求雙曲線的離心率；(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a，b，c即可求得方程．(2)待定系數(shù)法

雙曲線的幾何性質(zhì)從以下三點(diǎn)關(guān)注：(1)“六點(diǎn)”：兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)；

(2)“四線”：兩對稱軸(實(shí)、虛軸)，兩漸近線；

(3)“兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲線上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形．(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．易誤警示——雙曲線幾何性質(zhì)的解題誤區(qū)[答案]

A(1)因?qū)﹄p曲線的幾何性質(zhì)不清，誤以為c＝10，錯選C；

(3)解決與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時，還易出現(xiàn)對a，b，c之間的關(guān)系式c2＝a2＋b2與橢圓中a，b，c之間的關(guān)系式a2＝c2＋b2的混淆，從而出現(xiàn)解題錯誤等．答案：2“演練知能檢測”見“限時集訓(xùn)（五十四）”答案：D

[備考方向要明了]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等)．2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用．3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.考什么1.拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，三種題型均有可能，難度為中低檔，如2012年陜西T13等．2.直線與拋物線問題是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，多以解答題形式考查，難度中等偏上.怎么考[歸納·知識整合]1．拋物線的定義滿足以下三個條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：

(1)在平面內(nèi)；

(2)動點(diǎn)到定點(diǎn)F距離與到定直線l的距離

；

(3)定點(diǎn)

定直線上．

[探究]

1.當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時，動點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

提示：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時，動點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且與直線l垂直的直線．相等不在2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結(jié)果如何？2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形1[自測·牛刀小試]1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是 (

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－2知p＝4，且開口向右，故拋物線方程為y2＝8x.答案：C

2．已知d為拋物線y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則pd等于 (

)答案:D

4．若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中心，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________.答案：2拋物線的定義及應(yīng)用

[例1]設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值；

(2)若B(3,2)