用正上負(fù)下規(guī)則繪制軸意圖及扭矩圖

用正上負(fù)下規(guī)則繪制軸意圖及扭矩圖

在材料力學(xué)中，變形固體的分析通常需要防御反應(yīng)分析。為了研究桿件在外力作用下的各段內(nèi)力大小,一般需要畫出桿件的內(nèi)力圖以判斷危險(xiǎn)截面的位置為強(qiáng)度設(shè)計(jì)、剛度設(shè)計(jì)等提供設(shè)計(jì)依據(jù)。我們知道桿件變形的基本形式有拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。與此相對(duì)應(yīng),在力學(xué)分析時(shí)往往要畫出軸力圖、扭矩圖、剪力圖和彎矩圖等內(nèi)力圖。在繪制內(nèi)力圖時(shí)一般需要先采用截面法將桿件的各段內(nèi)力分別求出,再畫出相應(yīng)的內(nèi)力圖。如果桿件受到的外力較多,則需不斷應(yīng)用截面法的“切、留、代、平”四個(gè)步驟不斷羅列平衡方程分別求解,步驟繁雜,而且對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)內(nèi)力圖的正負(fù)方向容易出錯(cuò)。以往的教材中僅僅分析了剪力方程及彎矩方程與剪力圖曲線及彎矩圖曲線之間的關(guān)系并給出剪力圖及彎矩圖的簡(jiǎn)化畫法。針對(duì)這種情況,本文作者總結(jié)出了軸力圖及扭矩圖的變化情況與外力之間的關(guān)系,即“正上負(fù)下”規(guī)則。根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,可直接畫出軸力圖和扭矩圖而無(wú)需采用截面法一步步求解桿件各段內(nèi)力,并且很好地解決了內(nèi)力圖正負(fù)方向確定的問(wèn)題,稱為桿件軸力圖及扭矩圖的簡(jiǎn)化畫法。1突變量的方向“正上負(fù)下”規(guī)則表述為:在有集中力或集中力偶作用的截面,相應(yīng)的軸力或扭矩將發(fā)生突變,突變量即為集中力或集中力偶的大小。突變的方向如下:當(dāng)外力為規(guī)定正向時(shí)內(nèi)力圖向縱坐標(biāo)軸上方突變,當(dāng)外力為規(guī)定負(fù)向時(shí)內(nèi)力圖向縱坐標(biāo)軸下方突變,即所謂的“正上負(fù)下”規(guī)則。接下來(lái)作者將按照“正上負(fù)下”規(guī)則介紹軸力圖、扭矩圖的簡(jiǎn)化畫法。1.1軸的旋轉(zhuǎn)擴(kuò)展法根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,下面將以具體實(shí)例說(shuō)明軸力圖的簡(jiǎn)化畫法。1.1.1截面法平衡方程的結(jié)果例1:已知F1=10kN;F2=20kN;F3=35kN;F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸圖。解:(1)應(yīng)用截面法計(jì)算各段軸力AB段:∑Fx=0FN1=F1=10kNBC段:∑Fx=0?FN2+F2=F1FN2=F1-F2=-10kNCD段:∑Fx=0FN3=F4=25kN(2)繪制軸力圖如圖1上述例1的軸力圖繪制是根據(jù)截面法“切、留、代、平”四個(gè)步驟逐段羅列平衡方程求出各部分軸力,再根據(jù)軸力的大小畫出相應(yīng)的軸力圖。值得注意的是,在截面法當(dāng)中代入的軸力為拉力,這是為了使軸力圖的正負(fù)號(hào)與各段軸力的計(jì)算結(jié)果相一致。然而,從靜力平衡的角度來(lái)說(shuō),代入的力的方向一般是任意的,不做強(qiáng)制規(guī)定,這樣可能會(huì)使計(jì)算結(jié)果的正負(fù)號(hào)與軸力圖應(yīng)該繪制的正負(fù)號(hào)并不一致。因?yàn)槠胶夥匠逃?jì)算結(jié)果的正負(fù)號(hào)僅僅表示力的實(shí)際指向與力的預(yù)設(shè)方向一致與否,而軸力的正負(fù)則是根據(jù)軸力是拉或壓來(lái)確定的。這一點(diǎn),對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)常常容易混淆。比如,如果例1中AB段經(jīng)1-1截面后保留左半段后代入的軸力方向如圖2:列平衡方程:∑Fx=0?-F1-FN1=0?FN1=-F1=-10kN。雖然FN1經(jīng)過(guò)平衡方程求解的結(jié)果為負(fù)值,但是這是因?yàn)閳D1的FN1預(yù)設(shè)指向與實(shí)際的力的方向(方向向右)相反。而實(shí)際上由于AB段所受的軸力為拉力,根據(jù)材料力學(xué)的規(guī)定此軸力為正,應(yīng)畫在軸力圖的正向,這就出現(xiàn)了內(nèi)力計(jì)算結(jié)果雖然正確但其數(shù)值與實(shí)際軸力的正負(fù)不一致的現(xiàn)象。同時(shí),采用截面法繪制軸力圖的過(guò)程步驟繁雜,且軸力圖的各段受力方向容易出錯(cuò)。1.1.2桿件軸力求解規(guī)則仍然以例1為例,如圖3所示。具體繪制方法如下:先建立FN-X直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)與桿件的A點(diǎn)對(duì)齊,設(shè)軸力圖從左向右繪制。對(duì)于AB段,A面受到正的集中力(軸力中拉力為正),根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由原點(diǎn)向上畫10kN,再畫出OX的平行線至B處;對(duì)于BC段,B面受到負(fù)的集中力(壓力為負(fù)),根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由10kN處向下畫20kN至-10kN,再畫出OX的平行線至C處;對(duì)于CD段,C面受到正的集中力(拉力為正),根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由-10kN處向上畫35kN至25kN,再畫出OX的平行線至D處,即可無(wú)需求解各段軸力直接畫出整個(gè)桿件的軸力圖?！罢县?fù)下”規(guī)則與坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)軸正負(fù)規(guī)定一致,易于理解,簡(jiǎn)單易行,并且在繪制軸力圖時(shí)軸力的正負(fù)不會(huì)出錯(cuò)。與此同時(shí),有時(shí)桿件左端的約束反力待求,軸力圖也可根據(jù)需要從右向左繪制而不需要求解約束反力,如圖4。軸力圖繪制方式如上述,這里不再重復(fù)。1.2桿產(chǎn)品的扭曲圖簡(jiǎn)化方法根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,下面將以具體實(shí)例說(shuō)明扭矩圖的簡(jiǎn)化畫法。1.2.1截面法中扭矩圖的處理例2:一傳動(dòng)軸,受力如圖,已知MA=1432N·m;MB=318N·m;MC=477N·m;MD=637N·m;試畫出桿件的扭矩圖。解:(1)應(yīng)用截面法計(jì)算各段扭矩BC段:T1=-MB=-318N·mCD段:T2=-MB-MC=-795N·mAD段:T3=MD=637N·m(2)畫扭矩圖如圖5如例1,例3的扭矩圖繪制也是根據(jù)截面法“切、留、代、平”四個(gè)步驟逐段羅列平衡方程求出各部分的扭矩,再根據(jù)扭矩的大小畫出相應(yīng)的扭矩圖。與此同時(shí),為了使扭矩圖的正負(fù)號(hào)與計(jì)算結(jié)果一致,代入的扭矩也要注意根據(jù)右手螺旋定則代入正值,否則,初學(xué)者往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算無(wú)誤而扭矩圖畫錯(cuò)正負(fù)方向的情況。1.2.2扭矩圖的繪制仍然以例2為例,如圖6所示。具體繪制方法如下:先建立T-X直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)與桿件的O點(diǎn)對(duì)齊,設(shè)軸力圖從左向右繪制。對(duì)于BC段,B面受到負(fù)的集中力偶(右手螺旋定則),根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由原點(diǎn)向下畫318N·m,再畫出OX的平行線至C處;對(duì)于CA段,C面受到負(fù)的集中力偶大小為477N·m,根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由-318N·m處向下畫477N·m至-795N·m,再畫出OX的平行線至A處;對(duì)于AD段,A面受到正的集中力偶大小為1432N·m,根據(jù)“正上負(fù)下”規(guī)則,在坐標(biāo)系上由-795N·m處向上畫1432N·m至637N·m,再畫出OX的平行線至D處,即可無(wú)需求解各段扭矩大小直接畫出整個(gè)桿件的扭矩圖?！罢县?fù)下”規(guī)則在扭矩圖繪制的運(yùn)用上如同軸力圖繪制一樣簡(jiǎn)單易行,不易出錯(cuò)。另外,對(duì)于一些還不能熟練判斷扭矩正負(fù)的初學(xué)者來(lái)說(shuō),也可以利用右手螺旋定則用集中力偶矩的矢量來(lái)代替集中力偶,作出集中力偶矩矢量圖,如圖7所示。接下來(lái)的扭矩圖繪制辦法就與例1所介紹的軸力圖簡(jiǎn)化畫法完全一致,其扭矩圖的繪制結(jié)果也與圖6完全一致,這也不失為一種繪制扭矩圖的好辦法。2內(nèi)重力的繪制經(jīng)過(guò)本文作者的總結(jié)和補(bǔ)充,在材料力學(xué)