十年高考真題分類匯編(2010-2019) 數(shù)學 專題14 概率與統(tǒng)計（含解析）

十年高考真題分類匯編（2010—2019）數(shù)學專題14概率與統(tǒng)計1.(2019·全國1·理T6)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“”,右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.516 B.1132 C.21【答案】A【解析】由題可知,每一爻有2種情況,故一重卦的6個爻有26種情況.其中6個爻中恰有3個陽爻有C63種情況,所以該重卦恰有3個陽爻的概率為C2.(2019·全國2·文T4)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為()A.23 B.35 C.2【答案】B【解析】設測量過該指標的3只兔子為a,b,c,剩余2只為A,B,則從這5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10種,其中恰有2只測量過該指標的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6種,所以恰有2只測量過該指標的概率為610=3.(2019·全國3·文T3)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是()【答案】D【解析】兩位男同學和兩位女同學排成一列,共有24種排法.兩位女同學相鄰的排法有12種,故兩位女同學相鄰的概率是124.(2019·全國1·文T6)某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì),將這些學生編號為1,2,…,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗.若46號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是()A.8號學生 B.200號學生C.616號學生 D.815號學生【答案】C【解析】由已知得將1000名新生分為100個組,每組10名學生,用系統(tǒng)抽樣46號學生被抽到,則第一組應為6號學生,所以每組抽取的學生號構(gòu)成等差數(shù)列{an},所以an=10n-4,n∈N*,若10n-4=8,則n=1.2,不合題意;若10n-4=200,則n=20.4,不合題意;若10n-4=616,則n=62,符合題意;若10n-4=815,則n=81.9,不合題意.故選C.5.(2019·全國2·理T5)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比,不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差【答案】A【解析】設9位評委的評分按從小到大排列為x1<x2<x3<x4<…<x8<x9.對于A,原始評分的中位數(shù)為x5,去掉最低分x1,最高分x9后,剩余評分的大小順序為x2<x3<…<x8,中位數(shù)仍為x5,故A正確;對于B,原始評分的平均數(shù)x=19(x1+x2+…+x9),有效評分的平均數(shù)x'=17(x2+x3+…+x8),因為平均數(shù)受極端值影響較大,所以x與x'不一定相同,故B不正確;對于C,原始評分的方差s2=19[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x9-x)2],有效評分的方差s'2=17[(x2-x')2+(x3-x')由B易知,C不正確;對于D,原始評分的極差為x9-x1,有效評分的極差為x8-x2,顯然極差變小,故D不正確.6.(2018·全國2·理T8)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.1【答案】C【解析】不超過30的素數(shù)有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個.其中和為30的有7+23,11+19,13+17共3種情況,故P=3C7.(2018·全國2·文T5)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是女同學的概率為()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【答案】D【解析】設2名男同學為男1,男2,3名女同學為女1,女2,女3,則任選兩人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10種,其中選中兩人都為女同學共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3種,故P=3108.(2018·全國1·理T10)下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p3【答案】A【解析】∵S△ABC=12AB·AC,以AB為直徑的半圓的面積為12π·AB22=π8AB以AC為直徑的半圓的面積為12π·AC22=π8AC2以BC為直徑的半圓的面積為12π·BC22=π8BC2∴SⅠ=12AB·AC,SⅢ=π8BC2-SⅡ=π8AB2+π8AC2-π8BC2-12AB·AC=12AB·AC.∴SⅠ=SⅡ由幾何概型概率公式得p1=SⅠS總,p2=SⅡS總.∵S△ABC=12AB·AC,以AB為直徑的半圓的面積為12π·AB22=π8AB以AC為直徑的半圓的面積為12π·AC22=π8AC2以BC為直徑的半圓的面積為12π·BC22=π8BC2∴SⅠ=12AB·AC,SⅢ=π8BC2-12ABSⅡ=π8AB2+π8AC2-π8BC2-12AB·AC=12AB·AC.∴SⅠ=SⅡ由幾何概型概率公式得p1=SⅠS總,p2=SⅡS總.9.(2018·江蘇·T3)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為.

【答案】90【解析】由題中莖葉圖可知,5位裁判打出的分數(shù)分別為89,89,90,91,91,故平均數(shù)為89+89+90+91+91510.(2018·全國1·理T3文T3)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設,農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【答案】A【解析】設建設前經(jīng)濟收入為1,則建設后經(jīng)濟收入為2,建設前種植收入為0.6,建設后種植收入為2×0.37=0.74,故A不正確;建設前的其他收入為0.04,養(yǎng)殖收入為0.3,建設后其他收入為0.1,養(yǎng)殖收入為0.6,故B,C正確;建設后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和所占比例為58%,故D正確,故選A.11.(2018·浙江·T7)設0<p<1,隨機變量ξ的分布列是ξ012P11p則當p在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小【答案】D【解析】由題意可知,E(ξ)=0×1-p2+1×1D(ξ)=0=12-=-p-12故當p在(0,1)內(nèi)增大時,D(ξ)先增大后減小.12.(2018·全國3·理T8)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】由題意,得DX=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,由p(X=4)<p(X=6)知C104p4·(1-p)6<C106pp2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).13.(2018·全國3·文T5)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】設不用現(xiàn)金支付的概率為P,則P=1-0.45-0.15=0.4.14.(2017·全國3·理T3文T3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯誤.15.(2017·山東·文T8)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為()A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7【答案】A【解析】甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,70+x,74;乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,60+y,78.若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,則65=60+y,所以y=5.又兩組數(shù)據(jù)的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.16.(2017·全國1·理T2文T4)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A.14 B.πC.12 D.【答案】B【解析】不妨設正方形邊長為2,則圓半徑為1,正方形的面積為2×2=4,圓的面積為π×12=π.由圖形的對稱性,可知圖中黑色部分的面積為圓面積的一半,即12πr2=12π,所以此點取自黑色部分的概率為17.(2017·全國2·文T11)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.110 B.15 C.310【答案】D【解析】從5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張的情況如圖所示.總共有25種情況,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有10種,故所求的概率為102518.(2017·天津·文T3)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫,從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.45 B.35 C.2【答案】C【解析】從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,共有(紅黃),(紅藍),(紅綠),(紅紫),(黃藍),(黃綠),(黃紫),(藍綠),(藍紫),(綠紫)10種不同情況,記“取出的2支彩筆中含有紅色彩筆”為事件A,則事件A包含(紅黃),(紅藍),(紅綠),(紅紫)4個基本事件,則P(A)=41019.(2017·山東·理T5)為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機抽取10名學生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設其回歸直線方程為y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,的腳長為24,據(jù)此估計其身高為()A.160 B.163 C.166 D.170【答案】C【解析】由已知得x=110∑i=110xi=22.5,y=110·∑i=110yi=160,又b^=4,所以a^=y?b^x=16020.(2016·全國1·文T3)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13 B.12 C.2【答案】C【解析】總的基本事件是紅黃,白紫;紅白,黃紫;紅紫,黃白,共3種.滿足條件的基本事件是紅黃,白紫;紅白,黃紫,共2種.故所求事件的概率為P=2321.(2016·全國3·文T5)小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.815 B.18 C.1【答案】C【解析】密碼的前兩位共有15種可能,其中只有1種是正確的密碼,因此所求概率為11522.(2016·北京·文T6)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為()A.15 B.25 C.825【答案】B【解析】從甲、乙等5名學生中選2人有10種方法,其中2人中包含甲的有4種方法,故所求的概率為41023.(2016·全國1·理T4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.13 B.1C.23 D.【答案】B【解析】這是幾何概型問題,總的基本事件空間如圖所示,共40分鐘,等車時間不超過10分鐘的時間段為7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,故他等車時間不超過10分鐘的概率為P=2040=24.(2016·全國2·理T10)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.4nm B.C.4mn【答案】C【解析】利用幾何概型求解,由題意可知,14S圓S25.(2016·山東·理T3文T3)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.120 D.140【答案】D【解析】自習時間不少于22.5小時為后三組,其頻率和為(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人數(shù)為200×0.7=140,選D.26.(2016·全國2·文T8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.710 B.5C.38 D.【答案】B【解析】因為紅燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40-1527.(2016·全國3·理T4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個【答案】D【解析】由題圖可知,0℃在虛線圈內(nèi),所以各月的平均最低氣溫都在0℃以上,A正確;易知B,C正確;平均最高氣溫高于20℃的月份有3個,分別為六月、七月、八月,D錯誤.故選D.28.(2015·全國2·理T3文T3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【解析】由柱形圖知,2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢,故其排放量與年份負相關(guān),故D錯誤.29.(2015·陜西·理T2文T2)某中學初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()A.93 B.123 C.137 D.167【答案】C【解析】由題圖知,初中部女教師有110×70%=77人;高中部女教師有150×(1-60%)=60人.故該校女教師共有77+60=137(人).故選C.30.(2015·北京·理T8)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】對于選項A,從圖中可以看出乙車的最高燃油效率大于5,故A項錯誤;對于選項B,同樣速度甲車消耗1升汽油行駛的路程比乙車、丙車的多,所以行駛相同路程,甲車油耗最少,故B項錯誤;對于選項C,甲車以80千米/小時的速度行駛,1升汽油行駛10千米,所以行駛1小時,即行駛80千米,消耗8升汽油,故C項錯誤;對于選項D,速度在80千米/小時以下時,相同條件下每消耗1升汽油,丙車行駛路程比乙車多,所以該市用丙車比用乙車更省油,故D項正確.31.(2015·湖北·理T2)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石【答案】B【解析】由條件知254粒內(nèi)夾谷28粒,可估計米內(nèi)夾谷的概率為28254=14127,所以1534石米中夾谷約為1432.(2015·陜西·理T11)設復數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+C.12?【答案】D【解析】由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)為圓心,半徑r=1的圓及其內(nèi)部,y≥x表示直線y=x左上方部分(如圖所示).則陰影部分面積S=14π×12-S△OAC=14π-12×1×1故所求事件的概率P=S陰33.(2015·山東·文T7)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,則事件“-1≤log12xA.34 B.23 C.1【答案】A【解析】由-1≤log12x+12≤1,得log122≤log12x+12≤lo34.(2015·福建·文T8)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)=x+1A.16 B.14 C.3【答案】B【解析】如圖,設f(x)與y軸的交點為E,則E(0,1).∵B(1,0),∴yC=1+1=2.∴C(1,2).又四邊形ABCD是矩形,∴D(-2,2).∴S△DCE=12×[1-(-2)]×1=32.又S矩形=3×2∴由幾何概型概率計算公式可得所求概率P=326=35.(2015·湖北·文T4)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y負相關(guān),x與z負相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y正相關(guān),x與z負相關(guān)D.x與y負相關(guān),x與z正相關(guān)【答案】A【解析】由y=-0.1x+1知y與x負相關(guān),又因為y與z正相關(guān),故z與x負相關(guān).36.(2015·湖北·文T8)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤12”的概率,p2為事件“xy≤12”的概率,則(A.p1<p2<12 B.p1<12C.p2<12<p1 D.12<p2【答案】B【解析】設點P的坐標為(x,y),由題意x,y∈[0,1],所以點P在正方形OABC內(nèi),S正方形OABC=1×1=1.畫出直線x+y=12與正方形交于D,E畫出曲線xy=12與正方形交于M,N兩點而Rt△OAC的面積S=12由圖可知:S△OED<S△OAC<S曲邊形OCMNA,所以p1<12<p2.故選B37.(2015·全國1·文T4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310 B.15 C.110【答案】C【解析】從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)共有10種不同的取法,其中的勾股數(shù)只有3,4,5,因此3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有一種,故所求概率為11038.(2015·廣東·文T7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】設正品分別為A1,A2,A3,次品分別為B1,B2,從中任取2件產(chǎn)品,基本事件共有10種,分別為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6種,由古典概型概率公式,得P=610=0.639.(2015·湖南·文T2)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】依題意,應將35名運動員的成績由好到差排序后分為7組,每組5人.然后從每組中抽取1人,其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員恰好是第3,4,5,6組,因此,成績在該區(qū)間上的運動員人數(shù)是4.40.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表,采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90 B.100 C.180 D.300【答案】C【解析】由已知分層抽樣中青年教師的抽樣比為3201600由分層抽樣的性質(zhì)可得老年教師的抽樣比也等于15所以樣本中老年教師的人數(shù)為900×1541.(2015·安徽·理T6)若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標準差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標準差為()A.8 B.15 C.16 D.32【答案】C【解析】設數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)為x,標準差為s,則2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的平均數(shù)為2x-1,方差為[(24(x142.(2015·全國1·理T4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【答案】A【解析】由條件知該同學通過測試,即3次投籃投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C343.(2015·湖北·理T4)設X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σA.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【答案】C【解析】由曲線X的對稱軸為x=μ1,曲線Y的對稱軸為x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯;由圖象知σ1<σ2且均為正數(shù),∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B錯;對任意正數(shù)t,由題中圖象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正確,D錯.44.(2015·山東·理T8)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%【答案】B【解析】由正態(tài)分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)內(nèi)的概率為P=95.45.(2014·陜西·文T9)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為x和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002C.x,s2 D.x+100,s2【答案】D【解析】由題意,得x=yi=xi+100,所以y1,y2,…,y10的均值為x+100,方差不變.故選D.46.(2014·重慶·文T3)某中學有高中生3500人,初中生1500人.為了解學生的學習情況,用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100 B.150 C.200 D.250【答案】A【解析】由題意知,抽樣比為703500所以n3500+150047.(2014·湖南·文T3)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則()A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3【答案】D【解析】由隨機抽樣的原則可知簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.48.(2014·廣東·文T6)為了解1000名學生的學習情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為()A.50 B.40 C.25 D.20【答案】C【解析】由題意知分段間隔為10004049.(2014·全國1·理T5)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A.18 B.38 C.58【答案】D【解析】4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加活動的情況有24=16(種),其中4名同學都在周六或周日參加活動各有1種情況.所以所求概率為P=16-50.(2014·陜西·文T6)從正方形4個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為()A.15 B.25 C.3【答案】B【解析】設正方形的四個頂點為A,B,C,D,中心為O,從這5個點中任取2個點,一共有10種不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中這2個點的距離小于該正方形邊長的取法共有4種:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率計算公式,可得所求概率P=41051.(2014·湖南·文T5)在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,則X≤1的概率為()A.45 B.35 C.25【答案】B【解析】由幾何概型的概率公式可得P(X≤1)=35,故選B52.(2014·遼寧·文T6)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.π2 B.π4 C.π【答案】B【解析】所求概率為S半圓S53.(2014·全國2·理T5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A【解析】設某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件A,隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率為P(B|A)=P(54.(2013·陜西·理T5)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是()A.1-π4 B.π2-1C.2-π2【答案】A【解析】S矩形ABCD=1×2=2,S扇形ADE=S扇形CBF=π4.P=S矩形ABCD-S扇形55.(2013·四川·理T9)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A.14 B.12 C.3【答案】C【解析】設兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x,y,則由題意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“兩串彩燈同時通電后,第一次閃亮相差不超過2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由圖示得,該事件概率P=S陰影56.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為12,則ADAB=(A.12 B.14 C.3【答案】D【解析】如圖,設AB=2x,AD=2y.由于AB為最大邊的概率是12,則P在EF上運動滿足條件,且DE=CF=12x,即AB=EB∴2x=(2y)2+32x2,即4x2=即74x2=4y2,∴y2x2又ADAB=57.(2013·全國1·文T3)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.12 B.13 C.14【答案】B【解析】由題意知總事件數(shù)為6,分別為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),滿足條件的事件數(shù)是2,所以所求的概率為158.(2013·全國1·理T3)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況,擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】因為學段層次差異較大,所以宜采用按學段分層抽樣.59.(2013·江西·理T4文T5)總體由編號為01,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.02 D.01【答案】D【解析】選出的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01,故選D.60.(2013·陜西·理T4)某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】840÷42=20,把1,2,…,840分成42段,不妨設第1段抽取的號碼為l,則第k段抽取的號碼為l+(k-1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l+(k-1)·20≤720,得25+1-l2061.(2012·山東·理T4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查.為此將他們隨機編號為1,2,…,960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中,編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中,做問卷B的人數(shù)為()A.7 B.9 C.10 D.15【答案】C【解析】由題意可得,抽樣間隔為30,區(qū)間[451,750]恰好為10個完整的組,所以做問卷B的有10人,故選C.62.(2012·北京·理T2)設不等式組0≤xA.π4 B.π-22【答案】D【解析】由題意知此概型為幾何概型,設所求事件為A,如圖所示,邊長為2的正方形區(qū)域為總度量μΩ,滿足事件A的是陰影部分區(qū)域μA,故由幾何概型的概率公式得P(A)=2263.(2012·遼寧·文T11)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積大于20cm2的概率為()A.16 B.13 C.2【答案】C【解析】此概型為幾何概型,由于在長為12cm的線段AB上任取一點C,因此總的幾何度量為12,滿足矩形面積大于20cm2的點在C1與C2之間的部分,如圖所示.因此所求概率為812,即2364.(2012·安徽·文T10)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.15 B.25 C.3【答案】B【解析】記1個紅球為A,2個白球為B1,B2,3個黑球為C1,C2,C3,則從中任取2個球,基本事件空間Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共計15種,而兩球顏色為一白一黑的有如下6種:(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),所以所求概率61565.(2011·全國·理T4文T6)有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A.13 B.12 C.2【答案】A【解析】記三個小組分別為A,B,C,則甲、乙兩位同學參加的小組情況有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9種.其中,甲、乙參加同一個興趣小組有(A,A),(B,B),(C,C)3種.故所求概率P=3966.(2011·浙江·文T8)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是()A.110 B.310 C.3【答案】D【解析】由題意可知從5個球中任取3個球的所有情況有10種,所取的3個球至少有1個白球的情況有(10-1)種,根據(jù)古典概型公式得所求概率P=10-67.(2010·全國·理T6)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學期望為()A.100 B.200 C.300 D.400【答案】B【解析】EX=1000×0.9×0+1000×0.1×2=200.68.(2019·全國1·理T15)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是________【答案】0.18【解析】前五場中有一場客場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五場中有一場主場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.綜上所述,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.69.(2019·全國2·理T13文T14)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為_____________.

【答案】0.98【解析】由題意,得經(jīng)停該高鐵站的列車的正點數(shù)約為10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中車次數(shù)為10+20+10=40,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為39.70.(2018·上海·T9)有編號互不相同的五個砝碼,其中5克、3克、1克砝碼各一個,2克砝碼兩個,從中隨機選取三個,則這三個砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是___________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).

【答案】1【解析】從編號互不相同的五個砝碼中隨機選取三個,總的結(jié)果數(shù)為C53=10,其中選取的三個砝碼的總質(zhì)量為9克的有兩種,所以所求概率為71.(2018·江蘇·T6)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為___________.【答案】3【解析】從5名學生中任選2名學生,共有10種等可能結(jié)果,其中恰好選中2名女生有3種等可能結(jié)果,因此所求概率為31072.(2018·全國3·文T14)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異,為了解客戶的評價,該公司準備進行抽樣調(diào)查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣,則最合適的抽樣方法是.

【答案】分層抽樣【解析】因大量客戶且具有不同的年齡段,分層明顯,故根據(jù)分層抽樣的定義可知采用分層抽樣最為合適.73.(2017·江蘇·T3)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.

【答案】18【解析】抽取比例為601000=374.(2017·江蘇,7)記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈【答案】5【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5],由幾何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-75.(2017·全國2·理T13)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=___________.

【答案】1.96【解析】由題意可知抽到二等品的件數(shù)X服從二項分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,則DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.76.(2016·山東·理T14)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_______.

【答案】3【解析】直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑,即d=|5k|1+k2<3,解得-34<k<3477.(2015·福建·文T13)某校高一年級有900名學生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本,則應抽取的男生人數(shù)為.

【答案】25【解析】設男生抽x人.女生有400人,男生有500人,則x=500×45900=278.(2015·湖北·文T14)某電子商務公司對10000名網(wǎng)絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=;

(2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為.

【答案】36000【解析】(1)由頻率分布直方圖,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3;(2)消費金額在[0.5,0.9]的購物者的人數(shù)為10000×(1-1.5×0.1-2.5×0.1)=10000×0.6=6000.79.(2015·廣東·理T13)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=

.

【答案】1【解析】根據(jù)二項分布的均值、方差公式,得E(X)80.(2014·江蘇·文T6)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有株樹木的底部周長小于100cm.

【答案】24【解析】底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.015+0.025)×10×60=24.81.(2014·天津·理T9)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6,則應從一年級本科生中抽取名學生.

【答案】60【解析】依題意知,應從一年級本科生中抽取44+5+5+682.(2014·全國1·文T13)將2本不同的數(shù)學書和1本語文T書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學書相鄰的概率為____________.

【答案】2【解析】記兩本數(shù)學書分別為a1,a2,語文T書為b,則3本書一共有6種不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本數(shù)學書相鄰的排法有4種:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率為4683.(2014·全國2·文T13)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運動服的概率為__________.

【答案】1【解析】基本事件有(紅,白),(紅,藍),(紅,紅),(白,藍),(白,白),(白,紅),(藍,白),(藍,紅),(藍,藍)共9種,而選擇同一種顏色有3種情況,即(紅,紅),(白,白),(藍,藍),故P=3984.(2014·江蘇·T4)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù),則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是___.

【答案】1【解析】從1,2,3,6這4個數(shù)中隨機地取2個數(shù),不同的取法為{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6個基本事件,其中乘積為6的有{1,6},{2,3}兩個基本事件,因此所求事件的概率為P=2685.(2014·浙江·文T14)在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎的概率是_______.

【答案】1【解析】甲、乙兩人各抽取1張,一共有3×2=6種等可能的結(jié)果,兩人都中獎的結(jié)果有2×1=2種,由古典概型計算公式可得所求概率為P=2686.(2014·福建·文T13)如圖,在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子,有180粒落到陰影部分,據(jù)此估計陰影部分的面積為____________.

【答案】0.18【解析】由幾何概型可知1801000所以S陰影=0.18.故答案為0.18.87.(2014·重慶·文T15)某校早上8:00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________.(用數(shù)字作答)

【答案】9【解析】用y軸表示小張到校時刻,用x軸表示小王到校時刻,建立如圖直角坐標系.設小張到校的時刻為y,小王到校的時刻為x,則x-y≥5.由題意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可得可行域如圖所示,其中,陰影部分表示小張比小王至少早5分鐘到校.由x-y=5,易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).由幾何概型概率公式,得所求概率P=S△88.(2013·全國2·文T13)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是.

【答案】0.2【解析】基本事件空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10個,記A=“其和為5”={(1,4),(2,3)}有2個,∴P(A)=21089.(2012·天津·理T9)某地區(qū)有小學150所,中學75所,大學25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調(diào)查,應從小學中抽取所學校,中學中抽取所學校.

【答案】189【解析】共有學校150+75+25=250所,∴小學中應抽取:30×150250=18所,中學中應抽取:30×7590.(2012·福建·文T14)一支田徑隊有男女運動員98人,其中男運動員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法,從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,那么應抽取女運動員人數(shù)是.【答案】12【解析】∵2898=27,即每7人抽取2人,又知女運動員人數(shù)為98-56=42,考點111頻率分布直方圖與莖葉圖91.(2012·全國·理T15)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為

.

【答案】3【解析】設元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=,∴該部件的使用壽命超過1000的事件為(AB+∴該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P=1292.(2010·全國·理T13)設y=f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù),且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機模擬方法近似計算積分SKIPIF1<0f(x)dx.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個點(xi,yi)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點數(shù)N1,那么由隨機模擬方法可得積分01f(x)dx的近似值為___________.【答案】N【解析】由題意可知0≤x≤1,0≤y≤1它所圍成的區(qū)域面積為S=1,結(jié)合積分的幾何意義和幾何模型可知,01f(x93.(2010·全國·文T14)設y=f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù),且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N個點(xi,yi)(i=1,2,…,N),再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點數(shù)N1,那么由隨機模擬方法可得S的近似值為____________.【答案】N【解析】由隨機數(shù)的幾何意義可知,點(xi,yi)落在曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的概率為P=N1N.由直線x=0,x=1,y=0,y=1圍成的小方形的面積S1=1.由幾何概型可得P=所以SS1=N1N94.(2019·天津·文T15)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.【解析】(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.②由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=111595.(2019·全國3·理T17文T17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.96.(2019·全國2·文T19)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例;(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附:74≈8.602.【解析】(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為2100用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.(2)y=s2=1100∑i=15ni(yi=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402s=0.0296=0.02×所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為30%,17%.97.(2019·天津·理T16)設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為23(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)設M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.【解析】(1)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,從而P(X=k)=C3k23k13所以,隨機變量X的分布列為X0123P1248隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=3×23(2)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}與{Y=1},事件{X=2}與{Y=0}均相互獨立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×98.(2019·全國1·理T21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.(ⅰ)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列為X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列.(ⅱ)由(ⅰ)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1由于p8=1,故p1=34所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13pp4表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為甲藥更有效的概率為p4=125799.(2018·全國1·理T20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?【解析】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C20令f'(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.100.(2018·北京·理T17)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.【解析】(1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A,第四類電影中獲得好評的電影為200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510(2)設“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由題意可知,定義隨機變量如下:ξk=0則ξk顯然服從兩點分布,則六類電影的分布列及方差計算如下:第一類電影:ξ110P0.40.6Dξ1=0.4×0.6=0.24;第二類電影:ξ210P0.20.8Dξ2=0.2×0.8=0.16;第三類電影:ξ310P0.150.85Dξ3=0.15×0.85=0.1275;第四類電影:ξ410P0.250.75Dξ4=0.25×0.75=0.1875;第五類電影:Dξ5=0.2×0.8=0.16;第六類電影:ξ610P0.10.9Dξ6=0.1×0.9=0.09;綜上所述,Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.101.(2018·天津·理T16)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;②設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4所以,隨機變量X的分布列為X0123P112184隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835②設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以,事件A發(fā)生的概率為67102.(2018·全國2·理T18文T18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y^2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值;(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.【解析】(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值為y^利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的預測值為y^(2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠.(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預測值更可靠.(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)103.(2018·全國1·文T19)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)頻數(shù)1324日用水量[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)9265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)頻數(shù)1513日用水量[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)10165(1)在下圖作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)【解析】(1)(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為x1=該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為x2估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).104.(2018·北京·文T17)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化,假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)【解析】(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50,故所求概率為502000=0.025(2)設“隨機選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).由古典概型概率公式,得P(B)=16282000=0.814(3)第五類電影的好評率增加0.1,第二類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣