垂直平分線【原卷版】

第十三章軸對稱13.1.2垂直平分線1垂直平分線（1）定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；如下圖，l⊥AB，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線，或稱中垂線（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；如下圖，若l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P在直線l上，則PA=PB.（利用全等三角形可證明）（3）與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；如下圖，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；（利用全等三角形可證明）拓展：若PA=PB，QA=QB，則PQ是線段AB的垂直平分線.（4）垂直平分線的尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線.作法：以A,B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于P，Q，作直線PQ，則直線PQ（5）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2三角形的外心（1）定義：三角形外接圓的圓心叫做該三角形的外心.（2）三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)是這個三角形的外心.如下圖，直線m，n，l分別是三角形ABC三邊AB、AC和BC的垂直平分線，它們會交于一點(diǎn)O，點(diǎn)O就是三角形ABC的外心.證明設(shè)直線m，n交于點(diǎn)O，依題意可得AO=BO，AO=CO，則BO=CO，所以點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，即直線m，n，l交于同一點(diǎn)O.因為AO=BO=CO，所以以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑畫個圓，該圓必過三角形三個頂點(diǎn)A，B，C.【題型1】線段垂直平分線的性質(zhì)【典題1】如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝°．【典題2】已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．①求證：BE＝CF；②若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周長．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，則△AEF的周長為()A．2 B．1 C．4 D．32.如圖，∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，P1，P2分別是P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分線MN交AC于D點(diǎn)，連接BD，則∠DBC的度數(shù)是()?A．22° B．27° C．32° D．40°4.如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直平分線，AD⊥BC，D為BE的中點(diǎn)．(1)求證：AB＝CE．(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度數(shù)．【題型2】線段垂直平分線的判定【典題1】如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長為10．請你解答下列問題：(1)求BC的長；(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由．【鞏固練習(xí)】1.如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一點(diǎn)，BC＝DC，過點(diǎn)D作AC的垂線交AB于點(diǎn)E，求證：CE垂直平分BD．2.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；(2)求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【題型3】三角形的外心【典題1】如圖，△ABC中，∠A＝70°，點(diǎn)O是AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，則∠BCO的度數(shù)為()?A．20° B．30° C．25° D．35°【鞏固練習(xí)】1.到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條()A．中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．角平分線的交點(diǎn) D．高線的交點(diǎn)2.如圖，點(diǎn)P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，則∠PAB的度數(shù)為．3.如圖，點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠A＝64°，則∠D＝°．【題型4】尺規(guī)作圖【典題1】作圖題：在∠ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到∠ABC的兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)A、C的距離也相等．(寫出作法，保留作圖痕跡)【鞏固練習(xí)】1.在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，并且點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離等于線段AC的長．?2.如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別表示三個住宅小區(qū)，為了豐富社區(qū)居民的文化生活，擬建一個文化活動中心，使它到三個住宅小區(qū)的距離相等，請你在圖中確定文化活動中心(用點(diǎn)D表示)的位置．【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長為21，則AC的長為()?A．6 B．9 C．10 D．122.如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的垂直平分線與∠BAC的角平分線交于點(diǎn)O，則∠ABO的度數(shù)為()A．35° B．30° C．25° D．20°3.政府為更好地服務(wù)農(nóng)民，將在村莊A、B、C之間的空地上新建一座倉庫P．已知A、B、C恰好在三條公路的交點(diǎn)處，要求倉庫P到村莊A、B、C的距離相等，則倉庫P應(yīng)選在()A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)4.如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，則∠ACF的度數(shù)為()A．66° B．52° C．46° D．42°5.已知P為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且∠BAC＝40°，則∠BPC＝()A．70° B．80° C．120° D．110°6.如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2，連結(jié)P1P2交OA于M，交OB于N，若線段P1P2的長為12cm，則△PMN的周長為cm．7.已知：如圖，在△ABC中，∠C＝120°，邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．(1)作出邊AC的垂直平分線DE；(2)當(dāng)AE＝BC時，求∠A的度數(shù)．8.如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求證：OE垂直平分BD．9.如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC．(1)若△ADE的周長為8cm，△OBC的周長為20cm．①求線段BC的長；②求線段OA的長．(2)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度數(shù)．【B組提高題】1.如圖，銳角三角形ABC中，O為三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，I為三個角的平分線的交點(diǎn)