彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

地震科學(xué)系：盛書中

E-mail:ssz2008@各章節(jié)內(nèi)容提要例題詳解復(fù)習(xí)

彈性力學(xué)，外力，體力，面力，線應(yīng)變，切應(yīng)變，位移，連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各項同性，理想彈性體，平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)變問題，主應(yīng)力，應(yīng)力主面，應(yīng)力主向，圣維南原理及其內(nèi)含，逆解法，半逆解法，主要邊界，次要邊界，軸對稱，完全接觸，光滑接觸，摩擦接觸，局部脫離，孔口應(yīng)力集中，差分法，泛函，變分法，位移變分/虛位移，體應(yīng)變，體積力，撓度,剪切強(qiáng)度，脆性破裂的最大剪切應(yīng)力理論（庫倫——霍普金斯理論），安德遜理論。

1、彈性力學(xué)的內(nèi)容─彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。

2、彈性力學(xué)中的幾個基本物理量：體力—分布在物體體積內(nèi)的力、記號為、、，量綱為L-2MT-2，以坐標(biāo)正向為正。第一章內(nèi)容提要第一章內(nèi)容提要面力—

分布在物體表面上的力，記號為。量綱為L-1MT-2

，以坐標(biāo)正向為正。應(yīng)力—

單位截面面積上的內(nèi)力，記號，量綱為L-1MT-2，以正面正向為正，負(fù)面負(fù)向為正；反之為負(fù)。第一章內(nèi)容提要

形變—用線應(yīng)變和切應(yīng)變表示，量綱為1，線應(yīng)變以伸長為正，切應(yīng)變以直角減小為正。位移—一點位置的移動，記號為、、，量綱為L，以坐標(biāo)正向為正。第一章內(nèi)容提要

3、彈性力學(xué)中的基本假定

理想彈性體假定—連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性。小變形假定。

4、彈性力學(xué)問題的研究方法已知：物體的邊界形狀，材料性質(zhì)，體力,邊界上的面力或約束。求解：應(yīng)力、形變和位移。第一章內(nèi)容提要

解法：在彈性體區(qū)域V內(nèi)，根據(jù)微分體上力的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上應(yīng)變和位移的幾何條件，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理條件，建立物理方程。在彈性體邊界s上，根據(jù)面力條件，建立應(yīng)力邊界條件，根據(jù)約束條件，建立位移邊界條件。然后在邊界條件下，求解區(qū)域內(nèi)的微分方程，得出應(yīng)力、形變和位移。第一章內(nèi)容提要1、平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。它們的特征是：

平面應(yīng)力問題，（1）只有平面應(yīng)力存在；（2）應(yīng)力和應(yīng)變均只是x,y的函數(shù)。第二章內(nèi)容提要

平面應(yīng)變問題，（1）只有平面應(yīng)變存在；（2）應(yīng)力、應(yīng)變和位移只是x,y的函數(shù)。

平面應(yīng)力問題對應(yīng)的彈性體通常為等厚度薄板，而平面應(yīng)變問題對應(yīng)的彈性體通常為常截面長柱體。這兩類平面問題的平衡微分方程、幾何方程、應(yīng)力和位移邊界條件都完全相同，只有物理方程的系數(shù)不同。

如果將平面應(yīng)力問題的物理方程作的變換，便可得到平面應(yīng)變問題的物理方程。2、平面問題的基本方程和邊界條件（平面應(yīng)力問題）平面問題中共有八個未知函數(shù)，即。它們必須滿足區(qū)域內(nèi)的基本方程：（1）平衡微分方程

（2）幾何方程（3）物理方程

和邊界條件：（1）應(yīng)力邊界條件（2）位移邊界條件（在上）3、按位移求解平面問題（平面應(yīng)力問題）

位移分量u和v必須滿足下列全部條件：（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）（3）位移邊界條件4、按應(yīng)力求解平面問題（平面應(yīng)力問題），

應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件：

（1）平衡微分方程（2）相容方程（3）應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，）（在上）（4）若為多連體，還須滿足位移單值條件。5、在常體力情況下，按應(yīng)力求解可進(jìn)一步簡化為按應(yīng)力函數(shù)求解。必須滿足下列全部條件：（1）相容方程（2）應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，）。（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。求出應(yīng)力函數(shù)后，可以按下式求出應(yīng)力分量，（在上）求主應(yīng)力及其方向的公式（p14：2-6、b）最大剪切應(yīng)力公式相容方程公式（2-23）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力（2-24）幾何方程（2-8）物理方程（2-12、2-16、2-17）邊界條件（2-15）&2-8節(jié)實例要求重點掌握按應(yīng)力函數(shù)求解時，必須滿足：(1)區(qū)域A內(nèi)的相容方程，（2）上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）（3）多連體的位移單值條件。在半逆解法中尋找應(yīng)力函數(shù)時，通常采用下列方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式（1）由材料力學(xué)解答提出假設(shè)，（2）由邊界受力情況提出假設(shè)，（3）用量綱分析方法提出假設(shè)。第三章內(nèi)容提要3.在校核應(yīng)力邊界條件時，必須注意以下幾點（見（四））。4.學(xué)習(xí)本章的重點，是掌握彈性力學(xué)問題按應(yīng)力求解的方法。要求讀者在掌握這些基本理論之后，能閱讀和理解彈性力學(xué)文獻(xiàn)，并將已有的解答應(yīng)用到工程實踐中去。5.對于工程實際問題，由于邊界形狀和受力、約束條件較為復(fù)雜，難以得出微分方程的函數(shù)式解答。因此，并不要求讀者去求解新的解答，只要求能掌握基本理論，并能應(yīng)用彈性力學(xué)近似解法（見后面幾章）去解決工程實際問題。1.極坐標(biāo)中的基本方程和邊界條件（1）平衡微分方程第四章內(nèi)容提要（2）幾何方程（3）物理方程（平面應(yīng)力問題）當(dāng)物體的邊界面為面或面時，位移或應(yīng)力邊界條件都非常簡單。2.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的物理量的變換式變量轉(zhuǎn)換：函數(shù)轉(zhuǎn)換：矢量轉(zhuǎn)換：導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換：一階導(dǎo)數(shù)（二階和高階導(dǎo)數(shù)可以類推）：拉普拉斯算子應(yīng)力轉(zhuǎn)換：3.極坐標(biāo)中按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)滿足：（1）區(qū)域內(nèi)的相容方程（2）邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）。（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。

當(dāng)不記體力時，應(yīng)力分量的表達(dá)式為記參考習(xí)題4-8復(fù)習(xí)4.軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移應(yīng)力函數(shù)：

應(yīng)力：位移（平面應(yīng)力問題）：

1.導(dǎo)數(shù)的差分公式拋物線差分公式,線性向前差分公式,

線性向后差分公式,第五章內(nèi)容提要&5-3節(jié)內(nèi)容重點掌握?。?！邊界條件

2.應(yīng)力函數(shù)的差分解法相容方程應(yīng)力公式

3.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性力學(xué)中的位移變分法，是取位移函數(shù)為宗量，由總勢能處于極小值的條件來導(dǎo)出變分方程，然后進(jìn)行求解的。以下列出平面應(yīng)力問題的有關(guān)變分公式及方程。4.彈性體的功和能總勢能外力功外力勢能形變(內(nèi)力)勢能

5.在虛位移上彈性體的功和能

虛位移(位移變分),是在約束條件允許下，在平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移狀態(tài)

其中u，v為實際平衡狀態(tài)下的位移。當(dāng)虛位移發(fā)生時，外力的虛功外力勢能的變分形變勢能的變分

6.變分方程⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中，形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少，即上式也可以改用下列各形式表示和解釋。⑵位移變分方程⑶虛功方程⑷最小勢能原理

其中?；蛘弑硎緸椋晌灰谱兎址匠痰挠忠恍问?/p>

7.位移變分法⑴瑞利－里茨法：設(shè)定位移試函數(shù)，

預(yù)先滿足上的約束邊界條件，再滿足瑞利－里茨變分方程，⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢函數(shù)預(yù)先滿足上的約束邊界條件和上的應(yīng)力邊界條件，