第五章相關分析與回歸分析

第五章相關分析與回歸分析

第一節(jié)相關分析第二節(jié)相關系數(shù)第三節(jié)回歸分析相關分析和回歸分析的主要內(nèi)容

形象之間有無關系相關關系的表現(xiàn)形式相關密切程度和方向相關分析建立相關回歸方程測定預測誤差回歸分析存在數(shù)量依存關系依存關系不確定現(xiàn)象之間存在確定的依存關系函數(shù)關系相關關系現(xiàn)象之間存在非確定的依存關系第一節(jié)相關分析一、相關關系的含義函數(shù)關系與相關關系1.函數(shù)關系當一個或幾個變量取一定的值時，另一個變量有確定值與之相對應，我們稱這種關系為確定性的函數(shù)關系。（函數(shù)關系）（1）是一一對應的確定關系（2）設有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當變量x取某個數(shù)值時，

y依確定的關系取相應的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量（3）各觀測點落在一條線上

xy變量間的關系

（函數(shù)關系）

函數(shù)關系的例子某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關系可表示為y=p

x(p為單價)圓的面積(S)與半徑之間的關系可表示為S=r2

企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)

、單位產(chǎn)量消耗(x2)

、原材料價格(x3)之間的關系可表示為y=x1x2x3

2.相關關系：當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應的另一變量的值雖然不確定，但它仍按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化。

現(xiàn)象之間客觀存在的不嚴格、不確定的數(shù)量依存關系。變量間的關系

（相關關系）（1）變量間關系不能用函數(shù)關系精確表達；（2）一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定；（3）當變量x取某個值時，變量y的取值可能有幾個；（4）各觀測點分布在直線周圍。

xy工人的熟練程度勞動生產(chǎn)率？施肥量？畝產(chǎn)量相關關系相關關系是客觀存在的非確定性的數(shù)量對應關系。但其平均數(shù)在大量觀察下趨向于一個確定的值。（相關關系）

相關關系的例子商品的消費量(y)與居民收入(x)之間的關系商品的消費量(y)與物價(x)之間的關系商品銷售額(y)與廣告費支出(x)之間的關系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關系父親身高(y)與子女身高(x)之間的關系定性分析是依據(jù)研究者的理論知識和實踐經(jīng)驗，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關關系，以及何種關系作出判斷。定量分析在定性分析的基礎上，通過編制相關表、繪制相關圖、計算相關系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關的方向、形態(tài)及密切程度。二、相關關系的判斷對變量間的相關關系進行分析，稱為相關分析。進行相關分析時需要利用相關表，相關圖和相關系數(shù)。對兩個變量作相關分析時，首先必須取得一系列的成對資料，配對的觀測值中每一變量都有它們各自的基本計量單位。我們把具有相關關系的原始數(shù)據(jù)平行排列起來的表稱為相關表。

(一)相關表：將自變量x的數(shù)值按照從小到大的順序，并配合因變量y的數(shù)值一一對應而平行排列的表。例：為了研究分析某種勞務產(chǎn)品完成量與其單位產(chǎn)品成本之間的關系，調查30個同類服務公司得到的原始數(shù)據(jù)如表。 整理后有(二)相關圖：又稱散點圖。將x置于橫軸上，y置于縱軸上，將（x,y）繪于坐標圖上。用來反映兩變量之間相關關系的圖形。企業(yè)編號12345678產(chǎn)量（千噸）1.22.03.13.85.06.17.28.0生產(chǎn)費用（萬元）528680110115132135160表1某企業(yè)產(chǎn)量與生產(chǎn)費用的關系隨著產(chǎn)量的增加，生產(chǎn)費用也在增加例子我們將每一對值作為一個點，在直角坐標系中畫出來，稱為散點(或相關點)，就形成了相關圖，也叫散點圖，橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。這樣根據(jù)表1得到如下散點圖：圖1企業(yè)產(chǎn)量與生產(chǎn)費用散點圖所有散點大體上散布在一條直線的周圍，反映了產(chǎn)量與生產(chǎn)費用之間呈直線型相關關系如果有大量的觀測值，圖中就會有更多的點，根據(jù)這些點的分布情況，可大致判斷變量之間的相關關系。例如下面幾個相關圖：圖8-11圖8-12圖8-13圖8-11相關點在任何一個方向上都沒有關聯(lián)的趨勢，因此x和y之間無相關關系圖8-12和圖8-13表明x和y之間呈直線的趨勢，稱變量線性相關圖8-14圖8-15圖8-16圖8-14和圖8-15則表明x和y之間呈曲線相關的趨勢。如果x和y之間具有完全相關的關系即函數(shù)關系，那么圖中的各相關點均在一條直線或曲線上(見圖8-16)。相關程度完全相關不完全相關不相關相關方向

正相關負相關相關形式線性相關非線性相關因素多少單相關復相關相關關系的種類偏相關相關關系的種類1.按相關關系的程度劃分可分為完全相關，不完全相關和不相關。2.按相關形式劃分可以分為線性相關和非線性相關。（1）正相關：兩個相關現(xiàn)象間，當一個變量的數(shù)值增加（或減少）時，另一個變量的數(shù)值也隨之增加（或減少），即同方向變化。例如收入與消費的關系。（2）負相關：當一個變量的數(shù)值增加（或減少）時，而另一個變量的數(shù)值相反地呈減少（或增加）趨勢變化，即反方向變化。例如物價與消費的關系。3.按相關的方向劃分可分為正相關和負相關4.按相關關系涉及的變量多少劃分分為單相關、復相關和偏相關。兩個變量之間的相關，稱為單相關。當所研究的是一個變量對兩個或兩個以上其他變量的相關關系時，稱為復相關。例如，某種商品的需求與其價格水平以及收入水平之間的相關關系便是一種復相關。在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關的場合，假定其他變量不變，專門考察其中兩個變量的相關關系稱為偏相關。例如，在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價格水平的關系就是一種偏相關。各類相關關系的表現(xiàn)形態(tài)圖

相關表相關圖相關系數(shù)相關關系的判斷第二節(jié)相關系數(shù)居民家庭月收入和消費支出相關表相關表月收入1500180020002500300040006200750088009200消費支出1200150018002000280036004200530060006500單位:百元居民家庭月收入和消費支出相關圖相關圖相關系數(shù)分析現(xiàn)象之間的相關密切程度和方向兩個變量之間的線性相關關系，可通過計算相關系數(shù)來判斷其相關關系的密切程度。相關系數(shù)計算公式為

P.129-130所以家庭月支出與家庭月收入之間是高度正相關關系相關分析例:關于值的說明：(1)值在-1和1之間，即。越大，表明變量間相關關系越強。,說明兩變量完全線性相關，即函數(shù)關系。如果，說明兩變量間完全沒有線性關系。(2)當，表明變量間正相關；表明變量間負相關。

(4)由于抽樣誤差及隨機因素影響，值有時會偏離實際的變量間的相關程度。(3)密切程度的判斷。相關系數(shù)一般的判斷標準是：稱為微弱相關，稱為低度相關，稱為顯著相關，稱為高度相關.

1．相關系數(shù)的取值范圍：

2．相關方向：正相關r>0負相關r<0

3．相關密切程度完全不相關：＝0微弱相關：0＜＜0．3

低度相關：0．3＜＜0．5

顯著相關：0．5＜＜0．8

高度相關：0．8＜＜1

完全相關：＝1

相關系數(shù)的分析（相關系數(shù)取值及其意義）-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關無線性相關完全正相關負相關程度增加r正相關程度增加復習：相關的分類1、2、3、按相關程度劃分完全相關：即函數(shù)關系，一個標志的數(shù)量變化由另一個標志的數(shù)量變化所確定的,可以用方程式來準確地表示.不完全相關：介于完全相關和不相關之間，是相關分析研究對象不相關：兩個標志彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立按相關的方向劃分正相關：因素標志和結果標志的數(shù)值變化方向一致。負相關：因素標志和結果標志的數(shù)值變化方向相反。按相關形式劃分線性相關：兩個現(xiàn)象形成點在直角坐標系中分布在一直線周圍非線性相關：現(xiàn)象相關點在直角坐標系中分布近似某種曲線4、

第二節(jié)相關系數(shù)的測定一、相關關系的判斷1、相關系數(shù)的一般判斷2、相關表

3、相關圖4、相關系數(shù)：測定變量之間的關系密切程度和相關方向的比較完善的指標是相關系數(shù)。而測定相關系數(shù)是最基本的相關分析，相關系數(shù)不僅能反映相關程度而且能反映相關方向。1）相關系數(shù)計算公式按影響因素劃分單相關：一個結果標志只與一個因素標志相關復相關：一個結果因素與兩個或兩個以上因素有關

偏相關2）相關系數(shù)作用：P217A、判斷相關方向：當時，x與y正相關；當時，x與y負相關。B、判斷相關程度3）相關系數(shù)的特點：A、參與相關分析的兩個變量是對等，不分自變量和因變量，因此相關系數(shù)只在一個。B、相關符號有正負號，反映相關方向。C、計算相關系數(shù)的兩個變量都是隨機的變量

案例根據(jù)表1的資料，計算企業(yè)產(chǎn)量與生產(chǎn)費用間的相關系數(shù)。解：我們將相關數(shù)據(jù)計算在如下表格中（表2）：表2企業(yè)生產(chǎn)費用與產(chǎn)量相關系數(shù)計算表由表2可知，

將以上數(shù)據(jù)代入公式11.1中，得：結果表明，企業(yè)的產(chǎn)量與生產(chǎn)費用之間存在高度的正相關關系。思考題請按照您的直覺在以下二維空間畫出人的身高與體重的關系：O身高1、你所畫的線條是正斜率還是負斜率？2、你所畫的線條是直線還是曲線？3、在你作圖過程中，假設哪些因素保持不變的？請問體重單選題1.在相關分析中，若變量x的取值增加時，變量y的值隨之減少，則兩個變量間的關系是（）。A.正相關B.負相關C.復相關D.不相關2.能夠測定變量之間相關關系密切程度的主要方法為（）。A.相關表B.相關圖C.相關系數(shù)D.定性分析單選題3.當自變量的數(shù)值確定后，因變量的數(shù)值也隨之完全確定，這種關系屬于（）。A.相關關系B.函數(shù)關系C.回歸關系D.隨機關系4.現(xiàn)象之間線性依存關系程度越低，則相關系數(shù)（）。A.越接近于-1B.越接近于1C.越接近于0D.在0.5-0.8之間單選題5.現(xiàn)象之間線性依存關系程度越高，則相關系數(shù)（）。A.越接近于0B.越接近于1C.越接近于-1D.越接近于+1和-16.若物價上漲，商品的需求量相應減少，則物價與商品需求量之間的關系為（）。A.不相關B.負相關C.正相關D.復相關多選題1.測定現(xiàn)象之間有無相關關系的方法是（）。A.對客觀現(xiàn)象做定性分析B.編制相關表C.繪制相關圖D.計算相關系數(shù)E.計算估計標準誤2.下列屬于負相關的現(xiàn)象是（）。A.商品流轉的規(guī)模愈大，流通費用水平越低。B.流通費用率隨商品銷售額的增加而減少。C.國民收入隨投資額的增加而增長。D.生產(chǎn)單位產(chǎn)品所耗工時隨勞動生產(chǎn)率的提高而減少E.某產(chǎn)品產(chǎn)量隨工人勞動生產(chǎn)率的提高而增加。簡答題什么是相關關系？相關關系和函數(shù)關系的區(qū)別是什么？答：相關關系是一種不完全確定的隨機關系，在相關關系的情況下，因素（變量）標志的每個數(shù)值都可能有若干個結果標志的數(shù)值與之對應。其區(qū)別表現(xiàn)為：相關關系指的是變量之間在數(shù)量上確實存在著不確定的依存關系，其關系不是唯一確定的；而函數(shù)關系是一一對應的確定關系，即給出自變量一個值時，因變量只有一個唯一確定的數(shù)值與之對應。兩變量不相關時r值為___________；完全相關時,r值為__________，不完全相關時r值為____________。填空題計算題1.某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位成本資料如下表月份產(chǎn)量X(千臺)單位成本y(元)13822481358044825578667777768678計算相關系數(shù)解：由已知條件可計算出：按相關系數(shù)計算公式：2.已知試計算相關系效解：（一）概念：1.相關分析就是用一個指標來表明現(xiàn)象間相互依存關系的密切程度。2.回歸分析指對具有相關關系的現(xiàn)象，根據(jù)其相關關系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型，用來描述一個變量怎樣依賴于另一個變量，或者說，當一個變量發(fā)生一定的變動時，另一個變量將發(fā)生怎樣的數(shù)量變動。第三節(jié)回歸分析“回歸”這一術語是英國人弗朗西斯.高爾登和卡爾.皮爾遜在研究父親身高與兒子身高的關系時引入的?；貧w的古典意義：

高爾登遺傳學的回歸概念

父母身高與子女身高的關系:

無論高個子或低個子的子女都有向人的平均身高回歸的趨勢回歸的現(xiàn)代意義一個因變量對若干自變量依存關系的研究回歸的目的（實質）：

由固定的自變量去估計因變量的平均值樣本總體自變量固定值估計因變量平均值（三）一元線性回歸兩個變量之間的相關系數(shù)能表明兩者之間關系的密切程度，但無法用一個變量去估計另一個變量?；貧w分析則可做到這一點，用自變量去估計或預測因變量?；貧w分析首先要區(qū)分自變量和因變量，自變量是“因”，因變量是“果”，然后建立一個方程去描述這個因果關系，即要找出兩者之間關系的數(shù)學表達式，這就是一元回歸；如果兩個變量是線性關系．稱為一元線性回歸。圖8-10企業(yè)產(chǎn)量與生產(chǎn)費用散點圖我們?nèi)菀卓闯銎髽I(yè)產(chǎn)量和生產(chǎn)費用之間的散點圖大致呈直線關系。但圖形中的各點并不都在—條直線上，而是圍繞著直線上下波動，有的在直線上面，有的在直線下面。種類：1）按自變量個數(shù)分：一元回歸、多元回歸2）按回歸線的形狀分：線性回歸、非線性回歸回歸分析按回歸變量個數(shù)分按回歸形式分一元回歸多元回歸線形回歸非線性回歸回歸分析的類型▲注意：①不線性相關并不意味著不相關；②有相關關系并不意味著一定有因果關系；③回歸分析/相關分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關系，但它們并不意味著一定有因果關系?！⒁猓孩芑貧w分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分因變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是；相關分析則對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的。

P.137回歸分析的特點（1）在變量之間，必須根據(jù)研究目的具體確定哪些是自變量，哪個是因變量。（2）回歸方程的作用在于，在給定自變量的數(shù)值情況下來估計因變量的可能值。一個回歸方程只能做一種推算。推算的結果表明變量之間具體的變動關系。（3）直線回歸方程中，自變量的系數(shù)為回歸系數(shù)?；貧w系數(shù)的符號為正時，表示正相關；回歸系數(shù)的符號為負時，表示負相關。（4）確定回歸方程時，只要求因變量是隨機的，而自變量是給定的數(shù)值。區(qū)別相關分析回歸分析變量性質兩變量都是隨機的自變量是確定的因變量是隨機的變量關系對等不對等分析內(nèi)容相關程度、方向數(shù)量變動關系回歸分析在相關分析的基礎上,建立相關的數(shù)量模型,并進行估算和預測的統(tǒng)計分析方法（二）相關分析與回歸分析的區(qū)別與聯(lián)系

1.在相關分析中，不必確定自變量和因變量；而在回歸分析中，必須事先確定哪個為自變量，哪個為因變量，而且只能從自變量去推測因變量，而不能從因變量去推斷自變量。2.相關分析不能指出變量間相互關系的具體形式；而回歸分析能確切的指出變量之間相互關系的具體形式，它可根據(jù)回歸模型從已知量估計和預測未知量。3.相關分析所涉及的變量一般都是隨機變量，而回歸分析中因變量是隨機的，自變量則作為研究時給定的非隨機變量。區(qū)別：聯(lián)系：相關分析和回歸分析有著密切的聯(lián)系，它們不僅具有共同的研究對象，而且在具體應用時，常常必須互相補充。相關分析需要依靠回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關程度。只有當變量之間存在著高度相關時，進行回歸分析尋求其相關的具體形式才有意義。簡單說：1、相關分析是回歸分析的基礎和前提；2、回歸分析是相關分析的深入和繼續(xù)。一元線性回歸分析的任務

因為具有顯著相關關系y不僅受x影響，還受其它因素影響，因此，x、y形成的點不在一直線上，而是分在直線上下變動，呈現(xiàn)線性相關的趨勢，簡單線性回歸方程分析任務就是設法在這些分散的具有線性關系的相關點之間配合一條最優(yōu)的直線，以表明兩面變量之間具體的變動關系一元線性回歸方程----表示y的估計值，a—代表直線的起點值，b---稱為回歸系數(shù)，其意義是自變量增加一個單位時，因變量的平均增加量。當b>0時，自變量和因變量按相同方向變動，即為正相關，當b<0時，自變量和因變量按相反方向變動，即為負相關。b不能判斷相關程度

xya擬合這條直線的根本目的是要代表這些散點，代表性最強的直線應該是最恰當?shù)闹本€，用“最小平方法”或“最小二乘法”作為判別標準。直線回歸方程的擬合

幾何意義:b表示直線的斜率;a表示直線的截距經(jīng)濟意義:b表示當自變量x每增加一個單位時,因變量y平均變動量a表示當自變量x為0時,因變量的預測值例：某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下：月份產(chǎn)量(仟件)x單位成本(元/件)yxy127341462372921634711628443739219546916276656825340合計=21=426=79=1481求:1）回歸方程，指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本平均變動為多少？2）當產(chǎn)量為6000時，單位成本為多少？解：1、回歸方程為：b=-1.82,說明單位成本與產(chǎn)量是負相關，產(chǎn)量每增加1000件時,單位成本平均降低1.82元。2、當產(chǎn)量為6000時，單位成本為66.81元。(元)例

根據(jù)表8-5中有關數(shù)據(jù)，確定該企業(yè)生產(chǎn)費用對產(chǎn)量的回歸方程，并說明產(chǎn)量對生產(chǎn)費用的影響大小。表8-5企業(yè)生產(chǎn)費用與產(chǎn)量相關系數(shù)計算表解：由于產(chǎn)量多少決定著生產(chǎn)費用的多少，所以以產(chǎn)量x為自變量，生產(chǎn)費用y為因變量。代入（8.27）,得所求的生產(chǎn)費用對產(chǎn)量的回歸方程為：它說明該企業(yè)產(chǎn)量每增加1千噸，生產(chǎn)費用平均增加12.896萬元。練習題為研究新產(chǎn)品銷售額（x萬元）和利潤（y萬元）之間的關系，某公司對6個企業(yè)進行調查得出：∑x=225，∑x2=9823,∑y=13，∑y2=36.7，∑xy=593，要求：（1）計算相關系數(shù)；（2）建立直線回歸方程，并指出b的具體含義；（3）若銷售額為50萬元，試估計銷售利潤為多少。r=0.97b=0.067，表示銷售額每增加1萬元銷售利潤將近似的增加0.067萬元。當x=50萬元時，

估計標準誤差因變量實際值與估計值離差平方和的均方根估計標準誤差估計標準誤差的意義:誤差越小,回歸方程的準確性越高,代表性越大反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況。P.137原因隨機性，樣本代表性？估計標準誤差的作用1.用來衡量回歸模型的擬合優(yōu)度（有效程度）2.用來對實際的值y落在估計值周圍的區(qū)間做出一個大概的說明。±Sy估計標準誤估計標準誤：是用來說明回歸方