基于空間索單元的空間索單元精確解

基于空間索單元的空間索單元精確解

懸索是指長(zhǎng)度大于其截面大小的懸索。由于其外觀美觀，材料利用率高，懸索廣泛應(yīng)用于各種現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中，其分析方法也受到了高度重視。文獻(xiàn)總結(jié)了國(guó)內(nèi)外懸索分析的全過(guò)程，驗(yàn)證了文獻(xiàn)中三種懸索分析解的等效性?，F(xiàn)在，基于精確分析和解析表明的索樣單元在非線性方程分析中主要存在兩個(gè)不足。由于不能考慮間隙效應(yīng)的影響，因此很難模擬臨時(shí)負(fù)荷等影響。在空間索引單元的外部剛性系數(shù)中，文獻(xiàn)中存在許多值法。當(dāng)值不合適時(shí)，計(jì)算可能會(huì)變得困難或緩慢。本文首先完善基于精確解析解的平面索單元,包括帶節(jié)間集中力的索單元、兩端帶剛臂的索單元;然后推導(dǎo)了空間索單元的平面外剛度系數(shù),從理論上澄清文獻(xiàn)中對(duì)這一系數(shù)的不同取值問(wèn)題;并通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣將空間索單元統(tǒng)一到平面索單元上,同時(shí)還考慮了在非鉛垂向均布荷載作用下的情形.1變l計(jì)算b文獻(xiàn)在公式推導(dǎo)時(shí)采用的y坐標(biāo)是向下的(圖1a),而有限元分析時(shí)一般采用向上的y坐標(biāo)(圖1b).通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)公式的重新推導(dǎo),證明當(dāng)采用圖1b所示的坐標(biāo)系及索端力定義時(shí),懸索公式保持不變,即l=Ηl0EA+Ηq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](1)h=l0EA(V-W2)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-W)2](2)式中:E為彈性模量;A為面積;l0為無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度;q為均布荷載;W為索段重量,W=ql0;其余參數(shù)含義參見(jiàn)圖1.式(1)和(2)對(duì)鉛垂懸索也適用,當(dāng)l=0時(shí),由式(1)可得H=0,此時(shí)式(2)變?yōu)閔=l0EA(V-W2)+1q(|V|-|V-W|)(3)當(dāng)h已知時(shí),式(3)只有一個(gè)變量V,從中即可求得V,從而確定鉛垂懸索的受力狀態(tài).如取V為上端的豎向力,則式(3)有兩種情況:(1)如果需要張力，即v.w，則可以從方程3獲得V=W2+EA(h-l0)l0(4)顯然,當(dāng)忽略懸索的重量時(shí),式(4)就退化為桿單元的桿端力計(jì)算公式.(2)如果sonrobot，0.v，w，方程式3可以得到V=W2+qh2+ql0/EA(5)當(dāng)h=0時(shí),由式(5)可得V=W/2.2索賠塊2.1剛度子陣平面索單元是一個(gè)二節(jié)點(diǎn)單元,每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度.如解除一端的2個(gè)約束,代之以相應(yīng)的作用力,則索單元就成為靜定了.由此推導(dǎo)其柔度矩陣即可得到相應(yīng)的剛度矩陣,然后利用對(duì)稱性就能得到索單元的切線剛度矩陣.參見(jiàn)圖1b,式(1)和(2)分別對(duì)H和V求偏導(dǎo),可得{f11=?l?Η=l0EA+lq[arcsinh(VΗ-arcsinh(V-WΗ))]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]f12=?l?V=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]f21=?h?Η=f12f22=?h?V=l0EA+1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2](6)當(dāng)H和V已知時(shí),由式(6)即可得到索單元右端的剛度子陣,具體可表示為Κ=1f11f12-f12f21[f22-f12-f21f11](7)根據(jù)位移互等定理,平面索單元的切線剛度矩陣可表示為Κe=[Κ-Κ-ΚΚ](8)對(duì)處于鉛垂位置的索單元,根據(jù)式(6)分兩種情況也可得到其切線剛度矩陣的表達(dá)式.2.2索單元的柔度系數(shù)考慮到索單元幾何形狀的不確定性,節(jié)間荷載采用相對(duì)于其無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度進(jìn)行定位的方法來(lái)描述.如圖2所示,設(shè)單元內(nèi)有N-1個(gè)集中力作用點(diǎn),將單元分為N段,從左向右依次為1～N,Px,i,Py,i為作用在單元上的集中力,定義l0,i,Hi,VR,i分別為第i段索元的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度、水平力、右端的豎向力,則對(duì)第N段索元,有{ΗΝ=ΗVR,Ν=V(9)然后根據(jù)以下遞推公式即可從右向左求得各索元的索力{Ηi-1=Ηi+Ρx,i-1VR,i-1=VR,i-ql0,i-Ρy,i-1(10)這樣,根據(jù)式(1)和(2)即可得到帶節(jié)間荷載的索單元的狀態(tài)方程{l=1EAΝ∑i=1Ηil0,i+1qΝ∑i=1Ηi[arcsinh(VR,iΗi)-arcsinh(VR,i-ql0,iΗi)]h=1EAΝ∑i=1l0,i(VR,i-ql0,i2)+1qΝ∑i=1[√Η2i+V2R,i-√Η2i+(VR,i-ql0,i)2](11)采用第2.1節(jié)方法,通過(guò)對(duì)式(11)求偏導(dǎo)即可得到帶節(jié)間荷載的索單元的柔度系數(shù),由式(7)和(8)得出單元的切線剛度矩陣.從式(11)可以看出,帶節(jié)間荷載索單元的柔度系數(shù)是各索元柔度系數(shù)之和,因而節(jié)間荷載的個(gè)數(shù)是不受限制的.2.3帶剛臂索單元的切線剛度矩陣懸索橋的吊索兩端一般均設(shè)有錨頭,而錨口以外部分可以看作是不可伸長(zhǎng)的剛臂,因此,可將吊索模擬為兩端帶剛臂的索單元(圖3).如假定兩端剛臂總與索端部相切,則其狀態(tài)方程如式(12)表示,式(12)中各符號(hào)的含義參見(jiàn)圖3.{l=Ηl0EA+Ηq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-ql0Η)]+SRΗ√Η2+V2+SLΗ√Η2+(V-ql0)2h=l0EA(V-ql02)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-ql0)2]+SRV√Η2+V2+SLV-ql0√Η2+(V-ql0)2(12)采用前述方法,也可方便地得到帶剛臂索單元的切線剛度矩陣.按相同的方法,將式(11)和(12)組合在一起,即可得到兩端帶剛臂且有節(jié)間荷載的索單元的狀態(tài)方程,由此得出單元的切線剛度矩陣.3空間索單元的剛度矩陣如前所述,目前文獻(xiàn)中空間索單元的平面外剛度系數(shù)有多種取值方法,因此,有必要從理論上給出空間索單元的平面外剛度系數(shù).本節(jié)首先直接推導(dǎo)了空間索單元的剛度矩陣,得到空間索單元的平面外剛度系數(shù),然后通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣將空間索單元統(tǒng)一到平面索單元,從而使空間索單元也可像平面索單元一樣方便地考慮節(jié)間荷載和剛臂的影響.3.1空間索單元切線剛度矩陣的計(jì)算對(duì)圖4所示的空間索單元,顯然在局部坐標(biāo)系Ox′y上,其狀態(tài)方程與式(1)和(2)完全相同,對(duì)式(1)等號(hào)左右同時(shí)乘以cosα和sinα,即可得空間索單元在Oxyz坐標(biāo)系下的三個(gè)狀態(tài)方程{lx=Ηxl0EA+Ηxq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]h=l0EA(V-W2)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-W)2]lz=Ηzl0EA+Ηzq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](13)其中{Η=√Η2x+Η2z,Ηx=Ηcosα,Ηz=Ηsinαl=√l2x+l2z,lx=lcosα?lz=lsinα(14)由式(13)和(14)分別對(duì)Hx,V,Hz求偏導(dǎo),可得{f11=?lx?Ηx=l0EA+l0W[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]cos2αf12=?lx?V=f21=?h?Ηx=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]cosαf13=?lx?Ηz=f31=?lz?Ηx=1q[-V√Η2+V2+V-W√Η2+(V-W)2]sinαcosαf22=?h?V=l0EA+1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]f23=?h?Ηz=f32=?lz?V=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]sinαf33=?lz?Ηz=l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]sin2α(15)根據(jù)第2.1節(jié)的方法,由式(15)即可得到空間索單元的切線剛度矩陣.與平面索單元一樣,空間索單元的切線剛度矩陣也是對(duì)稱的.3.2空間索單元與平面外剛度系數(shù)3.1節(jié)利用懸索公式直接推導(dǎo)了空間索單元在總體坐標(biāo)系Oxyz下的切線剛度矩陣,取α=0,由式(15)即得到索單元在Oxy平面內(nèi)(相當(dāng)于索單元的局部坐標(biāo)系)的柔度系數(shù),其中與平面索單元對(duì)應(yīng)的系數(shù)均與式(6)相同,而平面外的柔度系數(shù)為f′33=l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](16)由式(6)和(16)即可得到空間索單元在局部坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣,除平面外剛度所在的行和列外,所有剛度系數(shù)均與平面索單元相同,而根據(jù)式(13)和(14),平面外剛度系數(shù)可表示為k′33=1f′33=1/{l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]}=Ηxlx=Ηzlz=Ηl(17)文獻(xiàn)的平面外剛度系數(shù)均是直接給出的,其中文獻(xiàn)為-F1/H,由于F1與水平力大小相等、符號(hào)相反,因此是正確的.而文獻(xiàn)的推導(dǎo)過(guò)程和最后表達(dá)式均很復(fù)雜,且其中的式(13a)括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)的量綱也不相同,因而是錯(cuò)誤的.另外,文獻(xiàn)取為0顯然是不合適的.在總體坐標(biāo)系下由式(15)得到的柔度矩陣F與由式(16)的局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣F′存在以下關(guān)系:F=[f11f12f13f21f22f23f31f32f33]=[cosα0-sinα010sinα0cosα][f′11f′120f′21f′22000f′33][cosα0sinα010-sinα0cosα]=ΤΤF′Τ(18)式中的f11′,f12′,f21′和f22′與式(16)中的f11,f12,f21和f22相同,而T即為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換子陣.式(18)揭示了空間索單元與平面索單元切線剛度矩陣之間的關(guān)系:在平面索單元的基礎(chǔ)上加上平面外剛度系數(shù),即形成了空間索單元在局部坐標(biāo)系Ox′y下的切線剛度矩陣,通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣即可得空間索單元在總體坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣.4空間索單元的等效節(jié)點(diǎn)力在上述推導(dǎo)中,均是針對(duì)只有鉛垂向的均布荷載(即索的自重)作用的索單元,而且是在總體坐標(biāo)系下直接推導(dǎo)的,此時(shí)單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣就是單位矩陣.當(dāng)懸索在自重與其他荷載(如靜風(fēng)力等)共同作用時(shí),如仍能簡(jiǎn)化為沿?zé)o應(yīng)力長(zhǎng)度的均布荷載,考慮如圖5所示的空間索單元,假定索單元受qx,qy,qz三個(gè)沿?zé)o應(yīng)力長(zhǎng)度的均布荷載的共同作用,則局部坐標(biāo)系的y′軸應(yīng)與qx,qy,qz的合力q方向相反,故y′軸在總體坐標(biāo)系中的方向余弦為l2=qx/q,m2=qy/q?n2=qz/q(19)z′軸應(yīng)同時(shí)垂直于y′軸和單元兩個(gè)端點(diǎn)的連線,故z′軸在總體坐標(biāo)系Oxyz中的方向余弦為{l3=(n2h-m2lz)/pm3=(l2lz-n2lx)/pn3=(m2lx-l2h)/pp=[(n2h-m2lz)2+(l2lz-n2lx)2+(m2lx-l2h)2]1/2(20)x′軸應(yīng)同時(shí)垂直于y′軸和z′軸,故x′軸在總體坐標(biāo)系Oxyz中的方向余弦為{l1=(m2n3-n2m3)/rm1=(n2l3-l2n3)/rn1=(l2m3-m2l3)/rr=[(m2n3-n2m3)2+(n2l3-l2n3)2+(l2m3-m2l3)2]1/2(21)由此,空間索單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的子陣可表示為Τ=[l1m1n1l2m2n2l3m3n3](22)當(dāng)qx=0且qz=0時(shí),由式(22)得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣與式(18)中的T完全相同.對(duì)空間索單元,當(dāng)有節(jié)間荷載時(shí),則所有節(jié)間荷載均必須在單元的局部坐標(biāo)系所在的平面Ox′y′內(nèi),而對(duì)圖4所示的空間索單元,在局部坐標(biāo)系Ox′y下的等效節(jié)點(diǎn)力向量為{Ηx2+Ηz2V-W0-Ηx2+Ηz2-V0}(23)對(duì)其他復(fù)雜情況下的等效節(jié)點(diǎn)力,同樣可按式(23)形成局部坐標(biāo)系下的等效節(jié)點(diǎn)力向量,然后通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣換算到總體坐標(biāo)系下.5組合均布荷載作用下的優(yōu)化設(shè)計(jì)算例一圖6為索在自重作用下的線形,E=19×106kPa,A=0.85m2,自重集度為3.16kN·m-1,計(jì)算在P=8000kN作用下的荷載作用點(diǎn)B相對(duì)于恒載狀態(tài)的位移.本文采用三個(gè)索單元模擬,收斂精度取為10-5kN.表1給出了本文的計(jì)算結(jié)果及與其他研究者的比較.為驗(yàn)證索在組合均布荷載作用下的情形,將本算例的索旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度并將自重分解成兩個(gè)方向進(jìn)行計(jì)算,所得的結(jié)果與未旋轉(zhuǎn)時(shí)完全相同.另外,本算例用一個(gè)索單元模擬也能得到相同的結(jié)果.算例二圖7為一個(gè)由3根懸索和1根彈簧組成的空間索系,彈簧的剛度為1000kN·m-1,懸索的抗拉剛度為290MN·m-1,線膨脹系數(shù)為6.5×10-6,單元①,②,③的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度分別為580,510,510m,自重集度分別為1,2,2kN·m-1,計(jì)算溫度升高100℃且在2#點(diǎn)作用如圖所示的P=1MN時(shí)2#點(diǎn)的位移.本文計(jì)算時(shí)彈簧用桿單元模擬,收斂精度取為10-8kN.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2,表中給出了