八年級數學上冊知識講解及鞏固練習：《三角形的初步知識》全章復習與鞏固（提高）知識講解

PAGE《三角形的初步知識》全章復習與鞏固（提高）責編：杜少波【學習目標】1.理解三角形有關的概念,掌握三角形內角和定理的證明，能應用內角和定理進行相關的計算及證明問題.2.理解并會應用三角形三邊關系定理解答問題.3.了解三角形中三條重要的線段及其性質，并能正確的用尺規(guī)作出三角形三條重要線段.4.理解命題與定理的意義，并能判斷命題的真假；掌握幾何證明的正確表述格式.5.了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實際生活中存在的問題.6.掌握常見的尺規(guī)作圖方法，并根據三角形全等判定定理利用尺規(guī)作一個三角形與已知三角形全等.【知識網絡】【要點梳理】要點一、三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．三角形外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．要點詮釋：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數；③求一個三角形中各角之間的關系．要點二、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.要點三、三角形的三邊關系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．2.三角形的重要線段：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，這點稱為三角形的重心．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.要點四、命題、定理與證明1.命題：判斷一件事件的句子叫命題.其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題.要點詮釋：（1）對于命題的定義要正確理解，也即是通過這句話可以確定一件事是發(fā)生了還是沒發(fā)生，如果這句話不能對于結果給予肯定或者否定的回答，那它就不是命題；（2）每一個命題都可以寫成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面為題設部分，“那么”后面為結論部分；2.定理：如果一個命題是真命題（正確的命題），那就可以稱它為定理.3.證明從命題的條件出發(fā)，根據已知的定義、基本事實、定理（包括推論），一步一步推得結論成立，這樣的推理過程叫做證明．要點五、全等三角形的性質與判定1.全等三角形的性質全等三角形對應邊相等，對應角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“邊邊邊”：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.“全等三角形判定2——“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.全等三角形判定3——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定4——“角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：（1）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.要點六、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角，并利用全等三角形的知識作一個三角形與已知三角形全等；要點詮釋：要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應用，對于作圖要用正確語言來進行表達.【典型例題】類型一、三角形的內角和1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數是多少?【思路點撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當△ABC為銳角三角形時，如圖所示，在△ABD中，∵BD是AC邊上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)當△ABC為鈍角三角形時，如圖所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數為60°或30°．【總結升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學習過程中應該注意的一個重要環(huán)節(jié)．舉一反三【變式】已知：如圖，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于H，則∠BHC的度數為.

【答案】135°.類型二、三角形的三邊關系及分類2.（2016?長沙模擬）一個三角形的三邊長分別是3，2a-1，6,則整數a的值可能是()．A．2,3B．3,4C．2,3，4D．3,4，5【思路點撥】直接利用三角形三邊關系，得出a的取值范圍.【答案】B【解析】解：∵一個三角形的三條邊長分別為3，2a-1，6,∴解得：2＜a＜5，則整數a的值可能是3,4，故選B.【總結升華】主要考察了三角形三邊關系，正確得出a的取值范圍是解題關鍵.舉一反三【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數，則共能組成個不同的三角形.當x為時，所組成的三角形周長最大.【答案】三；8(由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因為x為整數，故x可取6，7，8；當x=8時，組成的三角形周長最大為11).3.（2015春?盱眙縣期中）四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．證明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【答案與解析】證明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．故答案為：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．【總結升華】本題考查的是三角形的三邊關系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．4.在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠B=2∠A，（1）求∠A、∠B、∠C的度數；（2）△ABC按角分類，屬于什么三角形？【思路點撥】根據三角形的內角和定理列方程組，直接求∠A、∠B、∠C的度數即可；有角的度數再根據三角形按角分類正確給與分類即可.【答案與解析】解：（1）根據題意得（2）△ABC按角分類，屬于直角三角形.【總結升華】幾何計算題中，如果依據題設和相關的幾何圖形的性質列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．舉一反三【變式】一個三角形的三個角的度數比是1：2：3，這個三角形中最小的一個角是度，按角分類，這個三角形是三角形．【答案】30；直角.類型三、三角形的重要線段5.如圖13，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度數.

【思路點撥】由圖可知∠CDF是Rt△CDF的一個內角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB為直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.

【答案與解析】在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，由三角形的內角和定理得：

∠BCA=180°-72°-40°=68°

又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，

在中，CD⊥AB于D，∠B=72°

∴∠BCD=90°-72°=18°

∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.

即∠FCD=16°.

【總結升華】這是三角形內角和定理在直角三角形中的應用，直角三角形兩個銳角互余，所以在直角三角形中，已知一個銳角的大小，就可以求出另一個銳角的度數.

舉一反三【變式】如圖14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數．

【答案】∠DAE=35°

類型四、全等三角形的性質和判定 6.已知，如圖，△ABC中，D是BC中點，DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關系，并證明你的結論.【思路點撥】因為D是BC的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段DF，使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉化到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BE＋CF＞EF；證明：延長FD到G，使DG＝DF,連結BG、EG∵D是BC中點∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【總結升華】有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點的線段）.舉一反三：【變式】（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【答案】證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF與△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．類型五、用尺規(guī)作三角形7.已知：線段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺規(guī)