八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)：《三角形的初步知識(shí)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識(shí)講解

PAGE《三角形的初步知識(shí)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形有關(guān)的概念,掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，能應(yīng)用內(nèi)角和定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算及證明問(wèn)題.2.理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理解答問(wèn)題.3.了解三角形中三條重要的線(xiàn)段及其性質(zhì)，并能正確的用尺規(guī)作出三角形三條重要線(xiàn)段.4.理解命題與定理的意義，并能判斷命題的真假；掌握幾何證明的正確表述格式.5.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實(shí)際生活中存在的問(wèn)題.6.掌握常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法，并根據(jù)三角形全等判定定理利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．要點(diǎn)詮釋?zhuān)簯?yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．要點(diǎn)二、三角形的分類(lèi)1.按角分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩黉J角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.要點(diǎn)三、三角形的三邊關(guān)系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線(xiàn)段能否組成三角形，若兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，則這三條線(xiàn)段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線(xiàn)段之間的不等關(guān)系．2.三角形的重要線(xiàn)段：一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心．一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．三角形的三條高所在的直線(xiàn)相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.要點(diǎn)四、命題、定理與證明1.命題：判斷一件事件的句子叫命題.其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯(cuò)誤的命題叫做假命題.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）對(duì)于命題的定義要正確理解，也即是通過(guò)這句話(huà)可以確定一件事是發(fā)生了還是沒(méi)發(fā)生，如果這句話(huà)不能對(duì)于結(jié)果給予肯定或者否定的回答，那它就不是命題；（2）每一個(gè)命題都可以寫(xiě)成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面為題設(shè)部分，“那么”后面為結(jié)論部分；2.定理：如果一個(gè)命題是真命題（正確的命題），那就可以稱(chēng)它為定理.3.證明從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理（包括推論），一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過(guò)程叫做證明．要點(diǎn)五、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“邊邊邊”：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）.“全等三角形判定2——“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）.全等三角形判定3——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定4——“角角邊”：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線(xiàn)段或角（用等量代換后的線(xiàn)段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形.要點(diǎn)六、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段、作一個(gè)角等于已知角，并利用全等三角形的知識(shí)作一個(gè)三角形與已知三角形全等；要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂炀氄莆罩背吆蛨A規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對(duì)于作圖要用正確語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表達(dá).【典型例題】類(lèi)型一、三角形的內(nèi)角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】由三角形的內(nèi)角和，建立方程解決.

【答案與解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的內(nèi)角和定理，

得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.

【總結(jié)升華】本題根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出以∠A為未知數(shù)的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度數(shù)的常用方法.舉一反三【變式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______

【答案】60°，70°.類(lèi)型二、三角形的三邊關(guān)系及分類(lèi)2.（2016?豐潤(rùn)區(qū)二模）若三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6cm和10cm，則它的第三邊長(zhǎng)不可能為（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【思路點(diǎn)撥】直接利用三角形三邊關(guān)系得出第三邊的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【答案與解析】解：∵三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6cm和10cm，∴第三邊長(zhǎng)的取值范圍是：4＜x＜16，∴它的第三邊長(zhǎng)不可能為：17cm．故選：D．【總結(jié)升華】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，正確得出第三邊的取值范圍是解題關(guān)鍵．舉一反三【變式1】如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和6,則周長(zhǎng)L的取值范圍是()

A．6＜L＜15B．6＜L＜16C．11＜L＜13D．12＜L＜16

【答案】D.

【變式2】（2015?韶關(guān)模擬）若三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6cm和10cm，則它的第三邊不可能為（）cm．A．5 B．8 C．10 D．17【答案】D．解析：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，則10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16，故第三邊不可能為17．故選D．類(lèi)型三、三角形的重要線(xiàn)段3.（2014秋?潘集區(qū)校級(jí)月考）如圖，AD、AE分別是△ABC的角平分線(xiàn)和高．（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B=20°，∠C=70°，則∠DAE=；（2）若已知∠B=25°，∠C=85°，則∠DAE=；（3）若已知∠B=α，∠C=β，且，求∠DAE的度數(shù)（結(jié)果用含α、β的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=90°，再根據(jù)角平分線(xiàn)與高線(xiàn)的定義得到∠CAD=∠CAB=45°，∠AEC=90°，則∠CAE=90°﹣∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE計(jì)算即可．（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=70°，再根據(jù)角平分線(xiàn)與高線(xiàn)的定義得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，則∠CAE=90°﹣∠C=5°，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE計(jì)算即可．（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB=180°﹣α﹣β，再根據(jù)角平分線(xiàn)與高線(xiàn)的定義得到∠DAC=90°﹣﹣，∠AEC=90°，則∠CAE=90°﹣∠C=90°﹣β，然后利用∠DAE=∠CAD﹣∠CAE計(jì)算即可．【答案與解析】解：（1）∵∠B=20°，∠C=70°，∴∠BAC=90°，∴∠DAC=45°，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=20°，∴∠DAE=45°﹣20°=25°；（2）∵∠B=25°，∠C=85°∴∠BAC=70°，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DAC=35°，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=5°，∴∠DAE=35°﹣5°=30°；（3）在△ABC中，∠BAC=180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DAC=90°﹣﹣，∵AE是△ABC的高．∴∠EAC=90°﹣β，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣﹣﹣90°+β=（α﹣β），故答案為25°，30°．【總結(jié)升華】本題考查了三角形中的重要線(xiàn)段——高線(xiàn)和角平分線(xiàn)以及三角形內(nèi)角和定理.舉一反三【變式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分別是△ABC的高線(xiàn)和角平分線(xiàn),則∠DAE的度數(shù)為_(kāi)________.

【答案】10°.類(lèi)型四、全等三角形的性質(zhì)和判定 4.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)DC．(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；(2)證明：DC⊥BE.【思路點(diǎn)撥】△ABE與△ACD中，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過(guò)等量代換找到，從而證明△ABE≌△ACD；通過(guò)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)倒角可證垂直.【答案與解析】解：（1）△ABE≌△ACD證明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90°則有∠DCE＝180°－90°＝90°，所以DC⊥BE.【總結(jié)升華】我們可以試著從變換的角度看待△ABE與△ACD，后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90°，即DC⊥BE.舉一反三【變式】如圖，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.【答案】證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB與△EAC中，∴△DAB≌△EAC（ASA）∴BD＝CE.5.己知：在ΔABC中，AD為中線(xiàn).求證：AD＜【答案與解析】證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD為中線(xiàn)，∴BD＝CD在△ADC與△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【總結(jié)升華】用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法可將線(xiàn)段AC，2AD，AB轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，把分散的條件集中起來(lái).倍長(zhǎng)中線(xiàn)法實(shí)際上是繞著中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°.舉一反三【變式】若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7,則第三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)的取值范圍是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜＜12D.無(wú)法確定【答案】A；提示：倍長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以選A選項(xiàng).類(lèi)型五、用尺規(guī)作三角形6.作圖：請(qǐng)你作出一個(gè)以線(xiàn)段a為底邊，以∠α為底角的等腰三角形（要求：用尺規(guī)作圖，并寫(xiě)出已知，求作，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和結(jié)論）已知：求作：【思路點(diǎn)撥】可先畫(huà)線(xiàn)段BC=a，進(jìn)而在BC的同側(cè)作