聚焦新中考數(shù)學(含11真題帶解析)第3章自我測試

第三章《函數(shù)及其圖象》自我測試[時間：90分鐘分值：100分]一、選擇題(每小題3分，滿分30分)1．(2011·衡陽)函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋3),x－1)中自變量x的取值范圍是()A．x≥－3B．x≥－3且x≠1C．x≠1D．x≠－3且x≠1答案B解析由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.2．(2011·蕪湖)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y＝eq\f(a,x)與一次函數(shù)y＝bx＋c在同一坐標系中的大致圖象是()答案D解析由拋物線的位置，得a<0，b<0，c＝0，所以雙曲線y＝eq\f(a,x)分布在第二、四象限，直線y＝bx＋c過原點，且經(jīng)過第二、四象限．3．(2011·廣州)下列函數(shù)中，當x>0時，y值隨x值增大而減小的是()A．y＝x2B．y＝x－1C．y＝eq\f(3,4)xD．y＝eq\f(1,x)答案D解析y＝eq\f(1,x)分布第一、三象限，當x>0時，y隨x的增大而減?。鸢溉纾簓＝eq\f(2,x)，y＝－x＋3，y＝－x2＋5等，寫出一個即可17．(2011·內(nèi)江)在直角坐標系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn－1按如圖所示的方式放置，其中點A1、A2、A3、…、An均在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上，點C1、C2、C3、…、Cn均在x軸上．若點B1的坐標為(1,1)，點B2的坐標為(3,答案(2n－1－1,2n－1)解析可求得A1(0,1)，A2(1,2)，A3(3,4)，A4(7,8)，…，其橫坐標0,1,3,7…的規(guī)律為2n－1－1，縱坐標1,2,4,8…的規(guī)律為2n－1，所以點An的坐標為(2n－1－1,2n－1)．18．(2011·衢州)在直角坐標系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點B，斜邊AO＝10，sin∠AOB＝eq\f(3,5)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C，且與AB交于點D，則點D的坐標為_______________．答案(8，eq\f(3,2))解析在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝eq\f(AB,AO)＝eq\f(3,5)，則AB＝6，OB＝8.又點C是AC中點，得C(4,3)，k＝4×3＝12，y＝eq\f(12,x).當x＝8時，y＝eq\f(12,8)＝eq\f(3,2).∴D坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(3,2))).19．(2011·廣安)如圖所示，直線OP經(jīng)過點P(4,4eq\r(3))，過x軸上的點1、3、5、7、9、11……分別作x軸的垂線，與直線OP相交得到一組梯形，其陰影部分梯形的面積從左至右依次記為S1、S2、S3……Sn則Sn關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式是________．答案(8n－4)eq\r(3)解析設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，由P(4,4eq\r(3))，得4eq\r(3)＝4k，k＝eq\r(3)，∴y＝eq\r(3)x.則S1＝eq\f(1,2)×(3－1)×(eq\r(3)＋3eq\r(3))＝4eq\r(3)，S2＝eq\f(1,2)×(7－5)×(5eq\r(3)＋7eq\r(3))＝12eq\r(3)，S3＝eq\f(1,2)×(11－9)×(9eq\r(3)＋11eq\r(3))＝20eq\r(3)，……，所以Sn＝4(2n－1)eq\r(3)＝(8n－4)eq\r(3).[來源:Zxxk.Com]20．(2010·蘭州)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為__________米．答案0.5解析如下圖，建立平面直角坐標系，可得拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過點(－0.5,1)，(1,2.5)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋c＝1，a＋c＝2.5，))解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，c＝0.5，))∴y＝2x2＋0.5，拋物線頂點坐標為(0,0.5)，距地面的距離為0.5米．三、解答題(21～22題各6分，23題8分，24～25題各10分)21．(2011·菏澤)已知一次函數(shù)y＝x＋2與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)，其中一次函數(shù)y＝x＋2的圖象經(jīng)過點P(k,5)．(1)試確定反比例函數(shù)的表達式；(2)若點Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點，求點Q的坐標．解(1)因為直線y＝x＋2過點P(k,5)，∴5＝k＋2，k＝3.∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(3,x).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，y＝\f(3,x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝3，)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－3，y＝－1.)))故第三象限的交點Q的坐標為(－3，－1)．22．(2011·日照)某商業(yè)集團新進了40臺空調(diào)機，60臺電冰箱，計劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤(元)如下表：空調(diào)機電冰箱甲連鎖店200170乙連鎖店160150設(shè)集團調(diào)配給甲連鎖店x臺空調(diào)機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y(元)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；(2)為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調(diào)機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調(diào)機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應(yīng)該如何設(shè)計調(diào)配方案，使總利潤達到最大？解(1)根據(jù)題意知，調(diào)配給甲連鎖店電冰箱(70－x)臺，調(diào)配給乙連鎖店空調(diào)機(40－x)臺，電冰箱(x－10)臺，則y＝200x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝20x＋16800.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,70－x≥0，,40－x≥0，,x－10≥0，))∴10≤x≤40.∴y＝20x＋16800(10≤x≤40)．(2)按題意知：y＝(200－a)x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝(20－a)x＋16800.∵200－a＞170，∴a＜30.當0＜a＜20時，y隨x增大而增大，則x＝40時，利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調(diào)0臺，電冰箱30臺；當a＝20時，x的取值在10≤x≤40內(nèi)的所有方案利潤相同；當20＜a＜30時，y隨x增大而減小，x＝10時，利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機10臺，電冰箱60臺，乙連鎖店空調(diào)30臺，電冰箱0臺．23．(2011·揚州)如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊放其中(圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上)現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y(厘米)與注水時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖2所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：(1)圖2中折線ABC表示______槽中的深度與注水時間之間的關(guān)系，線段DE表示________槽中的深度與注水時間之間的關(guān)系(以上兩空選填“甲”、或“乙”)，點B的縱坐標表示的實際意義是______________________________________________________；(2)注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面積為36平方厘米(壁厚不計)，求乙槽中鐵塊的體積；(4)若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米(壁厚不計)，求甲槽底面積(直接寫結(jié)果)．[來源:Zxxk.Com]解(1)乙，甲；乙槽內(nèi)的圓柱形鐵塊的高度為14厘米．(2)設(shè)線段AB的解析式為y1＝kx＋b，由過點(0,2)、(4,14)，可求得解析式為y1＝3x＋2；設(shè)線段DE的解析式為y2＝mx＋n，由過點(0,12)、(6,0)，可求得解析式為y2＝－2x＋12；當y1＝y(tǒng)2時，3x＋2＝－2x＋12，∴x＝2.∴注水2分鐘時，甲、乙兩水槽中水的深度相同．(3)∵水由甲槽勻速注入乙槽，∴乙槽前4分鐘注入水的體積是后2分鐘的2倍．設(shè)乙槽底面積與鐵塊底面積之差為S，則(14－2)S＝2×36×(19－14)，解得S＝30cm2.∴鐵塊底面積為36－30＝6cm2.∴鐵塊的體積為6×14＝84cm3.(4)甲槽底面積為60cm2.∵鐵塊的體積為112cm2，∴鐵塊底面積為112÷14＝8(cm2)．設(shè)甲槽底面積為s(cm2)，則注水的速度為eq\f(12s,6)＝2s(cm3/min)．由題意得eq\f(2s×6－4,19－14)－eq\f(2s×4,14－2)＝8，解得s＝60.∴甲槽底面積為60cm2.24．(2011·溫州)如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為(－4,0)，點B的坐標為(0，b)(b>0).P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C.記點P關(guān)于y軸的對稱點為P′(點P′不在y軸上)，連結(jié)PP′、P′A、P′C.設(shè)點P的橫坐標為a.(1)當b＝3時，①求直線AB的解析式；②若點P′的坐標是(－1，m)，求m的值；(2)若點P在第一象限，記直線AB與P′C的交點為D.當P′D∶DC＝1∶3時，求a的值；(3)是否同時存在a、b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a、b的值；若不存在，請說明理由．解(1)①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋3，把x＝－4，y＝0代入上式，得－4k＋3＝0，∴k＝eq\f(3,4)，∴y＝eq\f(3,4)x＋3.②由已知得，點P的坐標是(1，m)，∴m＝eq\f(3,4)×1＋3，∴m＝3eq\f(3,4).(2)∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD，∴eq\f(P′D,DC)＝eq\f(P′P,CA)，即eq\f(2a,a＋4)＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(4,5).(3)以下分三種情況討論．①當點P在第一象限時，i)若∠AP′C＝90°，P′A＝P′C(如圖1)，過點P′作P′H⊥x軸于點H，∴PP′＝CH＝AH＝P′H＝eq\f(1,2)AC，∴2a＝eq\f(1,2)(a＋4)，∴a＝eq\f(4,3).∵P′H＝PC＝eq\f(1,2)AC，△ACP∽△AOB，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b,4)＝eq\f(1,2)，[來源:學_科_網(wǎng)]∴b＝2.ii)若∠P′AC＝90°，P′A＝CA(如圖2)，則PP′＝AC，∴2a＝a＋4，∴a＝4.∵P′A＝PC＝AC，△ACP∽△AOB，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(PC,AC)＝1，即eq\f(b,4)＝1，∴b＝4.iii)若∠P′CA＝90°，則點P′、P都在第一象限，這與前提條件矛盾，∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．②當點P在第二象限時，∠P′CA為銳角(如圖3)，此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．③當點P在第三象限時，∠P′AC為鈍角(如圖4)，此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．[來源:學&科&網(wǎng)][來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K]∴所有滿足條件的a、b的值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,b＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4.))[來源:Z|xx|k.Com]25．(2011·安徽)如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0).(1)求證h1＝h3;(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證S＝(h2＋h3)2＋h12；(3)若eq\f(3,2)h1＋h2＝1，當h1變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況．解(1)過A點作AF⊥l3分別交l2、l3于點E、F，過C點作CH⊥l2分別交l2、l3于點H、G，利用兩角一邊對應(yīng)相等，證△ABE≌△CDG即可．[來源:學#科#網(wǎng)](2)易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h1、h3＋h2，四邊形EFGH是邊長為h2的正方形，所以S＝4×eq\f(1,2)h1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h3＋h2))＋h22＝2h1h3＋2h1h2＋h22＝2h12＋2h1h2＋h22＝(h1＋h2)2＋h12.(3)由題意，得h2＝1－eq\f(3,2)h1，所以S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\