河北省邢臺市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省邢臺市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知某校有男生3300人，女生2700人，按照性別進行分層，現(xiàn)需要用分層隨機抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個容量為40的樣本，則男生被抽取的人數(shù)為（

）A．22 B．18 C．24 D．162．已知向量．若，則（

）A．6 B． C． D．3．若一個圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．已知a，b為兩條不同的直線，為平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．甲，乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，則謎題沒被破解的概率為（

）A． B． C． D．16．一艘海輪從A地出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行80海里后到達海島B，然后從B地出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行40海里后到達海島C．如果下次航行直接從A地出發(fā)到達C地，那么這艘船需要航行的距離是（

）A．40海里 B．40海里 C．40海里 D．40海里7．甲、乙兩位同學(xué)暑假計劃從吉林省去河北省旅游，他們所搭乘動車的“3+2”座位車廂如圖所示，若這兩位同學(xué)買到了同一排的座位，則他們的座位正好相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，互相垂直，，M是線段BC上一動點，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．評卷人得分二、多選題9．已知a，，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，為實數(shù)，則（

）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．10．如圖，這是一個正方體的平面展開圖，分別是棱的中點，則在該正方體中（

）A．B．與是異面直線C．相交于一點D．11．如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面分別標(biāo)有數(shù)字到．任意拋擲這個八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為．事件表示“數(shù)字為質(zhì)數(shù)”，事件表示“數(shù)字為偶數(shù)”，事件表示“數(shù)字大于”，事件表示“數(shù)字為、、、中的個”，則（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立12．如圖，在棱長為2的正方體中，E是棱的中點，過作正方體的截面交棱于F，則（

）A．當(dāng)時，截面為等腰梯形B．當(dāng)時，截面為六邊形C．當(dāng)時，截面面積為2D．當(dāng)時，截面與平面所成的銳二面角的正切值為第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．寫出一個同時滿足下列條件的復(fù)數(shù)：_________．①；②在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限．14．每年的4月23日是世界讀書日，為了了解學(xué)生的閱讀情況，某校隨機抽取了8名學(xué)生，統(tǒng)計到他們某一周課外閱讀時間（單位：小時）分別為3.5，2.8，2.5，2.3，3.2，3.0，2.7，1.7，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是___________．15．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖，這是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形—八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點，則的最小值為______．評卷人得分四、雙空題16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則_______，BC邊上的高為_________．評卷人得分五、解答題17．已知向量滿足，且．(1)求與的夾角；(2)求．18．某社區(qū)名居民參加消防安全知識競賽，競賽后對其成績滿分分進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按，，，分為組，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求直方圖中的值；(2)試估計這名居民競賽成績的平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(3)該社區(qū)準(zhǔn)備對本次安全知識競賽成績較差的的居民開展消防安全知識講座，則需要參加講座的居民的分數(shù)不超過多少19．如圖，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點．(1)證明：平面平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．20．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．(1)求C的大小；(2)若G是的重心，求面積的最大值．21．如圖，在四棱錐中，，，，平面平面ABCD．(1)證明：平面PDC．(2)若E是棱PA的中點，且平面PCD，求點D到平面PAB的距離．22．甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立．(1)求第三局結(jié)束時乙獲勝的概率；(2)求甲獲勝的概率．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的知識計算出男生被抽取的人數(shù).【詳解】由題意得，男生被抽取的人數(shù)為.故選：A2．B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】，解得．故選：B3．B【解析】【分析】根據(jù)圓錐底面積求得圓錐底面半徑，根據(jù)側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形求得母線長，進而求得圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則，所以該圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐的母線長為，則，即，則圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選:B4．D【解析】【分析】根據(jù)線面之間的位置關(guān)系逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，則直線與平面相交，平行，或，故B錯誤；對于C，若，，則直線相交，平行或異面，故C錯誤；對于D，若，，則，故D正確.故選：D.5．A【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可得解.【詳解】解：設(shè)“甲獨立地破解出謎題”為事件A，“乙獨立地破解出謎題”為事件B，，故，所以，即謎題沒被破解的概率為.故選：A.6．D【解析】【分析】根據(jù)已知求出角B，然后由余弦定理直接可得.【詳解】如圖，由題意AB＝80海里，海里，，所以11200，得海里．故選：D7．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式結(jié)合列舉法求解作答.【詳解】設(shè)事件M為“他們的座位正好相鄰”，甲乙二人買到同一排A，B，C，D，F(xiàn)5個座位中的兩個形成的樣本空間為，則，共包含10個樣本點，其中事件，包含3個樣本點，則有，所以他們的座位正好相鄰的概率為.故選：D8．B【解析】【分析】連接，依題意可得是直線與平面所成的角，當(dāng)時最短，此時正切值最大，求出，再由等面積法得到方程求出，最后三棱錐的外接球可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，求出長方體的體對角線，即可得到外接球的直徑，從而求出外接球的體積；【詳解】解：因為是線段上一動點，連接．因為互相垂直，所以是直線與平面所成的角，則．所以當(dāng)最短，即時，直線與平面所成角的正切值最大，此時，所以，在中，，則，解得．將三棱錐擴充為長方體，則長方體的體對角線長為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．故選：B9．BCD【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)以及實數(shù)需要滿足的條件可得，，進而可判斷A,B,根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則可求解D.【詳解】由題意得，得，又，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故A錯誤，B正確，C正確，，故D正確.故選：BCD10．ABC【解析】【分析】將正方體的平面展開圖還原，再逐個分析即可【詳解】將正方體的平面展開圖還原，得到如圖所示的正方體，對A，因為，且，故四邊形為平行四邊形，故，又則成立，故A正確；對B，因為分別是棱的中點，所以平面ADNE,平面ADNE//平面，且與不平行，所以兩直線是異面直線，故B正確；對C，，則相交，設(shè)相交于點，因為平面平面，平面平面所以，即相交于一點.故C正確；對D，連接，因為，與不垂直，所以與不垂直.故D錯誤故選：ABC.11．BCD【解析】【分析】利用獨立事件的定義逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為，事件數(shù)字為，，A錯；事件數(shù)字為或，，B對；事件數(shù)字為或，，C對；事件數(shù)字為或，，D對.故選：BCD.12．ACD【解析】【分析】當(dāng)時，易得截面為四邊形，可判斷A；當(dāng)時，AB，BC上（不含端點）各有一個截點，所以截面為五邊形，可判斷B；當(dāng)時，設(shè)BC的中點為M，易得截面為四邊形，求出截面的面積可判斷C；如圖，過F作FP垂直于點P，延長FE，交于點O，過作垂直EO于點Q，求出截面與平面所成的銳二面角的大小等于平面與平面所成的銳二面角，即所求的銳二面角，求出即可判斷D.【詳解】當(dāng)時，易得截面為四邊形，易證，且，，所以截面為等腰梯形，A正確．當(dāng)時，AB，BC上（不含端點）各有一個截點，所以截面為五邊形，B錯誤．當(dāng)時，設(shè)BC的中點為M，易得截面為四邊形，易得，，所以四邊形的面積為，C正確．如圖，過F作FP垂直于點P，延長FE，交于點O，過作垂直EO于點Q，因為平面//平面，所以截面與平面所成的銳二面角的大小等于平面與平面所成的銳二面角的大?。驗椤推矫?，所以，所以即所求的銳二面角．易得，，由，得，所以，D正確．故選：ACD.13．（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長以及對應(yīng)點的象限即可列出滿足條件的復(fù)數(shù).【詳解】滿足（，且）即可．故答案為：14．2.7【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列：1.7，2.3，2.5，2.7，2.8，3.0，3.2，3.5．因為，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第4項數(shù)據(jù)，即2.7．故答案為：2.715．【解析】【分析】以為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，將表示為關(guān)于的關(guān)系即可求出.【詳解】如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)系，則，過作軸，因為正八邊形ABCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以,同理，過作軸，則,過作，則，所以，設(shè)，則，所以，，則，所以，其中表示點到點的距離的平方，因為點在正八邊形ABCDEFGH內(nèi)，所以的最小值為0，所以的最小值為.故答案為：.16．

##；

##.【解析】【分析】化簡得到，再利用余弦定理求出，設(shè)BC邊上的高為h，利用三角形的面積公式得解.【詳解】解：由題意得，得，所以為銳角，所以，由余弦定理，得．設(shè)BC邊上的高為h，則，得．故答案為：，.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義和運算律即可求解夾角.

（2）根據(jù)模長公式即可求解.(1)由，

得，因為，所以．(2)由題意得18．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用頻率和為1，可求得的值；（2）利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)公式可求解；（3）求從前至后頻率和等于對應(yīng)的數(shù)即可.(1)依題意得，，解得．(2)這名居民競賽成績的平均分．(3)由頻率分布直方圖可得，第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為．設(shè)需要參加講座的居民的分數(shù)不超過，則．，解得．故需要參加講座的居民的分數(shù)不超過．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知異面直線與所成角為或其補角，計算出的三邊邊長，利用余弦定理可求得結(jié)果.(1)證明：連接，因為四邊形為平行四邊形，則且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因為且，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.(2)解：，所以，異面直線與所成角為或其補角，在中，，，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，然后根據(jù)同角平方和的關(guān)系以及正弦定理的邊角互化得，進而根據(jù)余弦定理可求角.（2）根據(jù)余弦定理以及均值不等式可得，根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進而根據(jù)面積公式即可求解.(1)由正弦定理，得因為，

所以，所以,因為,故．(2)由（1）得，所以，得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．

連接BG，并延長BG交AC于D，則D是AC的中點，且，

過G作于F，過B作于E，則，所以．故面積的最大值為21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在平面PDC內(nèi)找到兩條相交的的直線，使得PA垂直于它們即可；（2）運用等體積法，求出三棱錐P-ABD的體積和和三角形PAB的面積即可.(1)∵平面ABCD平面PAD，，平面PAD平面ABCD=AD，∴CD平面PAD，，即平面PDC，平面PDC，平面ABCD；(2)平面PDC，平面PDC，，在中，，，的面積為，取AD的中點G，連接PG，BG，因為是等腰直角三角形，，，，又∵平面平面ABCD，平面ABCD，，在中，，在中，，，是直角三角形，的面積，設(shè)點D到平面PAB的距離為x，三棱錐P-ABD的體積=，；綜上，D到平面PAB的距離為