含參數(shù)擾動的多元化混沌系統(tǒng)的控制

含參數(shù)擾動的多元化混沌系統(tǒng)的控制

自20世紀90年代以來，許多混合控制算法已被提出。但是,對含參數(shù)擾動的混沌系統(tǒng)進行控制的研究工作卻較少。實際上,由于系統(tǒng)本身存在熱噪聲及電子管內(nèi)的散彈噪聲等內(nèi)部噪聲,很多混沌系統(tǒng)的參數(shù)會由于這些內(nèi)部噪聲的原因而在有界范圍內(nèi)波動,因此,研究含參數(shù)擾動混沌系統(tǒng)的控制問題具有實用意義。基于這一原因,本文使用反步自適應(yīng)控制方法對含參數(shù)擾動的Liu混沌系統(tǒng)的控制問題進行了研究。首先從理論上詳細介紹了反步設(shè)計法的原理,然后從理論上詳細分析了將反步設(shè)計法、Lyapunov穩(wěn)定性定理及自適應(yīng)控制技術(shù)三種理論相結(jié)合設(shè)計得到的控制技術(shù),再將以上控制技術(shù)應(yīng)用于含參數(shù)擾動的Liu混沌系統(tǒng)并從理論上設(shè)計出具體的控制器,再根據(jù)理論進行數(shù)值模擬并給出數(shù)值模擬結(jié)果。理論推導(dǎo)及數(shù)值模擬都發(fā)現(xiàn),將以上三種理論相結(jié)合設(shè)計得到的控制器加在含參數(shù)擾動的Liu混沌系統(tǒng)的兩個不同方程中將得到兩種不同的控制器。1基于lyapunov控制的漸近穩(wěn)定控制考慮如下單輸入單輸出非線性系統(tǒng):{˙xi=xi+1+fi(x1,?,xi),i=1,?,n,˙xn=fn(x1,?,xn)+u,(1)式中,x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài),u∈R是輸入變量,fi(x1,…,xi)為系統(tǒng)的非線性部分。反步設(shè)計法是把每一個子系統(tǒng)中的xi+1看作虛擬控制,通過確定適當?shù)奶摂M反饋xi+1=φi(i=1,…,n-1),控制系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定。通常,系統(tǒng)的解很難直接滿足xi+1=φi,我們希望能夠通過控制的作用,使xi+1與虛擬反饋φi之間具有漸近特性,從而漸近地實現(xiàn)整個系統(tǒng)的控制。首先,利用虛擬控制,引進n個誤差變量zi(i=1,…,n):{z1=x1,z2=x2-φ1(x1),?zn=xn-φn-1(x1,?,xn-1),(2)式中,φi(i=1,…,n-1)是虛擬反饋控制,待定。我們將對每一子系統(tǒng)構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù),使該狀態(tài)分量具有適當?shù)臐u近特性。系統(tǒng)(2)為系統(tǒng)(1)的微分同胚,為了控制系統(tǒng)(1)達到漸近穩(wěn)定,只要控制系統(tǒng)(2)達到漸近穩(wěn)定即可。第1步:對z1求導(dǎo)得˙z1=x2+f1(x1)=-z1+x1+x2+f1(x1),(3)定義狀態(tài)1的Lyapunov函數(shù)為V1=(1/2)z21,并取φ1=-x1-f1(x1)??φ1(z1),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=x3+f2(x1,x2)-??φ1?z1˙z1?x3+~f2(z1,z2),˙V1=-z21+z1z2,(4)式(4)中,若z2=0(即?φ1=-x1-f1(x1)),則由式(4)可知:z1漸近穩(wěn)定。然而,一般情況下z2≠0,為使z2=x2-?φ1(z1)具有期望的漸近特性,再引入虛擬控制φ2,并定義相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)。第2步:定義V2=z22/2+V1,取?φ2?-z1-z2+~f2(z1,z2),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=-z1-z2+z3,˙z3=x4+f3(x1,x2,x3)-2∑i=1??φ2?zizi?x4+~f3(z1,z2,z3),˙V2=-z21-z22+z2z3,(5)式(5)中,若z3=0(即?φ2=-z1-z2+~f2(z1,z2)),則由式(5)可知z1、z2漸近穩(wěn)定。但一般情況下z3≠0,為使z3=x3-?φ3具有期望的漸近特性,再引入虛擬反饋φ3,如此下去,可得到一般情形下的虛擬控制以及Lyapunov函數(shù)。第i步:定義Lyapunov函數(shù)以及虛擬控制如下:{Vi=(z12+?+zi2)/2,φ?i?-zi-1-zi+fi~(z1,?,zi),(6)因此,得{z˙i=zi+1+φ?i(z1,?,zi)+fi~(z1,?,zi)=-zi-1-zi+zi+1,V˙i=-(z12+?+zi2)+zi[zi+1+φ?i(z1,?,zi)+fi~(z1,?,zi)]=-(z12+?+zi2)+zizi+1,推導(dǎo)得到,在第n-1步{z˙n-1=-zn-2-zn-1+zn-1zn,φ?n-1=-zn-2-zn-1+f~n-1(z1,?,zn-1),V˙n-1=-(z12+?+zn-12)+zn-1zn,同理可得,在最后一步{z˙n=fn(z1,?,zn)+u-∑i=1n-1?φ?n-1?ziz˙i=fn~(z1,?,zn)+u,V˙n=-(z12+?+zn-12)+zn-1zn+zn[fn~(z1,?,zn)+u],(7)選取反饋控制律為u=φ?n(z1,?,zn)=-zn-1-zn-fn~(z1,?,zn),(8)將式(8)代入式(7)得{z˙n=-zn-zn-1,V˙n=-(z12+?+zn-12+zn2),(9)由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知,誤差系統(tǒng)(9)是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。因此,原系統(tǒng)將在以上所述控制律作用下指數(shù)漸近穩(wěn)定。2參數(shù)中斷系統(tǒng)的控制2.1lyapunov函數(shù)含參數(shù)擾動的Liu混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程:{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz,z˙=4x2-cz+u1,(10)式中,a(t)∈[a,aˉ]、b(t)∈[b,bˉ]和c(t)∈[c,cˉ]為系統(tǒng)參數(shù)(這些系統(tǒng)參數(shù)因存在擾動而在一定范圍內(nèi)波動),x,y,z是系統(tǒng)狀態(tài)變量,u1是控制輸入。假設(shè)a,b和c都是正常數(shù),同時,在文中余下部分的研究中這個假設(shè)也成立。根據(jù)穩(wěn)定性原理,確定合適的控制律u1,使系統(tǒng)(10)在某個有界點上漸近穩(wěn)定。第一步:對x子系統(tǒng),定義V1(x)=x2/2,取φ1(x)=0,則當y=α1(x)時,x子系統(tǒng)滿足V˙1(x)=-ax2+axy,φ1(x)=px,p<1。定義誤差變量w2為w2=y-φ1(x),(11)則(x,y)子系統(tǒng)可以表示為{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-xz-paw2+[b+p(1-p)a]x,(12)進一步,把z看作是系統(tǒng)的虛擬控制輸入,并假定當z=φ2(x,w2)時,系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定。定義系統(tǒng)(12)的Lyapunov函數(shù)為V2(x,w2)=V1(x)+(1/2)w22,等式兩邊對時間求導(dǎo):V˙2=-a(1-p)x2-paw22+[a+b+p(1-p)a-z]xw2,(13)令φ2(x,w2)=k,并且對任意ε1>0均有不等式2pq≤ε1p2+ε1-1q2成立,則式(13)可變?yōu)閂˙2≤(ε1-pa)w22+{-a(1-p)+ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4}x2,(14)若V˙2<0,則系統(tǒng)(12)漸近穩(wěn)定。顯然,只要w22及x2的系數(shù)小于零,即{ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-a(1-p)<0,ε1-pa<0,(15)即可保證V˙2<0。由不等式(15)可求解出k的取值范圍:{aˉ+bˉ+p(1-p)aˉ-2aε1(1-p)<k<a+b+p(1-p)a+2aε1(1-p),0<ε1<pa,(16)令誤差變量w3為w3=z-φ2(x,w2),(17)則(x,y,z)系統(tǒng)可表示為{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-x(w3+k)-paw2+[b+p(1-p)a]x,w˙3=-c(w3+k)+4x2+u1,(18)定義Lyapunov函數(shù)V3(x,w2,w3)=V2(x,w2)+(1/2)w32+(1/2h)(cˉ^-cˉ)2,cˉ^為自適應(yīng)控制律,h>0。將V3對時間求導(dǎo):V˙3=Μ+w3(-ck-xw2+4x2+u1)+(cˉ^-cˉ)cˉ^˙/h≤Μ+|kw3|cˉ+w3(-xw2+4x2+u1)+(cˉ^-cˉ)cˉ^˙/h,(19)其中M=[a+b+p(1-p)a-z]xw2-a(1-p)x2-paw22-cw32。我們引入如下自適應(yīng)控制律來消除式(19)中的|kw3|cˉ項。引入自適應(yīng)控制律cˉ^˙=h|kw3|,(20)令u1=xw2-4x2-w3k2cˉ^2|w3||k|cˉ^+r∥e∥2,(21)其中,0<r<-η,∥e∥=x2+w22+w32,η=max{ε1-pa,-c,θ1,θ2},θ1=ε1-1[aˉ+bˉ+p(1-p)aˉ-k]2/4-a(1-p),θ2=ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-aˉ(1-p),可得V˙3≤Μ+r∥e∥2≤(η+r)∥e∥2,(22)由Lasalle-Yoshizawa定理,系統(tǒng)(18)在(0,0,0)點漸近穩(wěn)定。由式(11)和式(17)可知,系統(tǒng)(10)在(0,0,k)點漸近穩(wěn)定。若去掉系統(tǒng)(10)的第三式中的控制輸入u1,同時在該系統(tǒng)的第二式中加入控制輸入u2得{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz+u2,z˙=4x2-cz,(23)通過計算可得,當u2=x(z-k)(k滿足式(16))時,系統(tǒng)(23)在點(0,0,0)漸近穩(wěn)定。2.2初始狀態(tài)的數(shù)值模擬設(shè)a=10+sin2t,b=40+2cos5t和c=2.5+0.2cos8t。取ε1=4,p=5/9,將以上參數(shù)代入式(16)可求得k的取值范圍:47.7160<k<57.2222。選取k=52,可得r<1。取r=0.0001,h=0.01,cˉ^(0)=1,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為[x(0),y(0),z(0)]=[10,-10,10]。系統(tǒng)(10)在式(20)、(21)的控制輸入下漸近穩(wěn)定于點(0,0,52),數(shù)值模擬結(jié)果如圖1所示。系統(tǒng)(23)在u2=x(z-k)的控制輸入下漸近穩(wěn)定于點(0,0,0),數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示。當t→∞時,自適應(yīng)控制變量趨向于某一有界固定值,數(shù)值模擬結(jié)果