遼寧省沈陽市重點高中協(xié)作體2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省沈陽市重點高中協(xié)作體2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知sinα＝，則cos(－2α)的值為（

）A．－ B．－C． D．2．已知：，則（

）A． B． C． D．3．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示，已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為，設(shè)酒杯上部分（圓柱）的體積為，下部分（半球）的體積為，則（）A．2 B． C． D．14．如圖所示，為測量兩塔塔尖之間的距離，若平面，平面，選擇地面點C為測量觀測點，測得，，，，，則塔尖之間的距離為（

）A． B． C． D．5．已知m為一條直線，?為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則6．如圖所示，在菱形中，，，為的中點，則的值是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，對任意，都有，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值是（

）A．1 B．3 C．5 D．78．如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點D，與BC交于點E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．評卷人得分二、多選題9．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為10．下列命題中正確的是（

）A．非零向量滿足，則與的夾角為B．若，則的夾角為銳角C．若，則一定是直角三角形D．的外接圓的圓心為O，半徑為1，若，且，則向量在向量方向上的投影的數(shù)量為11．在中，a，b，c分別為，，的對邊，下列敘述正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則為鈍角三角形D．若，則12．如圖，在正方體中，點P在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知向量，，若，則___________.14．已知角的終邊上的一點，則的值為___________.15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示的面積，若，，則___________.評卷人得分四、雙空題16．柏拉圖多面體，是指嚴(yán)格對稱，結(jié)構(gòu)等價的正多面體．由于太完美，因此數(shù)量很少，只有正四、六、八、十二、二十面體五種．如果用邊數(shù)不同的正多邊形來構(gòu)造接近圓球、比較完美的多面體，那么數(shù)量會多一些，用兩種或兩種以上的正多邊形構(gòu)建的凸多面體雖不是正多面體但有些類似，這樣的多面體叫做半正多面體．古希臘數(shù)學(xué)家物理學(xué)家阿基米德對這些正多面體進(jìn)行研究并發(fā)現(xiàn)了13種半正多面體（后人稱為“阿基米德多面體”）．現(xiàn)在正四面體上將四個角各截去一角，形成最簡單的阿基米德家族種的一個，又名截角四面體．設(shè)原正四面體的棱長為6，則所得的截角四面體的表面積為______，該截角四面體的體積為______．評卷人得分五、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，，求．18．在①，，且，②，③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答．在中，角，，的對邊分別為，，，且______．（1）求角；（2）若，求周長的最大值．19．如圖，在直三棱柱中，M?N分別為?的中點.(1)求證：平面；(2)若，，求證：MN⊥平面.20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，，的內(nèi)角平分線交邊BC于點D，求．21．如圖，直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，，為上的點，且平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點到平面的距離.22．已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象，并設(shè).若在上有解，求實數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式求解.【詳解】cos(－2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－2×.故選：C2．A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法計算得出復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義可求得復(fù)數(shù).【詳解】，因此，.故選：A.【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的計算，涉及復(fù)數(shù)乘法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】【分析】設(shè)圓柱的高為，表示出表面積可得，再分別表示出，，由此能求出【詳解】設(shè)酒杯上部分高為，則酒杯內(nèi)壁表面積，解得，，，．故選：．【點睛】本題主要考查圓柱、球體的表面積與體積公式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．C【解析】【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.【詳解】依題意，在中，，，則，；在中，，，則；又中，，則.故塔尖之間的距離為.故選：C5．C【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系依次判斷即可得出.【詳解】對A，若，，則或，故A錯誤；對B，若，，則或，故B錯誤；對C，若，，則，故C正確；對D，若，，則與相交或或，故D錯誤.故選：C.6．A【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算，表示出，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則求得答案.【詳解】由題意得：,故，故選：A7．D【解析】【分析】由題意，是函數(shù)的最大值，可得.由，可得.對進(jìn)行賦值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即得答案.【詳解】由題意，是函數(shù)的最大值，，即．，．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意.的最小值為7.故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】【分析】利用棱柱，棱臺的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知平面與棱柱上，下底面分別交于，，則∥，，顯然是三棱臺，設(shè)的面積為1，的面積為S，三棱柱的高為h，，解得，由，可得.故選：D.9．ABC【解析】【分析】首先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡后得：，然后分別按照四個選項的要求逐一求解判斷即可.【詳解】因為，對于A：的虛部為，正確；對于B：模長，正確；對于C：因為，故為純虛數(shù)，正確；對于D：的共軛復(fù)數(shù)為，錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，屬于?？碱}.10．ACD【解析】由平面向量的加、減法以及向量的夾角可判斷A；利用向量的數(shù)量積的定義即可判斷B；利用向量減法的幾何意義以及向量的數(shù)量積即可判斷C；根據(jù)題意可得三角形AOC為等邊三角形，再根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】對于A，由向量減法法則及題意知，向量，可以組成一個等邊三角形，向量的夾角為，又由向量加法的平行四邊形法則知，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以與的夾角為，故選項A中說法正確；對于B，當(dāng)時，且同向時不成立，故選項B中說法錯誤；對于C，因為，所以，所以，即，所以是直角三角形，故選項C中說法正確；對于D，作圖如下，其中四邊形ABCD為平行四邊形，因為，所以O(shè)為AD、BC的交點，又，所以三角形AOC為等邊三角形，所以，且BC為外接圓的直徑，所以.在直角三角形ABC中，，，所以，則向量在向量方向上的投影的數(shù)量為.故選項D中說法正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了向量的加、減法，向量的數(shù)量積以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11．ACD【解析】【分析】多項選擇題，一個一個選項驗證：對于A：利用正弦定理判斷，在三角形中只能A=B,即可判斷；對于B：∵由正弦定理得，可以判斷∴為等腰三角形或直角三角形；對于C：利用三角函數(shù)化簡得，利用判斷必有一個小于0，即可判斷；對于D：利用正弦定理判斷得求出角.【詳解】對于A：∵由正弦定理得：，而，∴，∵A+B+C=π，∴只能A=B,即為等腰三角形，故A正確；對于B：∵由正弦定理得：，∴若可化為,即，∴或∴為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C：∵A+B+C=π，∴，∴.∵而∴必有一個小于0，∴為鈍角三角形.故C正確；對于D：∵，∴由正弦定理得：,即∴∵∴.故D正確.故選：ACD【點睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．12．ABD【解析】【分析】在選項A中，推導(dǎo)出，，從而直線平面；在選項B中，由平面，得到到平面的距離為定值，再由的面積是定值，從而三棱錐的體積為定值；在選項C中，可得異面直線與所成角的取值范圍是；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.【詳解】在選項A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點在線段上運(yùn)動，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點時，；當(dāng)與點或重合時，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯誤；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項正確：可知是平面的一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD13．##0.5【解析】【分析】先求出，再根據(jù)垂直關(guān)系得出式子即可求出.【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得.故答案為：.14．【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，原式可化簡為可求解.【詳解】因為角的終邊上的一點，所以，所以.故答案為：.15．##【解析】【分析】根據(jù)由正弦定理化邊為角化簡可得，再利用三角形面積公式和余弦定理化簡可得，即可求出.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，即，因為，所以，因為，所以，因為，即，因為，所以，所以.故答案為：.16．

【解析】【分析】有題意求出正六邊形的邊長為，截去的正三角形的邊長為，進(jìn)而求出正六邊形的面積和每個截面的面積，即可求出所得的截角四面體的面積；利用棱長為正四面體的體積減去個棱長為正四面體的體積即可得該截角四面體的體積.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長的邊長為，由題意可得：，解得：，所以每個正六邊形的面積為：，所以所得的截角四面體的表面積為：，設(shè)棱長為的正四面體的體積為，正四面體的高為：，正四面體的底面積為，所以正四面體的體積為，所以該截角四面體外接球的體積為：，故答案為：；.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，差的余弦公式，輔助角公式將化為正弦型，即可求出最小正周期；（2）由條件可求出，繼而求出，利用展開即可求解.【詳解】（1），，函數(shù)的最小正周期為；（2）由可得，，，，又，，，.【點睛】本題考查利用二倍角公式，差的余弦公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，屬于中檔題.18．條件選擇見解析；（1）；（2）12．【解析】【分析】（1）若選①，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及余弦定理，即可求出角；若選②，根據(jù)正弦定理，化簡整理，即可求出角；若選③，先將條件化簡，得到，即可求出角；（2）先由余弦定理，根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由基本不等式，求出，即可得出周長的最值.【詳解】（1）選①∵，，且，∴．化簡得，，由余弦定理得，又因為，∴．選②根據(jù)正弦定理，由得，又因為，所以，又因為，所以，又因為，所以．選③由，得，即，所以，又因為，所以，因此．（2）由余弦定理，得．又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．∴．∴的周長的最大值為12．【點睛】本題主要考查解三角形，以及求三角形的周長最值問題，熟記正弦定理與余弦定理，以及基本不等式即可，屬于常考題型.19．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)連接，，在中，由中位線得即可；(2)連接BN，，有邊長關(guān)系證明BN＝，由此得；再由，得.(1)如圖，連接，，∵三棱柱是直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴過的中點M，在中，由中位線性質(zhì)得，又平面，平面，∴∥平面；(2)如圖，連接BN，.由題得，，∵，∴.由題可知是正方形，∴，∵，∴，∵，平面，∴MN⊥平面.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換，求角的大小；（2）方法一：利用面積關(guān)系，列式求的長，再求數(shù)量積；方法二：和中，分別用正弦定理求得，再利用平面向量基本定理，轉(zhuǎn)化求數(shù)量積；方法三：首先利用余弦定理個求，在和中，分別用正弦定理求，中求，最后再求數(shù)量積.(1)∵由正弦定理得∵，∴∴，∴∴

∵

∴(2)方法一：∵∴∴∴∴方法二：在△ABD中，由正弦定理，在△ADC中，由正弦定理，∵，∴∴∴方法三：在△ABC中，由余弦定理：∴在△ABD中，由正弦定理，在△ADC中，由正弦定理，∵，∴∴在△ADC中，由余弦定理：設(shè)，則

即

解得或在△ABC中，由余弦定理：，∴C是鈍角在△ADC中，∴∴21．（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知