圓錐曲線知識(shí)題型總結(jié)

PAGE1高二選修1圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)及典型例題總結(jié)1.圓錐曲線的定義：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對(duì)值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是A．B．C．D．（2）方程表示的曲線是_____如已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_(kāi)___雙曲線：焦點(diǎn)在軸上：=1，焦點(diǎn)在軸上：＝1（）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_______（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為_(kāi)______拋物線：開(kāi)口向右時(shí)，開(kāi)口向左時(shí)，開(kāi)口向上時(shí)，開(kāi)口向下時(shí)。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定焦點(diǎn)具體位置及開(kāi)口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），④兩個(gè)頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；⑥兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于______（2）雙曲線的離心率為，則= （3）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______；（2）直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______（3）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。如（1）過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有______（2）過(guò)點(diǎn)(0,2)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_____（3）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離7.圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離的計(jì)算方法：（1）已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于____；（2）若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____（3）拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_____8.橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形問(wèn)題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。如（1）短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過(guò)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（3）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)eq\o(PF2,\s\up6(→))·eq\o(PF1,\s\up6(→))<0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 （4）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則＝__________（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9.弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，特別地，拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦用定義轉(zhuǎn)化后求解。過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______10.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_(kāi)______11.常見(jiàn)結(jié)論（1）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)______（2）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程；②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 ③定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 （2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_____(3)一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 ④相關(guān)點(diǎn)法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化