線性系統(tǒng)解耦

耦合：控制量與被控量之間是互相影響、互相關(guān)聯(lián)的，一個控制量的變化同時引起幾個被控制量變化的現(xiàn)象。解耦：消除系統(tǒng)之間的相互耦合，使各系統(tǒng)成為獨立的互不相關(guān)的控制回路。解耦方法：線性系統(tǒng)的解耦減小耦合選擇變量配對調(diào)整控制器參數(shù)減少控制回路消除耦合串聯(lián)補(bǔ)償解耦狀態(tài)反饋解耦10/15/20231串聯(lián)補(bǔ)償解耦法狀態(tài)反饋解耦法對于多輸入多輸出系統(tǒng)，實現(xiàn)解耦的前提條件是輸入變量的個數(shù)和輸出變量的個數(shù)相同。解耦控制設(shè)計的目的是消除輸入輸出的關(guān)聯(lián)耦合作用，實現(xiàn)每一個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入的控制，每一個輸入也僅能控制一個相應(yīng)的輸出。在此將介紹兩種經(jīng)典解耦方法：時域法頻域法10/15/20232設(shè)系統(tǒng)是一個維輸入維輸出的系統(tǒng)，（1）若其傳遞函數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為對角形有理分式矩陣（2）則稱該系統(tǒng)是解耦的。10/15/20233串聯(lián)動態(tài)補(bǔ)償解耦設(shè)耦合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為，要設(shè)計一個傳遞函數(shù)矩陣為的串聯(lián)補(bǔ)償器，使得通過反饋矩陣實現(xiàn)如圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)為解耦系統(tǒng)。-10/15/20234由上圖可以求得解耦系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為其中前向通道傳遞函數(shù)矩陣（3）（4）由式（3）得10/15/20235將上式代入式（4）得這就是串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣。對于單位反饋矩陣，即。此時，解耦系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為（5）10/15/20236此時得到單位反饋串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣為單位反饋解耦系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為由于解耦系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為對角矩陣（6）10/15/20237++++--10/15/2023810/15/20239[評注]串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣還可以由補(bǔ)償原理來確定。為此，首先設(shè)在串聯(lián)補(bǔ)償器的作用下，多輸入-多輸出系統(tǒng)已經(jīng)得以解耦，并且具有要求的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。10/15/202310狀態(tài)反饋解耦設(shè)完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為10/15/202311為非對角線矩陣。其中維狀態(tài)向量維輸入向量維輸出向量10/15/202312選取控制規(guī)律使得如圖所示的狀態(tài)反饋系統(tǒng)++10/15/202313為解耦系統(tǒng)，并要求其傳遞函數(shù)矩陣具有如下形式：（7）10/15/202314其中矩陣為狀態(tài)反饋矩陣，矩陣為輸入變換矩陣（非奇異矩陣），是非負(fù)整數(shù)，其值由式[各元素分母與分子多項式的次數(shù)差]確定。10/15/202315[定理]采用式所示的控制律，實現(xiàn)多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋解耦的充分必要條件是：矩陣10/15/202316為非奇異。其中為了使解耦系統(tǒng)具有式（7）所示的傳遞函數(shù)矩陣，狀態(tài)反饋矩陣及輸入變換矩陣應(yīng)取為：10/15/202317其中矩陣定義為：其中為系統(tǒng)輸出矩陣的行向量。10/15/202318因此，系統(tǒng)的極點全都等于零。因此明此類系統(tǒng)在實際上是不穩(wěn)定的，不便直接應(yīng)用。通常的解決辦法是：對積分型解耦系統(tǒng)進(jìn)一步通過附加狀態(tài)反饋，按照性能指標(biāo)要求將其極點配置到希望的位置上。由于解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的元素全部具有積分環(huán)節(jié)或數(shù)個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式，10/15/202319[例2]已知完全能控的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)其中10/15/202320試確定用以實現(xiàn)積分型解耦的狀態(tài)反饋矩陣和輸入變換矩陣。[解]計算給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣10/15/202321從傳遞函數(shù)矩陣看出，由于10/15/202322均不為零，所以在給定系統(tǒng)中存在著耦合現(xiàn)象。為確定矩陣，需要按照式來計算。10/15/20232310/15/202324其中由此求得10/15/202325由于，故，矩陣為非奇異，滿足給定系統(tǒng)實現(xiàn)積分型解耦的充分必要條件。為確定矩陣，需要計算：10/15/20232610/15/202327由此求得現(xiàn)在計算狀態(tài)反饋矩陣10/15/202328現(xiàn)在計算輸入變換矩陣最后，計算解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣10/15/202329可見，通過所選的狀態(tài)反饋矩陣及輸入變換矩陣，的確能使給定系統(tǒng)實現(xiàn)積分型解耦。10/15/202330[例19]考慮雙容水箱的水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)。泵1泵2水位表2水位表110/15/202331偏差狀態(tài)空間開環(huán)模型：這里對水箱的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改造，兩個水箱的水位偏差均可測量。這就構(gòu)成了一個2輸入2輸出2階線性定常系統(tǒng)。10/15/202332開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：10/15/202333開環(huán)系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)