統(tǒng)計學(xué) 第4章 數(shù)據(jù)的概括性度量

NankaiUniversity1第四章數(shù)據(jù)的概括性度量Contents數(shù)據(jù)集中趨勢的度量1數(shù)據(jù)離散程度的度量2數(shù)據(jù)偏態(tài)與峰態(tài)的度量3NankaiUniversity21.數(shù)據(jù)集中趨勢的度量NankaiUniversity3集中趨勢(centraltendency)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平均數(shù)NankaiUniversity4眾數(shù)眾數(shù)（mode）是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用M0表示。眾數(shù)主要用于測度分類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于作為順序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。一般情況下，只有在數(shù)據(jù)量較大的情況下，眾數(shù)才有意義眾數(shù)是一個位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中極端值的影響。從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點所對應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。眾數(shù)可能不存在，也可能有多個。NankaiUniversity5中位數(shù)中位數(shù)（median）是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，用Me表示。中位數(shù)主要用于測度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于測度數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于分類數(shù)據(jù)。中位數(shù)是一個位置代表值，其特點是不受極端值的影響。NankaiUniversity6計算中位數(shù)時，要先對n個數(shù)據(jù)進行排序，然后確定中位數(shù)的位置，最后確定中位數(shù)的具體數(shù)值。中位數(shù)位置的確定公式為：設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排序x1，x2，……，xn，則中位數(shù)為：NankaiUniversity7四分位數(shù)四分位數(shù)（quartile）也稱四分位點，它是一組數(shù)據(jù)排序后處于25%和75%位置上的值，分別稱為下四分位數(shù)和上四分位數(shù)。計算四分位數(shù)時，首先對數(shù)據(jù)進行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置，該位置上的數(shù)值就是四分位數(shù)。四分位數(shù)位置的確定方法有幾種*，每種方法得到的結(jié)果會有一定差異，但差異不會很大。設(shè)下四分位數(shù)為QL，上四分位數(shù)為QU，根據(jù)四分位數(shù)定義有*一種較為準(zhǔn)確的算法是按照下列公式確定位置：，NankaiUniversity8如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對應(yīng)的值；如果是在0.5的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果是在0.25或0.75的位置上，則四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分?jǐn)偽恢脙蓚?cè)數(shù)值的差值。Q1=第1四分位數(shù)，即第25百分位數(shù)Q2=第2四分位數(shù)，即第50百分位數(shù)Q3=第3四分位數(shù)，即第75百分位數(shù)NankaiUniversity9平均數(shù)平均數(shù)（mean）也稱為均值，它是一組數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)的個數(shù)得到的結(jié)果。平均數(shù)是集中趨勢的最主要測度值，它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不適用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。根據(jù)未經(jīng)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱為簡單平均數(shù)。NankaiUniversity10（總體）（樣本）根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱為加權(quán)平均數(shù)，設(shè)共分成k組，各組組中值分別用M1,M2,…Mk表示，f1,f2,…fk表示各組頻數(shù)，式中n為樣本量。計算加權(quán)平均數(shù)時，用各組的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)，使用這一代表值時是假定各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)是均勻分布的，如果實際數(shù)據(jù)與這一假定相吻合，計算的結(jié)果還是比較準(zhǔn)確的，否則誤差會很大。NankaiUniversity11幾何平均數(shù)（geometricmean）是n個變量值乘積的n次方根，用G表示。計算公式為幾何平均數(shù)是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，它主要用于計算平均比率。當(dāng)變量值本身是比率的形式時，采用幾何平均值計算平均比率更為合理。在實際應(yīng)用中，幾何平均數(shù)主要用于計算現(xiàn)象的平均增長率。當(dāng)所平均的各比率數(shù)值相差不大時，算術(shù)平均和幾何平均的結(jié)果相差不大，否則二者的差別就很明顯。NankaiUniversity12例1：調(diào)查300個人的政黨背景，形成如下數(shù)據(jù)分布結(jié)果，請問眾數(shù)是什么？例2：隨機抽取9個學(xué)生，調(diào)查得到的每位學(xué)生的人均月花銷數(shù)據(jù)如下，請計算眾數(shù)、中位數(shù)、均值。7506008204307501000550680480NankaiUniversity13例3：下面是隨機抽取的5個家庭的收入：135,45625,50032,45654,36537,668請問中位數(shù)和平均值哪個可以更好的作為這組數(shù)據(jù)集中趨勢的代表值？NankaiUniversity14優(yōu)點眾數(shù)不受極端值影響可應(yīng)用于定性數(shù)據(jù)15缺點一組數(shù)據(jù)可能不存在眾數(shù)有時一組數(shù)據(jù)可能會有一個以上的眾數(shù)眾數(shù)的優(yōu)缺點只有在數(shù)據(jù)量較大的情況下，眾數(shù)才有意義，當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時，不宜使用眾數(shù)。眾數(shù)主要適合作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。優(yōu)點中位數(shù)不受極端值的影響16缺點需要對數(shù)據(jù)排序，對大樣本將非常繁瑣中位數(shù)的優(yōu)缺點當(dāng)一組數(shù)據(jù)的分布偏斜程度較大時，考慮使用中位數(shù)。中位數(shù)主要適合作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。優(yōu)點利用了全部數(shù)據(jù)信息一組數(shù)據(jù)只有一個平均數(shù)并且組中每個數(shù)據(jù)的變化都會影響平均數(shù)17缺點平均數(shù)受極端值的影響平均數(shù)的優(yōu)缺點對于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，平均數(shù)的代表性較差，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的分布偏斜程度較大時，考慮使用中位數(shù)或眾數(shù)。平均數(shù)主要適合作為數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值。2.數(shù)據(jù)離散程度的度量NankaiUniversity18數(shù)據(jù)的離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征，反映的是各變量值遠離其中心值的程度。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測度值對該組數(shù)據(jù)的代表性就越差；離散程度越小，其代表性就越好。異眾比率四分位間距極差平均差方差、標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)NankaiUniversity19異眾比率異眾比率（variationratio）是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例，用Vr表示。異眾比率主要適合測度分類數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)然，對