多邊形的內角和 全省一等獎

11.3.2多邊形的內角和第十一章三角形八年級數學上（RJ）11.3多邊形及其內角和情境引入學習目標1.能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式.（重點）2.學會運用多邊形的內角和與外角和公式解決問題.（難點）法國的建筑事務所atelierd將協(xié)調堅固的蜂窩與人類天馬行空的想象力結合，創(chuàng)造了這個“abeillesbeepavilion”.導入新課情景引入思考：你知道正六邊形的內角和是多少嗎？問題2

你知道長方形和正方形的內角和是多少度？

問題1

三角形內角和是多少度？三角形內角和是180°.都是360°.問題3

猜想任意四邊形的內角和是多少度？

講授新課多邊形的內角和一猜想：四邊形ABCD的內角和是360°.問題4

你能用以前學過的知識說明一下你的結論嗎？猜想與證明方法1：如圖，連接AC,所以四邊形被分為兩個三角形，所以四邊形ABCD內角和為180°×2=360°.ABCDABCDE方法2：如圖，在CD邊上任取一點E，連接AE,DE，所以該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內角和為180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.方法3：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成四個三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四邊形ABCD內角和為：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDEABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.所以四邊形ABCD內角和為180°×3－180°=360°.這四種方法都運用了轉化思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已經學了的三角形內角和求解.結論：

四邊形的內角和為360°.例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.解：

如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因為∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.典例精析ACDEBABCDEF問題5

你能仿照求四邊形內角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內角和嗎?內角和為180°×3=540°.內角和為180°×4=720°.n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內角和分割出三角形的個數從多邊形的一頂點引出的對角線條數圖形邊數······0n-31231234n-2（

n-2）·180o1×180o=180o2×180o=360o

3×180o=540o4×180o=720o························由特殊到一般

分割多邊形三角形分割點與多邊形的位置關系頂點邊上內部外部轉化思想總結歸納多邊形的內角和公式n邊形內角和等于(n-2)×180°.例2

一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720°，并且這個多邊形的各內角都相等，這個多邊形的每個內角是多少度？解：設這個多邊形邊數為n，則（n-2）?180=360+720，解得n=8，∵這個多邊形的每個內角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一個內角的度數為1080°÷8=135°．典例精析多邊形的外角和二如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．問題1：任意一個外角和它相鄰的內角有什么關系？問題2：五個外角加上它們分別相鄰的五個內角和是多少？EBCD123

45A互補5×180°=900°EBCD123

45A五邊形外角和=360°=5個平角－五邊形內角和=5×180°－(5－2)×180°結論：五邊形的外角和等于360°.問題3：這五個平角和與五邊形的內角和、外角和有什么關系？在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和n邊形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n個平角-n邊形內角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數無關問題4：回想正多邊形的性質，你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？每個內角的度數是每個外角的度數是練一練：(1)若一個正多邊形的內角是120°,那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個外角都是45°,則這個多邊形是

______邊形.六正八典例精析例4

已知一個多邊形，它的內角和等于外角和的

2倍，求這個多邊形的邊數.解：設多邊形的邊數為n.∵它的內角和等于(n－2)?180°，多邊形外角和等于360°，∴(n－2)?180°=2×360o.解得

n=6.∴這個多邊形的邊數為6.課堂小結多邊形的內角和內角和計算公式(n-2)×180°(n≥3的整數）

外角和多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數無關.正多邊形內角=，外角=當堂練習1.判斷．(1)當多邊形邊數增加時，它的內角和也隨著增加.()(2)當多邊形邊數增加時，它的外角和也隨著增加.()(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等．()2.一個正多邊形的內角和為720°，則這個正多邊形的每一個內角等于______．120°3.如圖所示，小華從點A出發(fā)，沿直線前進10米后左轉24°，再沿直線前進10米，又向左轉24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點A時，走的路程一共是________米．1504.一個多邊形的內角和不可能是（）A.180