完全平方公式 名師獲獎(jiǎng)

14.2.2完全平方公式（一）

baabbaba

圖1

圖2

完全平方公式

一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，圖1—6a

因需要將其邊長(zhǎng)增加b

米。

形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖1—6).

用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積,并進(jìn)行比較.abb直接求：總面積=(a+b)；2間接求：總面積=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你發(fā)現(xiàn)了什么?探索:

2公式:一、創(chuàng)設(shè)情境a2ababb2

探究完全平方公式探究計(jì)算下列各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(p+1)(p+1)=______；(m+2)(m+2)

=________;(p-1)(p-1)=________;(m-2)(m-2)

=________.P2+2p+1m2+4m+4P2-2p+1m2-4m+4

完全平方公式(1)你能用多項(xiàng)式的乘法法則來(lái)說(shuō)明它成立嗎?(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推證

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;

a2?2ab+b2.

（2）小穎寫(xiě)出了如下的算式:(a?b)=[a+(?b)]2

(a?b)2=

她是怎么想的?利用兩數(shù)和的完全平方公式

推證公式

(a?b)2=[a+(?b)]2=

2

+

2

+

2

aa(?b)(?b)=a22ab?b2.+你能繼續(xù)做下去嗎?的證明

二、合作交流你還有其它方法嗎想一想

你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說(shuō)明完全平方公式嗎?baabbaba

圖1

圖2思考:bbaa(a+b)2a2b2abab++和的完全平方公式：完全平方公式的幾何意義aabb(a-b)2a2ababb2bb差的完全平方公式：完全平方公式的幾何意義(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)的積的2倍。（或差）（或減去）口決：首平方，尾平方，首尾二倍放中央。結(jié)構(gòu)特征：(首

±

尾)2

=

首2

±2×首×尾

+尾2完全平方公式平方項(xiàng)都得正，積的符號(hào)首尾定。代數(shù)式首尾中間符號(hào)完全平方公式(a+3)2()2__2()()+()2(y-1/2)2()2__2()()+()2(-2s+t)2()2__2()()+()2(-3x-4y)2()2__2()()+()2-++-結(jié)論*首尾平方總得正；

**中間符號(hào)看首尾，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)

***中間兩倍

要記牢a3y-2st-3x4ya3a+3yy--2s-2stt+-3x-3x4y4y-例1、運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2解：(x-2y)2==x2(2)(x-2y)2(a-b)2=a2-2ab+b2x2-2?x?2y+(2y)2-4xy+4y2(1)1022解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)992解：992=(100–1)2=10000-200+1=9801

例2、運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：1.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)(x+6)2;(2)(y-5)2;(3)(-2x+5)2;(4)(x-y)2.

2.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)9.9；(2)201.基礎(chǔ)練習(xí):思考

(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?

為什么?

下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想:計(jì)算：六、你會(huì)了嗎一般選用和的完全平方公式；2.(-2a+3b)2=3.(-2a-3b)2=一般選用差的完全平方公式。當(dāng)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，1.(3x+7y)2=方法：當(dāng)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相反時(shí)，八、錯(cuò)題解讀

下列等式是否成立?說(shuō)明理由．(1)(

4a+1)2=(1?4a)2；(2)(

4a?1)2=(4a+1)2；(3)(4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2；(4)(4a?1)(

1?4a)＝(4a?1)(4a+1).(1)

由加法交換律

4a+l＝l?4a。成立理由:(2)

∵

4a?1＝

(4a+1)，成立∴(

4a?1)2＝[

(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3)

∵(1?4a)＝?(

1+4a)不成立．即(1?4a)＝

(4a?1)＝

(4a?1)，∴(4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[

(4a?1)]＝

(4a?1)(4a?1)＝

(4a?1)2。

不成立．(4)

右邊應(yīng)為:

(4a?1)(4a+1)。拓展練習(xí):1.=_______;2.若是一個(gè)完全平方公式,則_______;3.若是一個(gè)完全平方公式,則_______;1例3.

若求4.請(qǐng)?zhí)砑右豁?xiàng)________，使得是完全平方式.5.已知(a+b)2=a2+2ab+b2.(a?b)2=a2?2ab+b2

.aabba2ababb2結(jié)構(gòu)特征:左邊是的平方;二項(xiàng)式右邊是a2

兩數(shù)和)(差)(a+b)2=a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2a2+2ab+b2兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.(a?b)2=a2?2ab+b2幾何解釋:用自己的語(yǔ)言敘述上面的公式語(yǔ)言表述:兩數(shù)和的平方

等于這兩數(shù)的平方和

加上這兩數(shù)乘積的兩倍.(差)(減去)三、總結(jié)歸納4.若求5.已知我們來(lái)計(jì)算(a+b)2,(a-b)2.(a+b