專(zhuān)題51均值不等式及其應(yīng)用歸類(lèi)（講練）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）（原卷版）

專(zhuān)題5-1均值不等式及其應(yīng)用歸類(lèi)目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 2【題型一】公式應(yīng)用及限制條件 2【題型二】構(gòu)造“公式型” 3【題型三】“1”的代換 4【題型四】“積”與“和”混合型 4【題型五】構(gòu)造分母代換型 5【題型七】分離常數(shù)消去型 5【題型八】消去型 6【題型九】多次均值 6【題型十】多元均值 7【題型十一】權(quán)方和不等式 7【題型十二】萬(wàn)能“k”法 8【題型十三】整體換元 8【題型十四】均值應(yīng)用：恒成立 9練題訓(xùn)練 9講高考1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（陜西·高考真題）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．（·天津·高考真題）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A． B． C． D．題型全歸納綜述1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.(3)基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式鏈：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；【題型一】公式應(yīng)用及限制條件【講題型】例題1.下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．例題2.若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【講技巧】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【練題型】1.下列不等式的證明過(guò)程正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且，則2.給出下列條件：①；②；③，；④，.其中能使成立的條件有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【題型二】構(gòu)造“公式型”【講題型】例題1.若x>1，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題2.）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【練題型】1.設(shè)，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．2.已知且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型三】“1”的代換【講題型】例題1.已知，，，則的最小值是（

）A．2 B．8 C．4 D．6例題2.已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【練題型】1.若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．【題型四】“積”與“和”混合型【講題型】例題1.已知，，且滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．例題2.若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【講技巧】1.形如求型，2.形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【練題型】1.若，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．2.已知a，b是正實(shí)數(shù)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【題型五】構(gòu)造分母代換型【講題型】例題1.若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．例題2.若正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【練題型】1.若，，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．2.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【題型七】分離常數(shù)消去型【講題型】例題1.已知，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例題2.已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【練題型】1.已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．32.已知，則的最小值為（

）A．3 B．2C．4 D．1【題型八】消去型【講題型】例題1.已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則最小值是__________．例題2.已知，且，則的最小值是（）A. B. C. D.【練題型】1.已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.已知正數(shù)a和b滿(mǎn)足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型九】多次均值【講題型】例題1.已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．6例題2.已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【練題型】1.設(shè)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【題型十】多元均值【講題型】例題1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．例題2.已知P是面積為1的△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），若△PAB，△PAC，△PBC的面積分別為x，y，z，則的最小值是（

）A． B． C． D．3【練題型】1.若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于22.設(shè)為中的三邊長(zhǎng)，且，則的取值范圍是（）A．B．C． D．【題型十一】權(quán)方和不等式【講題型】例題1.若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7例題2.已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【講技巧】權(quán)方和不等式：設(shè)證明：【練題型】1.已知實(shí)數(shù)m,n∈(0,+∞)且m+n2.已知，則的最小值為（）A． B． C． D．【題型十二】萬(wàn)能“k”法【講題型】例題1..已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________．例題2.已知，，，則的最小值為A． B． C． D．4【練題型】1.已知，若，則的最小值是（）A. B. C. D.2.已知x+y=1x+4A．53B．9C．4+26D【題型十三】整體換元【講題型】例題1.若a,b∈R，且a例題2.若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【練題型】1.已知，且，則的取值范圍是A． B． C． D．2.已知正實(shí)數(shù)，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型十四】均值應(yīng)用：恒成立【講題型】例題1.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．例題2.正數(shù)，滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)______.（填一個(gè)滿(mǎn)足條件的值即可）【練題型】1.數(shù)列中，，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.2.設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．一、單選題1．已知，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．102．若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．164．若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．6 C．3 D．125．已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．6．設(shè)，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最大值為 D．有最大值為7．若，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題9．在下列函數(shù)中，最小值是的函數(shù)有（

）A． B．C． D．10．若a，b均為正數(shù)，且滿(mǎn)足，則（

）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值是6 D．的最小值為11．