七年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)練習(xí)專題5.2 平行線的性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

第頁專題5.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】 1【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】 5【題型3平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】 10【題型4平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】 12【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】 18【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】 24【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】 35【題型8平行線的性質(zhì)（折疊問題）】 40【題型9平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】 46【題型10平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】 51【知識點(diǎn)平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】【例1】（2022·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且DG∥(1)求證：DB∥(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；（2）先求出∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解．（1）證明：∵DG∥∴∠1＝∠DBC．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，∴DB∥（2）∵EF⊥AC，∴∠CEF＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∵DG∥∴∠ADG＝∠C＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心七年級期末）已知：如圖，AE⊥BC,FG⊥BC，(1)求證：AB∥(2)求∠C的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)∠C=30°【分析】（1）先證明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再證明（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把（1）證明：∵AE⊥BC，∴AE∥∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，∴∠CEA=∠EAB，∴AB∥（2）解：由（1）得，AB∥∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，掌握“平行線的判定與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.【變式1-2】（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校七年級期中）如圖，△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于D，點(diǎn)F在BA的延長線上，點(diǎn)E在線段CD上，EF與AC相交于點(diǎn)G，且∠BDA(1)求證：AD∥EF；(2)若點(diǎn)H在FE的延長線上，且∠EDH＝∠C，則∠F與∠H相等嗎？請說明理由．【答案】(1)見詳解(2)∠F【分析】（1）根據(jù)∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF（2）根據(jù)∠EDH=∠C，可得DH∥AC，繼而得到∠H=∠EGC，由對頂角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得（1）證明：∵∠BDA+∠CEG∴∠BDA∴AD∥EF．（2）解：∠F∵∠EDH∴DH∥AC，∴∠H∵∠AGF∴∠H∵AD∥EF，∴∠DAG=∠AGF又∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠DAG∴∠F【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握并應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學(xué)三模）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求證：EF∥AD；(2)求證：∠BAC+∠AGD=180°．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根據(jù)平行線的判定得出EF∥AD；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根據(jù)平行線的判定得出DG∥BA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定義），∴∠EFB=∠ADB（等量代換），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行）；（2）證明：∵EF∥AD，∴∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BAD（等量代換），∴DG∥BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級期中）如圖，∠1=∠2，求證：∠B=∠C．（請把下面證明過程補(bǔ)充完整）證明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代換）∴_____∥CD∴∠B=∠C（____________）【答案】對頂角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；BFD；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】先利用對頂角的性質(zhì)證明∠2=∠3，再證明AE∥FD，可證明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再證明【詳解】證明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（對頂角相等）∴∠2=∠3（等量代換）∴AE∥∴∠A=∠BFD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代換）∴AB∥∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）【點(diǎn)睛】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練的利用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀并完成下面的證明過程：已知：如圖，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，求證：BE⊥CE．證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=∠2=________=1又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ECD（

）∴EF∥CD（又∵AB∥EF（已知）∴________________（

）∴∠ABC+∠BCD=180°（

）∴∠ABE+∠2=1又∵AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF（

）∴∠BEF+∠1=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE（

）【答案】∠ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AB∥CD；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直定義．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行線的判定以及垂直的定義進(jìn)行分析即可解答．【詳解】證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=∠2=∠ECD=1又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ECD（等量代換）∴EF∥又∵AB∥EF（已知）∴AB∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）∴∠ABC+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠ABE+∠2=1又∵AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠BEF+∠1=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE（垂直定義）．故答案為：∠ECD；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AB∥CD；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直定義．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級期中）完成下面證明過程并寫出推理根據(jù)：已知：如圖所示，∠BAP與∠APD互補(bǔ)，求證：∠E證明：∵∠BAP與∠即∠BAP∴____________∥_____________（_____________________），∴∠BAP又∵∠1=∠∴∠BAP即∠3=∠4，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠E【答案】AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AE；FP；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形完成填空即可求解．【詳解】∵∠BAP與∠即∠BAP∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠BAP又∵∠1=∠∴∠BAP即∠3=∠4，∴AE∥FP（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠E故答案為：AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AE；FP；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校七年級期中）推理填空：完成下面的證明過程.如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求證：.DE∥BC證明：∵∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）

∴∠1+∠3=180°∴______∥______（_____________________________）∴∠B=______（________________________________）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF=_______（_______________________）∴DE∥BC（）【答案】已知；對頂角相等；AB；EF；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠EFC；兩直線平行，同位角相等；∠EFC；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，則∠1＋∠3＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到AB∥EF，則利用平行線的性質(zhì)得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根據(jù)平行線的判定得到DE∥BC.【詳解】證明：∵∠1＋∠2＝180°（已知）∠2＝∠3（對頂角相等）

∴∠1＋∠3＝180°∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等）∵∠B＝∠DEF（已知）∴∠DEF＝∠EFC（等量代換）∴DE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【題型3平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】【例3】（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期末）如圖，含有30°角的直角三角板的兩個頂點(diǎn)E、F放在一個長方形的對邊上，點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，∠EFG=30°，延長EG交CD于點(diǎn)P，如果∠3=65°，那么∠2的度數(shù)是（

）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠1=25°，根據(jù)平角的定義得到∠AEF=90°-∠1=65°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠D=90°，∠3=65°，∴∠1=25°，∵∠FEG=90°，∴∠AEF=90°-∠1=65°，∵AD∥BC，∴∠2=180°-∠AEF=115°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出∠AEF與∠2互補(bǔ)．【變式3-1】（2022·浙江·金華市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正確的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答．【詳解】解：∵紙條的兩邊平行，∴（1）∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；（4）∠4+∠5=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）均正確；又∵直角三角板與紙條下線相交的角為90°，∴（3）∠2+∠4=90°，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·山東青島·七年級期中）將一塊直角三角板ABC按如圖方式放置，其中∠ABC=30°，A，B兩點(diǎn)分別落在直線m、n上，∠1=20°，添加下列哪一個條件可使直線m∥n（A．∠2=20° B．∠2=30° C．∠2=45° D．∠2=50°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】解：由平行線的判定可知，當(dāng)∠2＝∠ABC＋∠1時，m∥即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·河南南陽·二模）小明把一副三角板按如圖所示方式擺放，直角邊CD與直角邊AB相交于點(diǎn)F，斜邊DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，則∠CFB的度數(shù)是（A．95° B．115° C．105° D．125°【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠D=45°，再由平行線的性質(zhì)得出∠BCF=45°，再由三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】∵ΔCDE是直角三角形，∠∴∠D=45°，∵DE∥∴∠BCF=∠D=45°，∵∠B+∠BCF+∠BFC=180°,∠B=30°，∴∠CFB=105°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型4平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】【例4】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54A．103°6′ B．104°6′ C．【答案】C【分析】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個銳角為∠4，根據(jù)等腰三角板的特點(diǎn)可求出∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠5，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出∠3，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出∠2．【詳解】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個銳角為∠4，如圖，∵直角三角板含一個45°的銳角，∴該三角板為等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a∥∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·山西晉中·七年級期末）用一塊含60°角的直角三角板和一把直尺按圖中所示的方式放置，其中直尺的直角頂點(diǎn)與三角板的60°角頂點(diǎn)重合，直尺兩邊分別與三角板的兩條直角邊相交，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（

）A．25° B．22.5° C．20° D．15°【答案】C【分析】如圖，根據(jù)題意得到∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC=40°，再根據(jù)平行的性質(zhì)求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．【詳解】解：如圖，由題意得∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．∵∠C=90°，∠1=50°，∴∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，∵AB∥DE，∴∠CDE=∠CBA=40°，∵∠CDF=60°∴∠2=∠CDF-∠CDE=20°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟知兩個定理并理解題意得到已知條件是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的是_______．【答案】①②③④【分析】①由題意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定GE∥MP；②由題意得∠EFG=30°，利用鄰補(bǔ)角即可求出∠EFN的度數(shù)；③過點(diǎn)F作FH⊥AB，可得FH∥CD，從而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行線的性質(zhì)即可求出【詳解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，∴GE∥故①正確；②∵∠EFG=30°，∴∠EFN=180°?30°=150°，故②正確；③過點(diǎn)F作EH∥∵AB∥∴FH∥∴∠HFN=∠MNP=45°，∴∠EFN=150°?45°=105°，∵FH∥∴∠BEF=180°?105°=75°；故③正確；④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，∴∠AEG=180°?60°?75°=45°，∴∠AEG=∠PMN=45°，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．【變式4-3】（2022·山東淄博·期末）如圖所示，將一直角三角板放在AB，CD兩條平行線之間：(1)圖甲中，容易求得∠1+∠2=90°，請直接寫出圖乙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系；(2)請問圖丙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系是什么？并加以說明；(3)請直接寫出圖丁中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠1＋∠2＝270°(2)∠2－∠1＝90°；見解析(3)∠1＝∠2＋90°【分析】（1）過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得（2）過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，平角互補(bǔ)，即可得（3）過點(diǎn)O作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD，據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得（1）如圖，過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°又∵∠3+∠4=90°∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∴∠1+∠2=360°?90°=270°∴∠1+∠2=270°．（2）如圖，過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°又∵∠3+∠4=90°∴∠1+180°?∠2=90°∴∠2?∠1=90°．（3）如圖，過點(diǎn)O作AB的平行線MN，得AB∴∠MOC=∠2∴∠1=90°+∠MOC∴∠1=90°+∠2．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平角互補(bǔ)．【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】【例5】（2022·黑龍江鶴崗·七年級期末）如圖①，AB∥CD，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，若BM⊥MC，則易證∠ABM與∠DCM互余．(1)如圖②，AB∥CD．點(diǎn)M在射線EA上運(yùn)動，猜想點(diǎn)M在點(diǎn)A和D之間時，∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線EA的其它位置上時（不與點(diǎn)E，A，D重合）請直接寫出∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由見解析(2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM．【分析】（1）過M作MF∥AB，交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCM=∠FMC，可得∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時；進(jìn)行討論可求∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：如圖，過M作MF∥AB，交BC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時，如圖3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時，如圖4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)建平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答．解題時注意分類思想的運(yùn)用．【變式5-1】（2022·遼寧·興城市第二初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如圖1，求證：MN∥PQ；(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AG∥CH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）【答案】(1)見解析(2)∠CFB?∠BEG=90°，證明見解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）過C作CE∥MN，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過B作BR∥AG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代換即可得到結(jié)論；（3）過E作ES∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根據(jù)角平分線的定義得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．（1）解：如圖，過C作CE∥MN，∴∠1=∠MAC，∵∠2=∠ACB-∠1，∴∠2=∠ACB-∠MAC，∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，∴∠2=∠CBP，∴CE∥PQ，∴MN∥PQ；（2）如圖，過B作BR∥AG，∵AG∥CH，∴BR∥HF，∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∵∠EBF=90°，∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∴∠CFB-∠BEG=90°；（3）如圖，過E作ES∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，∴ES∥PQ，∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∵BD和AE分別平分∠CBP和∠CAN，∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∴∠CAE=∠AES，∵∠EBD=90°，∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠QBE=∠EBC，∴∠EBC=∠BES，∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∵∠ACB=80°，∴∠AEB=140°，∴∠BEG=40°，∵∠CFB-∠BEG=90°，∴∠CFB=130°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠NBG+∠1?∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠（2）過B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到AN∥（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據(jù)已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結(jié)論．（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥（2）解：∠NBG?∠ANB+∠1=180°；理由如下：過B作BP∥AN交NG于∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥又∵CM∥DH，∴BP∥∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG?∠NBP=∠NBG?∠ANB，∴∠NBG?∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·湖北·潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級中學(xué)七年級期中）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點(diǎn)A、E．點(diǎn)F是直線AE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點(diǎn)P．(1)若點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F是直線AE上一動點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合)，請寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)45°(2)當(dāng)F點(diǎn)在A點(diǎn)上方時，∠BPE＝12∠AFB，當(dāng)F點(diǎn)在A點(diǎn)下方時，∠BPE＝90°﹣12【分析】（1）過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，由平行線的性質(zhì)得∠ABP+∠CEP＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFE，再由垂直定義和角平分線定義求得結(jié)果；（2）分三種情況：點(diǎn)F在EA的延長線上時，點(diǎn)F在線段AE上時，點(diǎn)F在AE的延長線上時，分別進(jìn)行探究便可．（1）解：過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BF⊥AE，∴∠ABF+∠CEF＝∠BFE＝90°，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝12（∠ABF+∠CEF∴∠BPE＝45°；（2）①當(dāng)點(diǎn)F在EA的延長線上時，∠BPE＝12∠AFB如備用圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠CEP﹣∠ABP＝∠EPQ﹣∠BPQ＝∠BPE，∠CEF﹣∠ABF＝∠EFH﹣∠BFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP﹣∠ABP＝12（∠CEF﹣∠ABF）＝12∠BFE＝∠∴∠BPE＝12∠AFB②當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上（不與A點(diǎn)重合）時，∠BPE＝90°﹣12∠AFB如備用圖2，過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝12（∠ABF+∠CEF∴∠BPE＝12∠∴∠BFE＝180°﹣∠AFB，∴∠BPE＝90°﹣12∠AFB③當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長線上時，∠BPE＝90°﹣12∠AFB過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，180°﹣∠ABF＝∠BFH，∠AEC＝∠EFH，∴∠CEP+∠ABP＝∠EPQ+∠BPQ＝∠BPE，∠BFH﹣∠EFH＝180°﹣∠ABF﹣∠AEC＝∠AFB，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP+∠ABP＝12（∠AEC+∠ABF）＝12（180°﹣∠∴∠BPE＝90°﹣12∠AFB綜上，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)上方時，∠BPE＝12∠AFB，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)下方時，∠BPE＝90°﹣12∠【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的性質(zhì)，在相交線問題中通常作平行線利用平行線的性質(zhì)解答，將角度轉(zhuǎn)化由此求出答案．解題中運(yùn)用分類思想解答問題．【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年級期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．(1)如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝°，∠3＝°．(2)請你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請求出∠3，若不是定值，請說明理由．(3)如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)100；90；(2)90°(3)2α+β=180°【分析】（1）根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定義得∠5=80°，然后利用平行線的性質(zhì)計(jì)算出∠2=100°，則∠6=40°，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠3；（2）當(dāng)∠3=90°時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠4+∠6=90°，則2∠4+2∠6=180°，利用平角的定義得到∠2+∠5=180°，然后根據(jù)平行線的判定得到m∥n；（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根據(jù)∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．（1）解：如圖：∵∠1=∠4=50°，∴∠5=180°-2×50°=80°，∵m∥n∴∠2+∠5=180°，∴∠2=100°，∴∠6=12∴∠3=180°-∠4-∠6=90°；故答案為：100，90；（2）當(dāng)∠3=90°時，m∥n理由如下：∵∠3=90°，∴∠4+∠6=90°，∴2∠4+2∠6=180°，∴∠2+∠5=180°，∴m∥n；（3）解：如圖3，由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，∵∠2+∠3=180°-∠α，∴∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，∴α與β的數(shù)量關(guān)系為：2α+β=180°，故答案為：2α+β=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題時注意：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式6-1】（2022·河北保定·七年級階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB,CD上，H為直線CD下方一點(diǎn)．(1)如圖1，MH和NH相交于點(diǎn)H，求證：∠MHN=∠AMH?∠CNH．（溫馨提示：可過點(diǎn)H作AB的平行線）(2)延長HN至點(diǎn)G，∠BMH的平分線ME和∠GND的平分線NE相交于點(diǎn)E，HM與CD相交于點(diǎn)F．①如圖2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N左側(cè)時，若∠BME的度數(shù)為x°，∠END的度數(shù)為y°，且x+y的值是一個定值，請問∠MHN的度數(shù)是否會隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，求出∠MHN的度數(shù)；若變化，請說明理由．③如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F左側(cè)時，②中其他條件不變，請問∠MHN的度數(shù)是否會隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，直接寫出∠MHN的度數(shù)；若變化，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①20°；②不變，180°?2(x°+y°)；③不變，2(x°+y°)?180°【分析】（1）過點(diǎn)H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，從而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求證；（2）①根據(jù)∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，從而得到∠AMH=180°?∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH?∠CNH，即可求解；②根據(jù)題意可得∠AMH=180°?2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH?∠CNH，即可求解；③過點(diǎn)H作OH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得∠MHN=∠OHM?∠OHN=∠BMH?∠DNH．從而得到∠MHN=2x°+2y°?180°=2(x°+y°)?180°，即可求解．（1）證明：如圖，過點(diǎn)H作HQ∥AB．∵HQ∥AB且AB∥CD，∴HQ∥CD，∴∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，∴∠MHN=∠MHQ?∠NHQ=∠AMH?∠CNH；（2）解：①M(fèi)E平分∠BMH,∠BME=50°，∴∠BMH=100°，∵NE平分∠DNG，∠DNE=30°，∴∠GND=60°，∴∠AMH=180°?∠BMH=80°，∠CNH=60°．由（1）可知：∠MHN=∠AMH?∠CNH=80°?60°=20°．∴∠MHN=20°；②∵M(jìn)E平分∠BMH，∠BME=x°，∴∠BMH=2x°，∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∴∠GND=2y°，∴∠AMH=180°?2x°，∠CNH=2y°，∴∠MHN=180°?2x°?2y°=180°?2(x°+y°)．∵x+y為一個定值，∴∠MHN不會隨x的變化而發(fā)生改變，度數(shù)為180°?2(x°+y°)；③不變，∠MHN的度數(shù)為2(x°+y°)?180°．理由如下：如圖，過點(diǎn)H作OH∥AB，∴∠BMH=∠OHM，∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠DNH=∠OHN，∴∠MHN=∠OHM?∠OHN=∠BMH?∠DNH．∵M(jìn)E平分∠BMH,∠BME=x°，∴∠BMH=2x°∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∴∠GND=2y°，∴∠DNH=180°?2y°，∴∠MHN=2x°?(180°?2y°)，∴∠MHN=2x°+2y°?180°=2(x°+y°)?180°．∵x+y為一個定值，∴∠MHN不會隨x的變化而改變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖1，點(diǎn)A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點(diǎn)B，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接DE，∠1+∠2=90°．(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠F為定值，∠F=135°，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)E作EG∥BM，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解．（2）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出∠BAD+∠CDA=180°，再將各個角代入計(jì)算，得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∠5=∠2，即可求解．（3）過點(diǎn)F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，所以∠α+∠β=12（1）證明：如圖1，過點(diǎn)E作EG∥BM，則∠1=∠3，∵BM∥CN，∴EG∥CN，∴∠4=∠2，∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠1，∵BM∥CN，∴∠BAD+∠CDA=180°，∴2∠1+∠CDA，=2∠1+∠2+∠5=180°，=(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠5=∠2，∴DE平分∠ADC．（3）∠F為定值．證明：如圖2，過點(diǎn)F作FH∥BM，設(shè)∠AFH=α，∠DFH=β，∵BM∥CN，∴FH∥CN，∴∠α+∠β=∠6+∠7，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠α+∠β=12(180°?∠1)+12(180°?∠2)=180°?12(∠1+∠2)=180°?45°=135°，∴∠F=∠α+∠β【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質(zhì)及角的和差計(jì)算等知識點(diǎn)．【變式6-3】（2022·天津河?xùn)|·七年級期中）直線MN與直線AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，∠MEB與∠CFM互補(bǔ)(1)如圖1，試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的平分線交于點(diǎn)P，EP的延長線與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求證：∠HPQ的大小是定值．【答案】(1)平行；理由見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行，即可判斷直線AB與直線CD平行；（2）先根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再根據(jù)∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，可得∠EPF=90°，進(jìn)而證明PF∥GH；（3）根據(jù)角平分線定義，及角的和差計(jì)算即可求得∠HPQ的度數(shù)．（1）解：結(jié)論：AB∥CD；理由如下：∵∠MEB與∠CFM互補(bǔ)，∠MEB=∠AEF，∴∠AEF與∠CFM互補(bǔ)，∴AB∥CD．（2）∵EG平分∠BEF，∴∠PEF=12∠BEF又∵FP平分∠EFD，∴∠EFP=12∠EFD由（1）知AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠PEF+∠EFP=90°，∴∠EPF=90°，又∵GH⊥EG，∴∠HGP=90°，∴∠EPF=∠HGP，∴PF∥GH．（3）證明：∵FP∥HG，∴∠FPH=∠PHK，∵∠PHK=∠HPK，∴∠FPH=∠HPK，∴∠HPK=1∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=1∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=12∠EPK-12=12（∠EPK-∠FPK=12∠=12=45°即∠HPQ的大小是定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、余角和補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角．【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】【例7】（2022·遼寧·鞍山市第十四中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，已知AB//CD，若按圖中規(guī)律繼續(xù)劃分下去，則∠1+∠2+?+∠n等于（

）A．n?1800 B．2n?1800 C．【答案】C【分析】根據(jù)第1個圖形∠1+∠2=180°，第2個圖形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3個圖形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；（2）過點(diǎn)E作一條直線EF平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）過點(diǎn)E、F作EM、FN平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-1）條輔助線，運(yùn)用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個角的和是180°（n-1）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出圖中變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·湖南·邵陽市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分別平分∠BAC1和∠ABC1；A．90?902n B．180?902n?1【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，求得∠C1,∠【詳解】∵AE∴∠EAB+∠ABF=180°∵AC1，BC1分別平分∴∠A=180°?=180°?90°=90°∠=180°?=180°?=180°?45°=180°?∴∠同理可得∠∠……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·山東·臨沂第六中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖（1）（2）（3）中，都滿足AB∥CD．試求：（1）圖（1）中∠A＋∠C的度數(shù)，并說明理由．（2）圖（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度數(shù)，并說明理由．（3）圖（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度數(shù)，并簡要說明理由．（4）按上述規(guī)律，∠A＋……＋∠C（共有n個角相加）的和為【答案】（1）180°，理由見解析；（2）360°，理由見解析；（3）540°，理由見解析；（4）180°（n-1）【分析】（1）據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠A+∠C=180°；（2）沿P作一條平行AB、CD的平行線PM，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；（3）根據(jù)第二題，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上規(guī)律，有兩個角時，和為180°；有三個角時和為360°；有四個角時和為540°…故可得有n個角時，和為180°（n-1）．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；（2）過點(diǎn)P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM，∴CD∥PM∥AB，∴∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，∴∠A+∠APC+∠C=360°；（3）分別過點(diǎn)E、F作EM、FN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EM∥FN∥CD，∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上規(guī)律，有兩個角時，和為180°；有三個角時和為360°；有四個角時和為540°…故可得有n個角時，和為180°（n-1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，并考查學(xué)生通過計(jì)算總結(jié)規(guī)律的能力，是一道好題．【變式7-3】（2022·浙江·七年級階段練習(xí)）閱讀并探究下列問題.（1）如圖①，將長方形紙片剪兩刀，其中AB∥CD，則∠2與∠1、∠3有何關(guān)系？請進(jìn)行證明.（2）如圖②，將長方形紙片剪四刀，其中AB∥CD，則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的關(guān)系為.（3）如圖③，將長方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出個角.若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為.（4）如圖④，直線AB∥CD，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°2x+y?102+x+y?72=0【答案】（1）∠1+∠3=∠2，證明見解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．【分析】（1）過E點(diǎn)作EF∥AB，則EF∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；（2）分別過E、G、F分別作EM∥AB，GN∥AB，F(xiàn)P∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同（1）一樣易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）綜合（1）（2）易得開口向左的角的度數(shù)的和等于開口向右的角的度數(shù)的和．（4）利用（3）的結(jié)論得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易計(jì)算出∠GHM．【詳解】（1）∠1+∠3=∠2，理由如下：如下圖①，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，∴∠1+∠3=∠AEF+∠CEF=∠AEC，（2）如上圖②，分別過E、G、F分別作EM∥AB，GN∥AB，F(xiàn)P∥AB，同（1）的證明方法一樣可得：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，故答案為∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）規(guī)律：將長方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出2017個角．若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．故答案為2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）由，|2x+y-102|+x+y?72=0，得x=30°，y=42°，在題圖④中，由（3）的結(jié)論得，∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，∴30°+∠GHM+42°=90°+30°，∴∠GHM=48°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意規(guī)律：開口向左的角的度數(shù)的和等于開口向右的角的度數(shù)的和．【題型8平行線的性質(zhì)（折疊問題）】【例8】（2022·江西贛州·七年級期末）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)知識背景我們在七年級上冊第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理．七年級下冊第五章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)﹣﹣長方形紙條的折疊與平行線．知識初探(1)如圖1，長方形紙條ABGH中，AB∥GH,AH∥BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，將長方形紙條沿直線CD折上，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)B落在B'處，B'C交AH于點(diǎn)E，若∠ECG＝70°，則∠CDE＝；類比再探(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠HEC對折，點(diǎn)H落在直線EC上的H'處，點(diǎn)G落在G'處得到折痕EF，則折痕EF與CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)G'作BG的平行線MN，請你猜想∠ECF和∠H'G'M的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)55°(2)EF∥CD，理由見解析(3)∠ECF+∠H【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCD=∠ECD，再根據(jù)平角的定義可得∠BCD=55°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCD=∠ECD=12∠BCE，∠HEF=∠CEF=12（3）過點(diǎn)H′作H′O∥MN于O，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠H′G′M=∠OH（1）解：由折疊的性質(zhì)得：∠BCD=∠ECD，∵∠ECG=70°，∠ECG+∠BCD+∠ECD=180°，∴∠BCD=∠ECD=180°?70°∵AH∥BG，∴∠CDE=∠BCD=55°，故答案為：55°．（2）解：EF∥CD，理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠BCD=∠ECD=12∠BCE∵AH∥BG，∴∠BCE=∠HEC，∴∠ECD=∠CEF，∴EF∥CD．（3）解：∠ECF+∠H如圖，過點(diǎn)H′作H′O∥MN∴∠H又∵M(jìn)N∥BG，∴H∴∠ECF=∠EH由折疊的性質(zhì)得：∠EH∴∠EH∴∠ECF+∠H【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行公理推論等知識點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·河南周口·七年級期中）如圖，已知四邊形紙片ABCD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E在AD邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為CE．（1）試判定AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果∠A=100°，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）AB//EF；（2）50°．【分析】（1）根據(jù)方式折疊可得∠BFE=90°，結(jié)合∠B=90°，利用同位角相等兩直線平行即可得證；（2）由EF與EF//AB平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠DEF=∠A=100°，由折疊得到∠DEC=∠FEC，即可求出∠DEC的度數(shù)．【詳解】解：（1）AB//EF，理由為：∵∠D=∠EFC，∠B=∠D=90°，∴∠FEC=∠B，AB//EF；（2）∵EF//AB，∴∠DEF=∠A=100°，∵∠DEC=∠FEC，∴∠DEC=1【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的基礎(chǔ)，由折疊的性質(zhì)得出∠D=∠EFC是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·河北保定·七年級期末）學(xué)習(xí)了平行線以后，小明想出了用紙折平行線的方法，他將一張如圖1所示的紙片，其中AD//BC，先按如圖2所示的方法折疊，折痕為MN；（MC′與AD相交于點(diǎn)P）然后按如圖3的方法折疊，折痕為PQ（（1）在圖2的折疊過程中，若∠1=130°，求∠2的度數(shù)（2）如圖3，小明認(rèn)為在折疊過程中，產(chǎn)生的折痕MN與PQ平行，請把小明的思考步驟補(bǔ)充完整．由折疊可知，∠C∠A∵AB∴∠APA′=∠CMC′∴②＝③（等量代換）∴PQ//【答案】（1）25°；（2）①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；②∠A′【分析】（1）根據(jù)折疊、平行和互補(bǔ)的性質(zhì)可以得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行解答．【詳解】解：（1）∵∠1=130°，∴∠C由折疊可知∠C'MN=∠CMN=1∵AD∥BC，∴∠2=∠CMN=25°．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（2）由折疊可知，∠C∠A∵AB∴∠APA∴∠A′PQ∴PQ//故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；②∠A′PQ【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)以及折疊的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·廣東佛山·七年級期末）某公司技術(shù)人員用“沿直線AB折疊檢驗(yàn)塑膠帶兩條邊緣線a、b是否互相平行”．（1）如圖1，測得∠1=∠2，可判定a∥b嗎？請說明理由；（2）如圖2，測得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b嗎？請說明理由；（3）如圖3，若要使a∥b，則∠1與∠2應(yīng)該滿足什么關(guān)系式？請說明理由．【答案】（1）a∥b（2）能（3）∠1+2∠2=180°【分析】（1）根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）求出∠1和∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的判定推出即可；（3）根據(jù)折疊得出∠3=∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+∠3+∠4=180°，∠2=∠4，即可得出答案．【詳解】（1）a∥b，理由是：∵∠1=∠2，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）能，理由是：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠2=90°，∠3=∠4=90°，∴∠1=∠4，∴a∥b；（3）∠1+2∠2=180°，理由是：根據(jù)折疊得：∠3=∠4，∵a∥b，∴∠1+∠3+∠4=180°，∠2=∠4，∴∠1+2∠2=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【題型9平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】【例9】（2022·黑龍江·大慶市第五十一中學(xué)七年級期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，在與原方向相反的方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應(yīng)為（

）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°【答案】B【詳解】A.如圖：∵∠1=38°,∠2=142°，∴∠3=180°?∠2=38°，∴∠4=∠1+∠3=76°≠∠1，∴AB與CD不平行；故本選項(xiàng)錯誤；B.如圖：∵∠1=∠2=38°，∴AB∥CD，且方向相同；故本選項(xiàng)正確；C.如圖：∵∠2=142°，∴∠3=180°?∠2=38°，∵∠1=38°，∴∠1=∠2，∴AB∥CD，但方向相反；故本選項(xiàng)錯誤；D.如圖：∵∠2=40°，∴∠3=180°?∠2=140°≠∠1，∴AB與CD不平行，故本選項(xiàng)錯誤.故選：B.【變式9-1】（2022·河北唐山·七年級期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【答案】B【分析】兩次拐彎后，行駛方向與原來相同，說明兩次拐彎后的方向是平行的．對題中的四個選項(xiàng)提供的條件，運(yùn)用平行線的判定進(jìn)行判斷，能判定兩直線平行者即為正確答案．【詳解】A、如圖1：∵∠1=40°，∠2=140°，∴AB與CD不平行；故本選項(xiàng)錯誤；B、如圖2：∵∠1=40°，∠2=40°，∴∠1=∠2，∴AB與CD平行；故本選項(xiàng)正確；C、如圖3：∵∠1=40°，∠2=140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本選項(xiàng)錯誤；D、如圖4：∠1=40°，∠2=40°，∴∠3=140°，∴∠1≠∠3，∴AB與CD不平行；故本選項(xiàng)錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式9-2】（2022·廣西防城港·七年級期末）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為______．【答案】150°【分析】法一：過B作BD∥AE，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥法二：延長AB、FC，交于點(diǎn)D，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠A=∠BDC=130°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，從而求得∠BCF．【詳解】解：法一，如圖，過B作BD∥∵BD∥AE，∴∠ABD=∠A=130°．∵BD∥AE，∴BD∥∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=160°?130°=30°．∵BD∥∴∠DBC+∠C=180°，∵∠DBC=30°，∴∠C=180°?∠DBC=150°．法二，如圖，延長AB、FC，交于點(diǎn)D，∵AE∥CD，∴∠A=∠BDC=130°．∵∠ABC=160°，∴∠CBD=180°?∠ABC=20°，在△CBD中，∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，∴∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，∴∠BCF=180°?∠BCD=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)七年級期中）如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，則第三次拐的角∠C=__________時，道路CE才能恰好與AD平行．【答案】145°##145度【分析】首先過點(diǎn)B作BF∥AD，由AD∥CE，即可得BF∥AD∥CE，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠C的大?。驹斀狻窟^點(diǎn)B作BF∥AD，∵AD∥CE，∴BF∥AD∥CE，∴∠1=∠A=110°,∠2+∠C=180°，∵∠B=∠1+∠2=145°，∴∠2=35°，∴∠C=145°．故答案為145°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線．【題型10平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】【例10】（2022·上海市市西初級中學(xué)七年級期中）結(jié)合“愛市西，愛生活，會創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測燈”，增加美觀的同時也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且（1）填空：∠ABP=______°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動60秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【答案】（1）120；（2）A燈轉(zhuǎn)動100秒，兩燈的光束互相平行；（3）在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化，且有∠BAC=2∠BCD，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)角的倍差求出∠BAM的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒，先求出兩個臨界位置：燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BA、燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN，再分三種情況，分別利用平行線的性質(zhì)列出等式求解即可得；（3）先根據(jù)角的和差求出∠BAC=2t?120°,∠ABC=120°?t，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BCA=180°?t，然后根據(jù)角的和差可得∠BCD=t?60°，由此即可得．【詳解】（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1∴∠BAM=∵PQ∴∠ABP=∠BAM=120°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）故答案為：120；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ所需時間為1801=180（秒），燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BA所需時間為燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN所需時間為1802則t的取值范圍為0<t<180?60，即0<t<120由題意，分以下三種情況：①當(dāng)0<t≤60時，如圖1所示∵PQ∴∠PBD=∠BDA∵AC∴∠CAM=∠BDA∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?(60+t)解得t=60此時，∠CAM=∠PBD=120°=∠PBA即兩燈的光束重合，不符題意，舍去②當(dāng)60<t≤90時，如圖2所示，此時燈A射線未從AN回轉(zhuǎn)∵PQ∴∠PBD+∠BDA=180°∵AC∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?(60+t)+(180?2t)=180解得t=60（不符題設(shè)，舍去）③當(dāng)60<t≤90時，如圖2所示，此時燈A射線旋轉(zhuǎn)至AN，并已開始回轉(zhuǎn)∵PQ∴∠PBD+∠BDA=180°∵AC∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?(60+t)+(2t?180)=180解得t=100，符合題設(shè)綜上，A燈轉(zhuǎn)動100秒，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化，且有∠BAC=2∠BCD，理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒∵∠CAN=180°?2t∴∠BAC=∠BAN?∠CAN=60°?(180°?2t)=2t?120°又∵∠ABC=∠ABP?∠CBP=120°?t∴∠BCA=180°?∠ABC?∠BAC=180°?t∵∠ACD=120°∴∠BCD=∠ACD?∠BCA=120°?(180°?t)=t?60°∴∠BAC:∠BCD=2:1，即∠BAC=2∠BCD故在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化，且有∠BAC=2∠BCD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），依據(jù)題意，找出兩個臨界位置，進(jìn)而分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·全國·九年級單元測試）（1）如圖1，將一副直角三角板按照如圖方式放置，其中點(diǎn)C、D、A、F在同一條直線上，兩條直角邊所在的直線分別為MN、PQ，∠BAC=30°，∠DEF=45°．AB與DE相交于點(diǎn)O，則∠BOE的度數(shù)是__________；（2）將圖1中的三角板ABC和三角板DEF分別繞點(diǎn)B、F按各自的方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，其中BA平分∠MBC，求∠PFA的度數(shù)；（3）將如圖1位置的三角板ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒10°，在此過程中，經(jīng)過_________秒邊AB與邊DE互相平行．【答案】（1）105°；（2）15°；（3）152或【分析】（1）根據(jù)三角形尺的角度，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠AOD=180°–∠OAD–∠ODA，求得∠AOD=105°，根據(jù)對頂角相等求得∠BOE；（2）延長BA交PQ于點(diǎn)H，在四邊形BCFH中，∠HBC+∠BCF+∠CFH+∠BHF=360°，進(jìn)而求得∠HFA=15°，即可求解；（3）根據(jù)