相似三角形的判定

相似三角形的判定ABCC’B’A’回憶：目前我們知道有哪些判定相似三角形的方法?AC/B/A/

CB（１）．定義法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（３）．“三邊”定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.（４）．“兩邊夾角”定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似.復(fù)習(xí)引入

如果兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，它們一定相似嗎？邊邊邊SSS√邊角邊SAS√斜

邊直角邊HL角角邊AAS角邊角ASA復(fù)習(xí)引入ASA、AAS只有一組邊，能成比例嗎？猜想:ABCA/

C/

B/

已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求證:ΔABC∽△A/B/C/

論證猜想證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A/B/,AE=A/C/，連結(jié)DE。ABCA/

C/

B/

DE∵AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠1=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠1=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求證:ΔABC∽△A/B/C/

論證猜想1CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：定理歸納“兩角”定理：兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

如果兩個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎？一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似。探究思考已知：ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.角角AA探究新知√

“直角邊、斜邊”定理：

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。HLABC∴△ABC∽△A1B1C1.√A1B1C1在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中定理歸納用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求證：ΔABC∽ΔDEFAFECBD證明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400

－800

＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）。400

800

800

600

600

例題講解例2.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說(shuō)明△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠1＝∠B,∠2＝∠C（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．）123∵EF∥AB（已知）∴∠B

＝∠3

,∴∠1

＝∠3

,∵∠1

＝∠3,∠2＝∠CABCDE例3.已知D、E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，若∠A=35°,∠C=85°,

∠AED=60°,求證：AD·AB=AE·AC已知：如圖25-4-5，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC.求證：△ADE∽△DBF.1.下面每組的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o課堂練習(xí)2、判斷題：(1)所有的直角三角形都相似.()(2)有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形相似.()(3)所有的等邊三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()(5)頂角相等的兩個(gè)等腰三角形相似.()(6)有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似.()×√√√√×課堂練習(xí)ABDC圖33、填一填（1）如圖3，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠

＝∠

時(shí)，△ACD∽△ABC。（2）如圖4，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似?！馎BCE圖4ACD

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D課堂練習(xí)4、如圖，弦AB和CD相交于圓O內(nèi)一點(diǎn)P，

求證：PA·PB=PC·PD證明：連接AC、BD。∵∠A和∠D都是弧CB所對(duì)的圓周角，∴∠

A=∠D。同理∠C=∠B（或∠APC＝∠DPB）?！唷鱌AC∽△PDB?！郃BCDPO·即PA·PB=PC·PDCADB5.找出圖中所有的相似三角形△ACD∽△CBD∽△ABC你能寫出對(duì)應(yīng)邊的比例式嗎?常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD試證明：6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，對(duì)角線BD⊥DC。求證：BD2＝AD·BCBDAC課堂練習(xí)相似三角形的判定方法有那些？課堂小結(jié)（１）．定義法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（３）“三邊”定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.（４）“兩邊夾角”定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似.（5）“兩角”定理：兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（6）“直角邊、斜邊”定理：

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。DBCA184√2

12√2

7、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2則AC=BD=BC=課堂練習(xí)8、已知：如圖，在ΔABC中，AD、BE分別是BC、AC上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F。（2）圖中還有與ΔAEF相似的三角形嗎？請(qǐng)一一寫出。（1）求證：ΔAEF∽ΔADC；DEABCF答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF課堂練習(xí)ABCDEABCDE21OCBAD常見(jiàn)圖形OCDABABCDE課堂小結(jié)DEABCF1、如圖,⊿ABC中,CD是邊AB上的高,且AD:CD=CD:BD,求∠C的大小.補(bǔ)充練習(xí)2.如圖，P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，