七年級數(shù)學下冊相交線和平行線

第2講相交線與平行線知識導(dǎo)航1．三線八角．2．平行線與平行公理．3．平行線的鑒定．4．平行線的性質(zhì)．5．平移．【板塊一】平行線的鑒定◆題型一三線八角辦法技巧1．兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角．2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；內(nèi)錯角形如字母“Z”(或反置)；同旁內(nèi)角形如字母“U”(或倒置、反置)．3．三種角講的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系，普通狀況下，其大小是不擬定的．【例1】在∠1至∠8這8個角中，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角各有幾對，請分別寫出來．◆題型二平行公理及其推論辦法技巧(1)平行公理體現(xiàn)了平行線的存在性和唯一性，平行公理的推論體現(xiàn)了平行線的傳遞性，它們都能夠作為后來推理的根據(jù)．(2)平行公理中強調(diào)“通過直線外一點”，而垂線性質(zhì)中只規(guī)定“通過一點”，不限定點與否在直線上．【例2】下列說法中對的的是(B)．A．過一點有且只有一條直線與已知直線平行B．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．由于a∥b，c∥d，因此a∥dD．一條直線的平行線只有一條◆題型三平行線的鑒定——兩步導(dǎo)角證平行辦法技巧1.已知角相等導(dǎo)角證平行.2.通過角的數(shù)量關(guān)系證平行.3.通過同角(等角)的余角相等，對頂角相等，角平分線得等角，再證平行.【例3】如圖，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2，試判斷AC與DE的位置關(guān)系，并闡明理由.◆題型四平行線的鑒定辦法＋平行公理推論證平行【例4】如圖，∠A＋∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，試闡明：AD∥EF.◆題型五作輔助線證折線中的平行關(guān)系辦法技巧有些平行線的證明，無法直接導(dǎo)出相等角，此時考慮連線或作平行線轉(zhuǎn)化角.【例5】如圖，在長方形ABCD中，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，AM平分∠EAD，CN平分∠DCF.(1)直接寫出圖中∠ABC的全部同位角；(2)求證：AM∥CN.針對練習11.一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相似，這兩次拐彎的方向與角度可能是()A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°2.平面上有條直線，若a1⊥a2，a2⊥a3，a3∥a4，a4∥a5，a5⊥a6，a6⊥a7，…，那么a1和a的位置關(guān)系是_________.3.如圖，直線AB，CD被直線EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，請闡明理由.4.如圖，直線EF與直線AB，CD分別相交于點M，N，直線PT通過點M，∠MQN＝∠BMQ＋∠QND，∠AMT＝∠QND.(1)求證：МР∥NQ；(2)АВ∥СD.5.在長方形ABCD中.(1)如圖1，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，AE⊥BD于點E，P是BD上一動點，連接CP，當CP為什么值時，CP∥AE?闡明理由；(2)如圖2，若∠ADB＝20°，P為BC上一動點，將三角形ABP沿AP翻折到三角形AEP位置，當∠BAP等于多少度時AE∥BD?闡明理由.【板塊二】平行線的性質(zhì)◆題型一運用平行線性質(zhì)導(dǎo)角辦法技巧1.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)錯互補的結(jié)論，這是平行線特有的性質(zhì).2.運用平行線的性質(zhì)構(gòu)建等角鏈.【例1】如圖，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE＋∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中結(jié)論對的的個數(shù)有哪些?闡明理由.◆題型二運用角平分線的性質(zhì)與鑒定進行計算與證明辦法技巧運用已知得可知，思考結(jié)論看需知.【例2】如圖，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，F(xiàn)H平分∠EFG.(1)闡明：DC∥AB；(2)求∠PFH的度數(shù).◆題型三平行線間的距離辦法技巧1.平行線間的距離到處相等.2.夾在兩條平行線間的線段必須是和這兩條平行線垂直，否則其長度不是兩條平行線間的距離.3.夾在兩平行線間的圖形的等積變換.【例3】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC，BD相交于點O.(1)圖中有幾對面積相等的三角形?(2)若AD與BC之間的距離為a，AC＝4，BD＝5，求AD＋BC的最大值.(用a表達)◆題型四命題辦法技巧(1)命題必須是一種完整的句子，并且這個句子必須對某件事情作出必定或否認的判斷，兩者缺一不可.(2)命題的內(nèi)容能夠是幾何的，也能夠是代數(shù)的，還能夠是生活中的事情，如“如果a＝b，那么a2＝b2”，“末位數(shù)字是0或5的數(shù)能被5整除”，“這支粉筆是紅色的”等都是命題.(3)命題是判斷句，而判斷句可對可錯，因而命題所描述的關(guān)系可真可假，如“相等的角都是對頂角”，這個判斷雖是錯的，但仍然是命題.(4)疑問句、具體操作都不是命題，如“今天是星期天嗎?”就不是命題.【例4】判斷下列語句是不是命題，如果是命題，寫成“如果…，那么…”的形式，指出題設(shè)和結(jié)論，并指出是真命題還是假命題：(1)畫直線AB；(2)兩直線相交，有幾個交點?(3)等角的補角相等；(4)兩點擬定一條直線.針對練習21.如圖，AD與BC交于點O，點E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1＋∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度數(shù).2.如圖，點E在AB上，點F在CD上，EC交AD于點G，BF交AD于點H，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.(1)試闡明AB∥CD；(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B＋60°，求∠C的度數(shù).3.如圖，點F在CA的延長線上，點E在CD的延長線上，已知AB∥CD，∠C＝35°，AB是∠FAD的平分線，∠ADB＝110°，求∠BDE的度數(shù).4.直線a上有一點A，直線b上有一點B，且a∥b.點P在直線a，b之間，若PA＝3，PB＝4，則直線a，b之間的距離()A.等于7B.不大于7C.不不大于7D.不不不大于75.如圖，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C，D兩點，∠1＝∠2，下列結(jié)論：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2與∠3互補；⑤∠1＝∠EDB，其中對的的有()A.2個B.3個C.4個D.5個6.如圖，在長方形內(nèi)畫了某些直線，已知其中有3塊面積分別是12，32，52的三角形、三角形、四邊形，那么圖中陰影部分的面積是()A.108B.96C.84D.727.如圖1，將線段AB平移至CD，使點A與點D對應(yīng)，點B與點C對應(yīng)，連接AD，BC.(1)填空：AB與CD的位置關(guān)系為_________，BC與AD的位置關(guān)系為___________；(2)點G，E都在直線DC上，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直線CD于點F.①如圖2，若G，E為射線DC上的點，∠FAG＝30°，求∠B的度數(shù)；②如圖3，若G，E為射線CD上的點，∠FAG＝α，求∠C的度數(shù)(成果用含α的式子表達).【板塊三】閱讀理解填空、解答題◆題型一閱讀理解填理由題辦法技巧看圖，聯(lián)系上下文，運用有關(guān)定理進行合理填空.【例1】完畢下列推理過程如圖，M，F(xiàn)兩點在直線CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分別是∠ABC、∠EDF的平分線，求證：BM∥DN.證明：∵BM、DN分別是∠ABC、∠EDF的平分線，∴∠1＝∠ABC，∠3＝__________(角平分線定義).∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠ABC＝________（____________）∵CB∥DE，∴∠BCD＝________（____________）.∴∠ABC＝∠EDF，∴∠1＝∠3，∴∠2＝________（____________）∴BM∥DN（____________）◆題型二閱讀理解和運用【例2】如果一種角的兩邊與另一種角的兩邊分別平行，某同窗為了探究這兩個角之間的關(guān)系，畫出了下列兩個不同的圖形，請你根據(jù)圖形完畢下列問題：(1)如圖1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1與∠2的關(guān)系是_________；如圖2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1與∠2的關(guān)系是_________；(2)根據(jù)(1)的探究過程，我們可得出結(jié)論：如果一種角的兩邊與另一種角的兩邊分別平行，那么這兩個角____________；(3)運用結(jié)論解決問題：如果有兩個角的兩邊分別平行，且一種角比另一種角的3倍少60°，則這兩個角分別是多少度?針對練習31.完畢下面的證明：如圖，點D、E、F分別在線段AB、BC、AC上，連接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于點M，∠1＋∠2＝180°，求證：∠B＝∠BED.證明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，又∵∠1＋∠BEM＝180°(平角定義)，∴∠2＝∠BEM(___________)，∴DM∥_________(_________________)∴∠ADM＝∠B(_________________)∠MDE＝∠BED(_________________)又∵DM平分∠ADE(已知)，∴∠ADM＝∠MDE(角平分線定義)，∴∠B＝∠BED(_________________).2.探究：如圖1，直線AB，BC，AC兩兩相交，交點分別為點A，B，C，點D在線段AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E，過點E作EF∥AB，交BC于點F.若∠ABC＝40°，求∠DEF的度數(shù).請將下面的解答過程補充完整.解：∵DE∥BC(已知)，∴_________________(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵EF∥AB(已知)，∴∠ABC＝∠EFC(_____________)，∴∠DEF＝∠ABC＝40°(等量代換).應(yīng)用：如圖2，四邊形BDEF中，BF∥DE，DB∥EF，∠F＝2∠D－50°，點C在線段BF上，若∠FCE＝∠CEF＋10°，求∠CEF的度數(shù).【板塊四】運用“中間等角”導(dǎo)角證兩線平行◆題型一運用同角或等角的余角(或補角)相等導(dǎo)角辦法技巧在已知條件為a＋b＝90°或a＋b＝180°的題目中，尋找第二對a＋c＝90°或a＋c＝180°，得出b＝c.【例1】如圖，已知直線AB∥DF，點G在射線BC上，射線DE分別交AB、AG于點H、M，∠D＋∠B＝180°.(1)求證：DE∥BC；(2)如果∠AMD＝80°，∠AHE＝70°，∠EHB與∠MGC的平分線交于點P，求∠HPG的度數(shù).◆題型二運用等式的性質(zhì)證角相等辦法技巧1.若a＝b，b＝c，則a＝c；2.若a＝b，則a＋c＝b＋c.【例2】如圖，點B在AC上，AB∥EF，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF與BE平行嗎?為什么?◆題型三重復(fù)運用平行線的鑒定與性質(zhì)導(dǎo)角【例3】如圖，點E在AB上，點F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求證：AB∥CD.◆題型四作適宜的輔助線構(gòu)造中間等角辦法技巧有些題目給出的等角的位置不是三線八角中的基本角，這時作適宜的輔助線(連線，延長線或作平行線)來轉(zhuǎn)化角.【例4】如圖是一種中文“互”字，其中點M在AB上，點N在CD上，點G在ME上，點F在NH上，GH∥EF，∠1＝∠2，∠MEF＝∠GHN.求證：(1)∠MGH＝∠GHN；(2)AB∥CD.題型三設(shè)兩個未知數(shù)，列關(guān)系式求解辦法技巧題目中有兩個獨立未知角，一種已知方程不能求出未知角時，需列兩個方程求解．【例3】如圖1，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB與CD之間的位置關(guān)系，并闡明理由；（2）如圖2，延長DE至點F，連接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C－140°，求∠C的度數(shù)．題型四設(shè)兩個未知數(shù)列一種方程巧解角的度數(shù)題目中有兩個獨立未知角，只有一種等戲，這時設(shè)兩個未知數(shù)，列一種方程，巧解所求角．【例4】已知AB∥CD，M，N分別是直線AB，CD上兩點，點G在AB，CD之間，連接MG，NG，點E是AB上方一點，連接EM，EN，且GM的延長線平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN＋∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)．針對練習71．如圖，AB∥CD，點E在直線AB上，點N，F(xiàn)在直線CD上，PE平分∠AEN，F(xiàn)H∥EN，延長PF到點G，F(xiàn)G平分∠DFH，若∠PFC＝∠AEP＋10°，求∠BEN的度數(shù)．2．如圖1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．（1）試闡明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；（2）如圖2，延長AD，BC交于點G，過點D作DH∥BC交AC于點H，若AC⊥BC，問當∠CDH多少度時，∠GDC＝∠ADH?3．如圖，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若2∠F－∠E＝10°，求∠ABE的度數(shù)．【板塊八】分類討論思想求角題型一按照點的不同位置關(guān)系分類討論求角辦法技巧點在運動過程中，由于點在線上的不同位置，產(chǎn)生不同的圖形，需分類討論．【例1】已知AB∥CD，∠BAD＝50°，點P在直線AD上，E為UD上一點（1）如圖1，當點P在線段AD延長線上時，求證：∠PEC－∠APE＝130°；（2）如圖2，當點P在直線AD上運動時（不與點A，D重疊），求∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．題型二按照線的不同位置關(guān)系分類討論求角辦法技巧按照動線的不同位置來分類討論求角．【例2】一種角為60°，另一種角的兩邊分別與這個角的兩邊平行，則這個角的度數(shù)為．題型三分類討論求角之間的關(guān)系辦法技巧點在運動時，兩個動角之間含有某種擬定的數(shù)量關(guān)系，此時設(shè)未知數(shù)，探求它們之間的關(guān)系【例3】如圖，已知AB/CD、BE平分ABD，DE平分/BDC（1)求證：BE⊥DE;（2）H是直線CD上一動點（不與點D重疊），BI平分∠HBD交CD于點I，在圖2或備用圖中，請你畫出圖形，并猜想∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系，且闡明理由．針對練習81．如果兩個角的兩邊分別平行，且一種角比另一種角的兩倍少80°，則這兩個角的度數(shù)分別是．2．如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠BEF<150°，點P為直線EF左側(cè)平面上一點，且∠BEP＝150°，∠EPF＝50°，則∠DFP的度數(shù)是．3．(1)如圖1，F(xiàn)是OC邊上一點，求證：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；（2）如圖2，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，點D，E在射線OA，OC上，點P是射線OB上的一種動點，連接DP交射線OC于點F，設(shè)∠ODP＝x°，若DE⊥OA，與否存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF?若存在，求出x的值；若不存在，闡明理由．【板塊九】平移題型一平移定義辦法技巧1．圖形的平移必須含有兩個要素：平移的方向與平移的距離．其中，平移的方向是平移前圖形上的某一點到其對應(yīng)點所指的方向；平移的距離是平移前圖形上的某一點到其對應(yīng)點之間的距離．2．平移只變化位置，形狀與大小都不變化?！纠?】下列運動中屬于平移的是（）A．急剎車時汽車在地面上的滑動B．冷水加熱時小氣泡上升變?yōu)榇髿馀軨．隨風飄動的風等在空中的運動D．隨手拋出的彩球的運動題型二平移性質(zhì)（1）平移得到的圖形與原圖形中的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點的連線平行（或共線）且相等；（2）“將一種圖形沿某一種方向移動一定的距離”意味著“圖形上的每一種點都沿同一方向移動了相似的距離”?！纠?】如圖所示是重疊的兩個直角三角形，將直角△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，求圖中陰影部分的面積。題型三平移作圖辦法技巧平移作圖的環(huán)節(jié)：（1）找出能表達原圖形的核心點；（2）將原圖形中的某個核心點與其平移后的位置點連接起來；（3）過其它核心點分別作線段，使得它們與擬定線段平行且相等，再連接這些核心點的對應(yīng)點，所得的圖形就是原圖形平移后的圖形．【例3】如圖，網(wǎng)格中每個小正方形邊長為1，三角形ABC的頂點都在格點上．將三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'B'C'．（