小波變換-完美通俗解讀

小波變換完美通俗解讀要講小波變換，我們必須了解傅立葉變換。要了解傅立葉變換，我們先要弄清楚什么是”變換“。很多處理，不管是壓縮也好，濾波也好，圖形處理也好，本質(zhì)都是變換。變換的是什么東西呢？是基，也就是basis。如果你暫時(shí)有些遺忘了basis的定義，那么簡(jiǎn)單說(shuō)，在線性代數(shù)里，basis是指空間里一系列線性獨(dú)立的向量，而這個(gè)空間里的任何其他向量，都可以由這些個(gè)向量的線性組合來(lái)表示。那basis在變換里面啥用呢?比如說(shuō)吧，傅立葉展開(kāi)的本質(zhì)，就是把一個(gè)空間中的信號(hào)用該空間的某個(gè)basis的線性組合表示出來(lái)，要這樣表示的原因，是因?yàn)楦盗⑷~變換的本質(zhì)，是。小波變換自然也不例外的和basis有關(guān)了。再比如你用Photoshop去處理圖像，里面的圖像拉伸，反轉(zhuǎn)，等等一系列操作，都是和basis的改變有關(guān)。既然這些變換都是在搞基，那我們自然就容易想到，這個(gè)basis的選取非常重要，因?yàn)閎asis的特點(diǎn)決定了具體的計(jì)算過(guò)程。一個(gè)空間中可能有很多種形式的basis，什么樣的basis比較好，很大程度上取決于這個(gè)basis服務(wù)于什么應(yīng)用。比如如果我們希望選取有利于壓縮的話，那么就希望這個(gè)basis能用其中很少的向量來(lái)最大程度地表示信號(hào)，這樣即使把別的向量給砍了，信號(hào)也不會(huì)損失很多。而如果是圖形處理中常見(jiàn)的線性變換，最省計(jì)算量的完美basis就是eigenvectorbasis了，因?yàn)榇藭r(shí)變換矩陣T對(duì)它們的作用等同于對(duì)角矩陣(Tv_n=av_n，a是eigenvalue)。總的來(lái)說(shuō)，拋開(kāi)具體的應(yīng)用不談，所有的basis，我們都希望它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是，容易計(jì)算，用最簡(jiǎn)單的方式呈現(xiàn)最多的信號(hào)特性。好，現(xiàn)在我們對(duì)變換有了基本的認(rèn)識(shí)，知道他們其實(shí)就是在搞基。當(dāng)然，搞基也是分形式的，不同的變換，搞基的妙處各有不同。接下來(lái)先看看，傅立葉變換是在十嘛。傅立葉級(jí)數(shù)最早是JosephFourier這個(gè)人提出的，他發(fā)現(xiàn)，這個(gè)basis不僅僅存在與vectorspace，還存在于functionspace。這個(gè)functionspace本質(zhì)上還是一個(gè)linearvectorspace，可以是有限的，可以是無(wú)限的，只不過(guò)在這個(gè)空間里，vector就是function了，而對(duì)應(yīng)的標(biāo)量就是實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)。在vectorspace里，你有vectorv可以寫(xiě)成vectorbasis的線性組合，那在functionspace里，functionf(x)也可以寫(xiě)成對(duì)應(yīng)functionbasis的線性組合，也有norm。你的vectorbasis可以是正交的，我的functionbasis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t))。唯一不同的是，我的functionbasis是無(wú)窮盡的，因?yàn)槲业膄unctionspace的維度是無(wú)窮的。好，具體來(lái)說(shuō)，那就是現(xiàn)在我們有一個(gè)函數(shù)，f(x)。我們希望將它寫(xiě)成一些cos函數(shù)和一些sin函數(shù)的形式，像這樣f(J：)=M〕+nls.s+成汗鈕M田血2勿 again，這是一個(gè)無(wú)限循環(huán)的函數(shù)。其中的1，cosx,sinx,cos2x.....這些，就是傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)應(yīng)用如此廣泛的主要原因之一，就是它們這幫子functionbasis是正交的，這就是有趣的地方了。為什么functionbasis正交如此重要呢？我們說(shuō)兩個(gè)vector正交，那就是他倆的內(nèi)積為0。那對(duì)于functionbasis呢？functionbasis怎么求內(nèi)積呢？現(xiàn)在先復(fù)習(xí)一下vector正交的定義。我們說(shuō)兩個(gè)vectorv,w如果正交的話，應(yīng)符合：難.<V.w>=vTw= 。那什么是function正交呢？假設(shè)我們有兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)，那是什么？我們遵循vector的思路去想，兩個(gè)vector求內(nèi)積，就是把他們相同位置上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的乘積做一個(gè)累加。那移過(guò)來(lái)，就是對(duì)每一個(gè)x點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的f和g做乘積，再累加。不過(guò)問(wèn)題是，f和g都是無(wú)限函數(shù)阿，x又是一個(gè)連續(xù)的值。怎么辦呢？向量是離散的，所以累加，函數(shù)是連續(xù)的，那就是......?積分！我們知道函數(shù)內(nèi)積是這樣算的了，自然也就容易證明，按照這個(gè)形式去寫(xiě)的傅立葉展開(kāi)，這些級(jí)數(shù)確實(shí)都是兩兩正交的。證明過(guò)程這里就不展開(kāi)了。好，下一個(gè)問(wèn)題就是，為什么它們是正交basis如此重要呢？這就牽涉到系數(shù)的求解了。我們研究了函數(shù)f，研究了級(jí)數(shù)，一堆三角函數(shù)和常數(shù)1,那系數(shù)呢？a0,a1,a2這些系數(shù)該怎么確定呢？好，比如我這里準(zhǔn)備求a1了。我現(xiàn)在知道什么？信號(hào)f(x)是已知的，傅立葉級(jí)數(shù)是已知的，我們?cè)趺辞骯1呢？很簡(jiǎn)單，把方程兩端的所有部分都求和cosx的內(nèi)積，即：<cosx>=<在*1,cosx)+<)+<桃喝血穌sw> 然后我們發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檎坏男再|(zhì)，右邊所有』Ea1項(xiàng)全部消失了，因?yàn)樗麄兒蚦osx的內(nèi)積都是0！所有就簡(jiǎn)化為r2jv r2~I/(x)coifxdx=I 攵j如=皿［汗J。這樣，al就求解出來(lái)了。到這里，你就看出正交的奇妙性了吧:）好，現(xiàn)在我們知道，傅立葉變換就是用一系列三角波來(lái)表示信號(hào)方程的展開(kāi)，這個(gè)信號(hào)可以是連續(xù)的，可以是離散的。傅立葉所用的functionbasis是專門(mén)挑選的，是正交的，是利于計(jì)算coefficients的。但千萬(wàn)別誤解為展開(kāi)變換所用的basis都是正交的，這完全取決于具體的使用需求，比如泰勒展開(kāi)的basis就只是簡(jiǎn)單的非正交多項(xiàng)式。有了傅立葉變換的基礎(chǔ)，接下來(lái)，我們就看看什么是小波變換。首先來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是小波。所謂波，就是在時(shí)間域或者空間域的震蕩方程，比如正弦波，就是一種波。什么是波分析？針對(duì)波的分析拉（冏）。并不是說(shuō)小波分析才屬于波分析，傅立葉分析也是波分析，因?yàn)檎也ㄒ彩且环N波嘛。那什么是小波呢？這個(gè)”小“，是針對(duì)傅立葉波而言的。傅立葉所用的波是什么？正弦波，這玩意以有著無(wú)窮的能量，同樣的幅度在整個(gè)無(wú)窮大區(qū)間里面振蕩，像下面這樣：那小波是什么呢？是一種能量在時(shí)域非常集中的波。它的能量是有限的，而且集中在某一點(diǎn)附近。比如下面這樣：。它有效的從信號(hào)中。它有效的從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問(wèn)題。恩，以上就是通常情況下你能在國(guó)內(nèi)網(wǎng)站上搜到的小波變換文章告訴你的。但為什么呢？這是我希望在這個(gè)系列文章中講清楚的。不過(guò)在這篇文章里，我先點(diǎn)到為止，把小波變換的重要特性以及優(yōu)點(diǎn)cover了，在下一篇文章中再具體推導(dǎo)這些特性。

小波變換的本質(zhì)和傅立葉變換類(lèi)似，也是用精心挑選的basis來(lái)表示信號(hào)方程。每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)motherwavelet，我們稱之為母小波，同時(shí)還有一個(gè)scalingfunction，中文是尺度函數(shù)，也被成為父小波。任何小波變換的basis函數(shù)，其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移后的集合。下面這附圖就是某種小波的示意圖：小波展開(kāi)的形式通常都是這樣（注意，這個(gè)只是近似表達(dá)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼归_(kāi)形式請(qǐng)參考第二篇）：?、?姑⑴其中的就是小波級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是，小波級(jí)數(shù)通常是orthonormalbasis，也就是說(shuō)，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。小波級(jí)數(shù)通常有很多種，但是都符合下面這些特性：小波變換對(duì)不管是一維還是高維的大部分信號(hào)都能cover很好。這個(gè)和傅立葉級(jí)數(shù)有很大區(qū)別。后者最擅長(zhǎng)的是把一維的，類(lèi)三角波連續(xù)變量函數(shù)信號(hào)映射到一維系數(shù)序列上，但對(duì)于突變信號(hào)或任何高維的非三角波信號(hào)則幾乎無(wú)能為力。圍繞小波級(jí)數(shù)的展開(kāi)能夠在時(shí)域和頻域上同時(shí)定位信號(hào)，也就是說(shuō)，信號(hào)的大部分能量都能由非常少的展開(kāi)系數(shù)，比如a_{j,k}，決定。這個(gè)特性是得益于小波變換是二維變換。我們從兩者展開(kāi)的表達(dá)式就可以看出來(lái)，傅立葉級(jí)數(shù)是, 而小波級(jí)數(shù)是。從信號(hào)算出展開(kāi)系數(shù)a需要很方便。普遍情況下，小波變換的復(fù)雜度是O(Nlog(N))，和FFT相當(dāng)。有不少很快的變換甚至可以達(dá)到O(N)，也就是說(shuō)，計(jì)算復(fù)雜度和信號(hào)長(zhǎng)度是線性的關(guān)系。小波變換的等式定義，可以沒(méi)有積分，沒(méi)有微分，僅僅是乘法和加法即可以做到，和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的計(jì)算指令完全match。可能看到這里，你會(huì)有點(diǎn)暈了。這些特性是怎么來(lái)的？為什么需要有這些特性？具體到實(shí)踐中，它們到底是怎么給小波變換帶來(lái)比別人更強(qiáng)的好處的？計(jì)算簡(jiǎn)單這個(gè)可能好理解，因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)講過(guò)正交特性了。那么二維變換呢？頻域和時(shí)域定位是如何進(jìn)行的呢？恩，我完全理解你的感受，因?yàn)楫?dāng)初我看別的文章，也是有這些問(wèn)題，就是看不到答案。要說(shuō)想完全理解小波變換的這些本質(zhì)，需要詳細(xì)的講解，所以我就把它放到下一篇了。接下來(lái)，上幾張圖，我們以一些基本的信號(hào)處理來(lái)呈現(xiàn)小波變換比傅立葉變換好的地方，我保證，你看了這個(gè)比較之后，大概能隱約感受到小波變換的強(qiáng)大，并對(duì)背后的原理充滿期待:)假設(shè)我們現(xiàn)在有這么一個(gè)信號(hào)：看到了吧，這個(gè)信號(hào)就是一個(gè)直流信號(hào)。我們用傅立葉將其展開(kāi)，會(huì)發(fā)現(xiàn)形式非常簡(jiǎn)單：只有一個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不是0，其他所有級(jí)數(shù)系數(shù)都是0。我們?cè)倏催@個(gè)信號(hào)：

簡(jiǎn)單說(shuō)，就是在前一個(gè)直流信號(hào)上，增加了一個(gè)突變。其實(shí)這個(gè)突變，在時(shí)域中看來(lái)很簡(jiǎn)單，前面還是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中間有一個(gè)階躍嘛。但是，如果我們?cè)俅巫屍涓盗⑷~展開(kāi)呢？所有的傅立葉級(jí)數(shù)都為非0了！為什么？因?yàn)楦盗⑷~必須用三角波來(lái)展開(kāi)信號(hào)，對(duì)于這種變換突然而劇烈的信號(hào)來(lái)講，即使只有一小段變換，傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合，就像這樣：看看上面這個(gè)圖。學(xué)過(guò)基本的信號(hào)知識(shí)的朋友估計(jì)都能想到，這不就是Gibbs現(xiàn)象么？Exactly。用比較八股的說(shuō)法來(lái)解釋，Gibbs現(xiàn)象是由于展開(kāi)式在間斷點(diǎn)鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無(wú)窮大時(shí)，這一現(xiàn)象也依然存在。其實(shí)通俗一點(diǎn)解釋，就是當(dāng)變化太sharp的時(shí)候，三角波fit不過(guò)來(lái)了，就湊合出Gibbs了:）接下來(lái)看見(jiàn)了么？只要小波basis不和這個(gè)信號(hào)變化重疊，它所對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)系數(shù)都為0!也就是說(shuō)，假如我們就用這個(gè)三級(jí)小波對(duì)此信號(hào)展開(kāi)，那么只有3個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不為0。你可以使用更復(fù)雜的小波，不管什么小波，大部分級(jí)數(shù)系數(shù)都會(huì)是0。原因？由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函數(shù)的內(nèi)積都趨近于0。換句話說(shuō)，選小波的時(shí)候，就需要保證母小波在一個(gè)周期的積分趨近于0。正是這個(gè)有趣的性質(zhì)，讓小波變換的計(jì)算以及對(duì)信號(hào)的詮釋比傅立葉變換更勝一籌！原因在于，小波變換允許更加精確的局部描述以及信號(hào)特征的分離。一個(gè)傅立葉系數(shù)通常表示某個(gè)貫穿整個(gè)時(shí)間域的信號(hào)分量，因此，即使是臨時(shí)的信號(hào)，其特征也被強(qiáng)扯到了整個(gè)時(shí)間周期去描述。而小波展開(kāi)的系數(shù)則代表了對(duì)應(yīng)分量它當(dāng)下的自己，因此非常容易詮釋。小波變換的優(yōu)勢(shì)不僅僅在這里。事實(shí)上，對(duì)于傅立葉變換以及大部分的信號(hào)變換系統(tǒng)，他們的函數(shù)基都是固定的，那么變換后的結(jié)果只能按部就班被分析推導(dǎo)出來(lái)，沒(méi)有任何靈活性，比如你如果決定使用傅立葉變換了，那basisfunction就是正弦波，你不管怎么scale，它都是正弦波，即使你舉出余弦波，它還是移相后的正弦波。總之你就只能用正弦波，沒(méi)有任何商量的余地。而對(duì)于小波變換來(lái)講，基是變的，是可以根據(jù)信號(hào)來(lái)推導(dǎo)或者構(gòu)建出來(lái)的，只要符合小波變換的性質(zhì)和特點(diǎn)即可。也就是說(shuō)，如果你有著比較特殊的信號(hào)需要處理，你甚至可以構(gòu)建一個(gè)專門(mén)針對(duì)這種特殊信號(hào)的小波basisfunction集合對(duì)其進(jìn)行分析。這種靈活性是任何別的變換都無(wú)法比擬的?？偨Y(jié)來(lái)說(shuō)，傅立葉變換適合周期性的，統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的信號(hào)；而小波變換則適用于大部分信號(hào)，尤其是瞬時(shí)信號(hào)。它針對(duì)絕大部分信號(hào)的壓縮，去噪，檢測(cè)效果都特別好。小波變換和motion信號(hào)處理（二）在上一篇中講到，每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)motherwavelet，我們稱之為母小波，同時(shí)還有一個(gè)fatherwavelet，就是scalingfunction。而該小波的basis函數(shù)其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移形成的?？s放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù)，平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。還講到，小波系統(tǒng)有很多種，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展開(kāi)的近似形式是這樣：許）=登碼.2.，"什）其中的就是小波級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是，小波級(jí)數(shù)通常是orthonormalbasis，也就是說(shuō)，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。我們還講了一般小波變換的三個(gè)特點(diǎn)，就是小波級(jí)數(shù)是二維的，能定位時(shí)域和頻域，計(jì)算很快。但我們并沒(méi)有深入講解，比如，如何理解這個(gè)二維？它是如何同時(shí)定位頻域和時(shí)域的？在這一篇文章里，我們就來(lái)討論一下這些特性背后的原理。首先，我們一直都在講小波展開(kāi)的近似形式。那什么是完整形式呢？之前講到，小波basis的形成，是基于基本的小波函數(shù)，也就是母小波來(lái)做縮放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在構(gòu)建小波基函數(shù)集合的時(shí)候，通常還要用到一個(gè)函數(shù)叫尺度函數(shù)，scalingfunction，人們通常都稱其為父小波。它和母小波一樣，也是歸一化了，而且它還需要滿足一個(gè)性質(zhì)，就是它和對(duì)自己本身周期平移的函數(shù)兩兩正交：II^WII=1〈河1),(p(t—kT))=0\/k另外，為了方便處理，父小波和母小波也需要是正交的?？梢哉f(shuō)，完整的小波展開(kāi)就是由母小波和父小波共同定義的。ju)=。脾v一卜)+$2一’「)!.=—oo k=—x>,}=^其中是母小波，是父小波。需要提醒一點(diǎn)的是，這個(gè)正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性，并不是說(shuō)小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實(shí)是正交的，所以本文就直接默認(rèn)正交為小波變換的主要性質(zhì)之一了。引入這個(gè)父小波呢，主要是為了方便做多解析度分析(multiresolutionanalysis,MRA)。說(shuō)到這里，你的問(wèn)題可能會(huì)井噴了：好好的為什么出來(lái)一個(gè)父小波呢？這個(gè)scalingfunction是拿來(lái)干嘛的？它背后的物理意義是什么？waveletfunction背后的物理意義又是什么？這個(gè)多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我們圍繞一個(gè)例子來(lái)鞏固一下前面的知識(shí)，同時(shí)再引出新的特性。假設(shè)我們有這樣一個(gè)信號(hào)：12345678該信號(hào)長(zhǎng)度為8,是離散的一維信號(hào)。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開(kāi)。為了方便講解，我們考慮最簡(jiǎn)單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：(弟1<?<4WE=<一志5<n<8I0otherwise為3):1 I I那如何構(gòu)建基于這個(gè)母小波的基呢？剛才提到了，要縮放，要平移。我們先試試縮放，那就是v(2n)：(參l<n<2W(2n)=<—我3<n<4I0otherwise但這樣的話，它與自己的內(nèi)積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個(gè)系數(shù)根號(hào)二，這樣我們就得到了另一個(gè)哈爾小波的basisfunction：(| 1<n<2x/2/0(2n)=\—| 3<n<4[0otherwise:I|彳| 同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，.......下的basisfunctiono當(dāng)然在這個(gè)例子里，我們信號(hào)長(zhǎng)度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來(lái)說(shuō)，就是這種scaling對(duì)母小波的作用為…，這是歸一化后的表示形式。平移的話也很簡(jiǎn)單，我們可以對(duì)母小波進(jìn)行平移，也可以對(duì)scale之后的basisfunction進(jìn)行平移。比如對(duì)上一幅圖中的basisfunction進(jìn)行平移，就成了(* 5<n<6-8)-< 一* 7<n<8[0otherwisev^0(2孔-8): 1 — .

看得出來(lái)，平移后的basisfunction和母小波以及僅僅scale過(guò)的小波，都是正交的，附合小波basis的特點(diǎn)。如果我們用iA（n來(lái)表示這個(gè)motherwavelet，那么這些orthonormalbasis函數(shù)可以寫(xiě)成：如壯S）= kN）這里的k是可以看成時(shí)域的參數(shù)，因?yàn)樗刂浦〔ɑ鶗r(shí)域的轉(zhuǎn)移，而j是頻域的參數(shù)，因?yàn)樗鼪Q定了小波基的頻率特性?？吹竭@里，你應(yīng)該會(huì)感覺(jué)很熟悉，因?yàn)檫@里的平移和變換本質(zhì)和剛才對(duì)scalingfunction的平移變換是一模一樣的。(n)=y/2^(2n—8)場(chǎng) 1(n)=y/2^(2n—8)場(chǎng) 1| 1詼Wo,o(n)=W(n)2^2*11歐2,o(n)=2切(4舟?^2,1(n)=2諷4n-￡)-&歐2,2(n)=2為(4n-16)歐2,3(n)=20(4n—24)圖1可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù)，每往下一層，小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個(gè)小波基函數(shù)的表達(dá)形式都寫(xiě)在了波形的下面。等等，你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，有問(wèn)題。這里為什么多了個(gè)沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式的波形呢？這貨明顯不是waveletfunction阿。沒(méi)錯(cuò)，它是之前提到的scalingfunction，也就是父小波。然后你可能就會(huì)問(wèn)，為啥這個(gè)憑空插了一個(gè)scalingfunction出來(lái)呢？明明目標(biāo)信號(hào)已經(jīng)可以用純的小波基組合表示了。是，確實(shí)是，就算不包括scalingfunction，這些小波函數(shù)本身也組成了正交歸一基，但如果僅限于此的話，小波變換也就沒(méi)那么神奇的功效了。引入這個(gè)scalingfunction，才能引入我們提到的多解析度分析的理論，而小波變換的強(qiáng)大，就體現(xiàn)在這個(gè)多解析度上。那在這里，我們?cè)趺从眠@個(gè)多解析度呢？這個(gè)哈爾小波basis組合是怎么通過(guò)多解析度推導(dǎo)出來(lái)的呢？話說(shuō)在數(shù)學(xué)定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對(duì)于信號(hào)處理非常重要，可以用LAp(R)表示，指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中要研究的信號(hào)都是屬于L八2(R)空間的，這個(gè)空間是R上的所有處處平方可積的可測(cè)函數(shù)的集合，這樣就等于對(duì)信號(hào)提出了一個(gè)限制，就是信號(hào)能量必須是有限的，否則它就不可積了。小波變換的定義都是基于但不限于L八2(R)中的信號(hào)的。這玩意的特性要具體解釋起來(lái)太數(shù)學(xué)了，牽涉到太多泛函知識(shí)，我就不在這里詳述了。而且老實(shí)說(shuō)我也沒(méi)能力完全講清楚，畢竟不是學(xué)這個(gè)的，有興趣可以參考?xì)W?？傊阌涀?，小波變換研究中所使用的信號(hào)基本都是平方可積的信號(hào)，但其應(yīng)用不限于這種信號(hào)，就行了。對(duì)L八2(R)空間做MRA是在干嘛呢？就是說(shuō)，在L八2(R)空間中，我們可以找出一個(gè)嵌套的空間序列明｝膏，并有下列性質(zhì)：⑴…叫匚"町…匚如何)門(mén)必=｛以北頊㈤閩 閔出+1陽(yáng)％—共-聆=%有這樣一個(gè)方程，?"■-"''是的orthonormalbasis。我來(lái)簡(jiǎn)單解釋一下這些性質(zhì)。這個(gè)V_j都是L八2(R)空間中的子空間，然后他們是由小到大的，交集是｛0｝，因?yàn)檫@是最小的子空間，并集就是L空間。是不是有點(diǎn)難以理解？沒(méi)關(guān)系，看看下面這個(gè)圖就清楚了：這個(gè)圖是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0,之后分別是VI,V2,V3,V4。那他們有趣的性質(zhì)就是，假如有一個(gè)函數(shù)f(t)他屬于一個(gè)某空間，那你將其在時(shí)域上平移，它還是屬于這個(gè)空間。但如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。同時(shí)我們還知道，你要形容每一個(gè)空間的話，都需要有對(duì)應(yīng)的orthonormalbasis,這是必然的，那對(duì)于V0來(lái)講，它的orthonormalbasis就是崎2鳴nMnWs這一系列函數(shù)是什么呢？是的時(shí)域變換，而且我們剛才也說(shuō)了，時(shí)域上平移，是不會(huì)跳出這個(gè)空間的。這樣，我們就可以說(shuō)，由這一系列basis所定義的L八2(R)子空間V0被這些basis所span，表示成：%=Spang(切kk從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。上面的bar表示這是一個(gè)閉包空間，也就是說(shuō)跚any/(t)€Vo.這樣，我們就定義了基本的V0這個(gè)子空間。剛才說(shuō)了，這個(gè)子空間的基都是對(duì)的整數(shù)時(shí)域變換，這里我們稱'為scalingfunction，所以換個(gè)說(shuō)法，就是說(shuō)這里整個(gè)子空間V0，由scalingfunction和其時(shí)域變換的兄弟們span。當(dāng)然，如果這個(gè)scalingfunction只是用來(lái)代表一個(gè)子空間的，那它的地位也就不會(huì)這么重要了。I剛才我們提到，這個(gè)嵌套空間序列有一個(gè)性質(zhì)，三^+1。這就是這個(gè)函數(shù)，如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。這個(gè)性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢？對(duì)于任何一個(gè)包含V0的更上一層的空間來(lái)講，他們的基都可以通過(guò)對(duì)scalingfunction做頻域的scale后再做時(shí)域上的整數(shù)變換得到！推廣開(kāi)來(lái)就是說(shuō)，當(dāng)構(gòu)禎)=切偵說(shuō)f)我們有嶼=Spein{處⑵t)}=Span{^jhjfc(t)}這也就意味著，對(duì)于任何屬于V_j空間的函數(shù)f(t),都可以表示為:/(f)=￡。舛(2%+左).到這里，我們就明白這些個(gè)子空間和那個(gè)憑空冒出來(lái)的scalingfunction的作用了。scaling的構(gòu)建這些不同的子空間的基礎(chǔ)，當(dāng)j越大的時(shí)候，每一次你對(duì)頻率變換后的scalingfunction所做的時(shí)域上的整數(shù)平移幅度會(huì)越小，這樣在這個(gè)j子空間里面得到的f(t)表示粒度會(huì)很細(xì)，細(xì)節(jié)展現(xiàn)很多。反之亦然。通俗點(diǎn)說(shuō)，就是對(duì)scalingfunction的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標(biāo)信號(hào)。下面就是時(shí)候看看什么是MRAequation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過(guò)剛才的講解，V0屬于VI，那scalingfunction*是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫(xiě)成V1的基的線性組合，那就是9(Z)=^2“(n)y/2p(2t—n),n€Zn其中的h(n)是scalingfunction的系數(shù)，也叫做scalingfilter或者scalingvector，可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號(hào)2是為了維持norm為1的?？?，在這個(gè)公式里，我們就把屬于V0的函數(shù)用V1的基表示出來(lái)了。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的??一■在V2,V3,…,Vn中表示出來(lái)。這些方程就是MRAequation，也叫refinementequation，它是scalingfunction理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scalingfunction的基本理論知識(shí)，知道了信號(hào)空間可以分為不同精細(xì)度的子空間，這些子空間的basis集合就是scalingfunction或者頻率變換之后的scalingfunction，如下圖所示：

上圖就是四個(gè)子空間的basis集合的展覽。通過(guò)前面的討論，我們還知道，一開(kāi)始的scalingfunction可以通過(guò)更精細(xì)的子空間的scalingfunction（它們都是對(duì)應(yīng)子空間的basis）來(lái)構(gòu)建。比如對(duì)于更加finer的scale：如)=:(2^(4n))+|(2(p(4n一8))+；(2p(4n-16))+|(2(^(4n一24))TOC\o"1-5"\h\z匕 ￡ ￡ 匕密如):1_; 12(/?(4n):| | 。2(/?(4n—8): 0||方。依此類(lèi)推。實(shí)際上，對(duì)于任何scale和translate過(guò)的scalingfunction，都可以用更加精細(xì)的scale層面上的scalingfunction構(gòu)建出來(lái)。然后，我們有各種scale下的scalingfunction了，該看看它們分別所對(duì)應(yīng)的嵌套的空間序列{饑或了。先看看V0，自然就是以基本的scalingfunction為基礎(chǔ)去span出來(lái)的：Vo=span{(/9(n)}這個(gè)不新鮮，剛才就講過(guò)了。這個(gè)子空間代表什么樣的信號(hào)？常量信號(hào)。道理很簡(jiǎn)單，這個(gè)scalingfunction在整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度上，沒(méi)有任何變化。繼續(xù)往下看：Vi=span{v^9(2n),V2(p(2n—1)}這個(gè)相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號(hào)，它從1-4是常量，從5-8是另一個(gè)常量。同理我們有：仍=span(2(p(4n—8k),A:=0,1,2,3)由=span(4(/?(8n—8A:),k=0,...,7}V2代表的信號(hào)，是分別在1,2;3,4;5,6;7,8上有相同值的信號(hào)。那么V3呢?則表示任何信號(hào)，因?yàn)閷?duì)于V3來(lái)講，任何一個(gè)時(shí)間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過(guò)上面的一些scalingfunctions的波形驗(yàn)證了之前提到的多解析度分析中的一個(gè)核心性質(zhì)，那就是：VocVicV2cV3我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過(guò)這些圖形化的分析，我們可能才會(huì)真正理解它。那好，既然我們有一個(gè)現(xiàn)成的信號(hào)，那就來(lái)看看，對(duì)這個(gè)信號(hào)作多解析度分析是啥樣子的：變的basisfunction集合，每一個(gè)集合都提供對(duì)原始信號(hào)的某種近似，解析度越高，近似越精確。說(shuō)到這里，可能你對(duì)scalingfunction以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒(méi)有涉及到它們?cè)谛〔ㄗ儞Q中的具體應(yīng)用，也就是還沒(méi)有回答剛才那個(gè)問(wèn)題：憑空插了一個(gè)scalingfunction到小波basis組合中干嘛。也就是說(shuō)，我們希望理解scalingfunction是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來(lái)什么樣的好處呢。這其實(shí)就是是小波變換中的核心知識(shí)。理解了這個(gè)，后面的小波變換就是純數(shù)學(xué)計(jì)算了。好，我們已經(jīng)知道，對(duì)于子空間V0，basis是scalingfunction：2V2對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是：1 I 2^/2然后子空間V1的basis集合是這倆哥們:看出什么規(guī)律了么？多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scalingfunction和waveletfunction的組合，其實(shí)就是V1中的basis！繼續(xù)這樣推導(dǎo)，V1本來(lái)的的basis是：然后V1中對(duì)應(yīng)的waveletfunction是12 1 0~2I12°I -12他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續(xù)推導(dǎo)下去，會(huì)得到同樣的結(jié)論：在scalej的waveletfunction，可以被用來(lái)將Vj的basis擴(kuò)展到V(j+1)

中去！這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因?yàn)檫@代表著，對(duì)任何一個(gè)子空間Vj,我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormalbasis：1.一種就是它本來(lái)的basis，對(duì)任意k。第二種就是它上一個(gè)子空間的basis- ?，對(duì)任意k，以及上一級(jí)子空間的waveletfunction?.-?，對(duì)任意k。第二種選擇能給我們帶來(lái)額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級(jí)子空間的scalingfunction以及waveletfunction的組合來(lái)作為當(dāng)前子空間的基。換句話說(shuō)，如果針對(duì)V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormalbasis：1.本級(jí)(V3)的scalingfunctionbasisset11100 0011.本級(jí)(V3)的scalingfunctionbasisset11100 00110000110 0 000*00-*13.上上一級(jí)(V1)的scalingfunction+上上一級(jí)(V1)的waveletfunction+上一級(jí)(V2)的waveletfunction;TOC\o"1-5"\h\z~V2 1一方0 0 ?.0 0-*1制4.上上上一級(jí)(V0)的scalingfunction+上上上一級(jí)(V0)的waveletfunction+上上一級(jí)(V1)的waveletfunction+上一級(jí)(V2)的waveletfunction號(hào)10 | 0 /.0 Q詰1-焉|好，看看最后一種選取方式，有沒(méi)有感到眼熟？對(duì)了，它就是我們之前提到的“針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合”，參見(jiàn)圖1?，F(xiàn)在我們知道了，這個(gè)scalingfunction不是憑空插進(jìn)去的，而是通過(guò)不斷的嵌套迭代出來(lái)的：那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢？實(shí)際上，剛才介紹的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對(duì)于任何的scalej0，我們都可以給我們的signalspace找到一組orthonormalbasis，這個(gè)basis是通過(guò)組合scalej0上的scalingfunction以及所有在scalej,j>=j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個(gè)orthonormalbasis，所有信號(hào)