新教材適用2024版高考數(shù)學一輪總復(fù)習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第一講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝_______________種不同的方法．知識點二分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______________種不同的方法．m1＋m2＋…＋mnm1·m2·…·mn分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)×√(3)4名同學分別報名參加學校的3個社團，每人限報一個，則不同的報法種數(shù)為43.(

)(4)正十二邊形共有54條對角線．(

)(5)用0,1,2,3,4這5個數(shù)字可以組成30個三位偶數(shù)．(

)×√×題組二走進教材2．(選擇性必修3P37T1(3))安排6名歌手演出順序時，要求某歌手不第一個出場，也不是最后一個出場，則不同的安排法種數(shù)為_________.4803．(選擇性必修3P27T17改編)在如圖所示的五個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(

)A．24 B．48C．72 D．96C題組三走向高考4．(2021·江蘇高考)下圖是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位：天)，則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有(

)A．14條 B．12條C．9條 D．7條[解析]

由圖可知，由①→④有3條路徑，由④→⑥有2條路徑，由⑥→⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計算原理可得從①→⑧共有3×2×2＝12條路徑．故選B.B5．(2021·全國高考)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(

)A．

60種 B．120種

C．240種 D．480種C考點突破·互動探究(1)(2023·廣東江門調(diào)研)直線方程Ax＋By＝0，若從1,2,3,4這四個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為系數(shù)A，B的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是_______.(2)(2022·湖南衡陽模擬)如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_______個．例1考點一分類加法計數(shù)原理——自主練透1012[解析]

(1)A＝1，B＝2或3或4表示3條不同直線；A＝2，B＝1或3表示2條不同直線；A＝3，B＝1或2或4表示3條不同直線；A＝4，B＝1或3表示2條不同直線．故方程表示10條不同直線．(2)當組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時，共有4種情況．當有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當有三個2,3,4時：2221,3331,4441，有3種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到12種結(jié)果．分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．〔變式訓練1〕(2022·山東濟寧模擬)6人分乘兩輛不同的出租車，每輛車最多乘4人，則不同的乘車方案數(shù)為(

)A．70 B．60C．50 D．40C(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24 B．18C．12 D．9(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_________種不同的報名方法．例2考點二分步乘法計數(shù)原理——師生共研B120[解析]

(1)從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．[引申1]本例(1)中若去掉“先到F處與小紅會合”，則最短路徑的條數(shù)為_______.[引申2]本例(1)中若將“先到F處與小紅會合”改為“FH因施工不能通行”，則最短路徑的條數(shù)為_______條．3523[引申3]本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有_________種不同的報名方法？[解析]

每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．729[引申4]本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有_________種不同的報名方法？[解析]

每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．216[引申5]本例(2)中若將“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報二人，且每人至多參加一項”，則共有_______種不同的報名方法．90(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．〔變式訓練2〕(1)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有_______種(用數(shù)字作答)．(2)(2023·重慶巴蜀中學模擬)現(xiàn)有10張獎券，其中有一、二、三等獎各1張，其余7張無獎．現(xiàn)將這10張獎券隨機分發(fā)給5名同學，每人2張，則恰有兩人獲獎的情況數(shù)是(

)A．30 B．60C．90 D．12036B角度1與數(shù)字有關(guān)的問題

在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有(

)A．512 B．192C．240 D．108例3考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用——多維探究D[引申](1)若將本例中“沒有”改為“有”，則結(jié)果為_________；(2)本例組成的四位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為_________個，其中比2310大的四位偶數(shù)的個數(shù)為_________個．252156109角度2涂色問題

將一個四棱錐的每個頂點染上1種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有(

)A．48種 B．72種C．96種 D．108種例4B[引申1]若給本例中四棱錐各面染上一種顏色，且相鄰面(有公共棱的面)不同色，則不同的染色方法有_______種．[解析]

依次涂色，底面ABCD的染色有4種選擇，側(cè)面PAB的染色有3種選擇，側(cè)面PBC的染色有2種選擇．①若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所染顏色相同，則側(cè)面PAD的染色有2種選擇；②若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所染顏色不同，則側(cè)面PCD的染色有1種選擇，側(cè)面PAD的染色有1種選擇．綜上，不同的染色種數(shù)為4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.72[引申2]本例中若將“每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色”改為“每條棱染上一種顏色且相交棱不同色”，則不同染色方法有_______種．48[解析]

四條側(cè)棱染色有A＝24種方法，不妨記4種顏色為1,2,3,4，且PA染1，PB染2，PC染3，PD染4.則由知共有24×2＝48種染法．棱ABBCCDDA染色34124123角度3與幾何有關(guān)的問題(2018·上海)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是(

)A．4 B．8C．12 D．16例4D[解析]

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1－A1ABB1，D1－A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E和D1一樣，有2×4＝8(個)，當A1ACC1為底面矩形，有4個滿足題意，當A1AEE1為底面矩形，有4個滿足題意，故有8＋4＋4＝16(個)，故選D.[引申](1)本例中若去掉“以AA1為底面矩形的一邊”，則陽馬的個數(shù)為_______個．(2)以六棱柱的頂點為頂點的四棱錐有_________個．72348利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路1．弄清完成一件事是做什么．2．確定是先分類后分步，還是先分步后分類．3．弄清分步、分類的標準是什么．分類要做到“不重不漏”；分步要做到“步驟完整”．綜合問題一般是先分類再分步．4．利用兩個計數(shù)原理求解．注意：(1)相同元素不加區(qū)分；(2)數(shù)字問題中0不能排在數(shù)的首位．〔變式訓練3〕(1)(角度2)(2023·四川眉山診斷)如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學風車”，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成)．現(xiàn)給圖中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)是(

)A．48 B．54C．72 D．108C(2)(角度1)由數(shù)字0,1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)，比2019大的有(

)個(

)A．10 B．11C．12 D．13(3)(角度3)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(

)A．60 B．48C．36 D．24BB[解析]

(1)根據(jù)題意，分3步進行分析：①對于“趙爽弦圖”ABCD，有4種選法，②對于△AEB，有3種選法，對于△AHD，有2種選法，③對于△DCG和△BCF，若△DCG與△AEB選的顏色相同，此時有2種選法，若△DCG與△AEB選的顏色不相同，此時有1種選法，則△DCG和△BCF有2＋1＝3種選法，則有4×3×2×3＝72種涂色方法．故選C.(2)千位數(shù)字為3時滿足題意的數(shù)字個數(shù)為：3！＝6.千位數(shù)字為2時，只有2013不滿足題意，則滿足題意的數(shù)字的個數(shù)為3?。?＝5，綜上可得：比2019大的有6＋5＝11個．(3)長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.名師講壇·素養(yǎng)提升(1)將編號為1,2,3,4,5,6的六個小球放入編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子中，每個盒子放一個小球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是_________.(2)(2022·吉林模擬)一只螞蟻從正四面體A－BCD的頂點A出發(fā)，沿著正四面體A－BCD的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點B，第4秒后又回到A點的不同爬行路線有(

)A．6條 B．7條C．8條 D．9條例6巧用圖表法、間接法求解計數(shù)問題135B(3)如圖，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其