吉林省通化市外國語學校2024屆數(shù)學八上期末綜合測試試題含解析

吉林省通化市外國語學校2024屆數(shù)學八上期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．某種商品的進價為80元，標價為100元，后由于該商品積壓，商店準備打折銷售，要保證利潤率不低于12.5%，該種商品最多可打（）A．九折 B．八折 C．七折 D．六折2．已知圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．72° B．60° C．58° D．48°3．下列圖形中對稱軸條數(shù)最多的是（）A．線段 B．正方形 C．圓 D．等邊三角形4．點M（1，2）關于y軸對稱點的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）5．下列各式中,正確的是()A．=±4 B．±=4 C． D．6．已知是整數(shù)，點在第四象限，則的值是（）A． B．0 C．1 D．27．下列各式的變形中，正確的是（）A． B． C． D．8．當x=()時,互為相反數(shù).A． B． C． D．9．下列二次根式中，最簡二次根式的是（）A． B． C． D．10．一個等腰三角形的兩邊長分別為4厘米、9厘米，則這個三角形的周長為（）A．17或22 B．22 C．13 D．17或1311．如圖，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF//BC12．如圖，正方期ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且為F，則EF的長為（）A．2 B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知等腰三角形的一個內角為40°，則這個等腰三角形的頂角為______．14．對于實數(shù)a，b，c，d，規(guī)定一種運算=ad-bc，如=1×(-2)-0×2=-2，那么當=27時，則x=_____．15．在一次對某二次三項式進行因式分解時，甲同學因看錯了一次項系數(shù)而將其分解3(x+2)(x+8)；乙同學因看錯了常數(shù)項而將其分解為3(x+7)(x+1)，則將此多項式進行正確的因式分解為____．16．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，則下列結論：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正確的是_____．17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則其頂角的度數(shù)為_________．18．計算：___________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在中，，點是邊上的中點，、分別垂直、于點和．求證：20．（8分）解方程組．21．（8分）閱讀下內容，再解決問題．在把多項式m2﹣4mn﹣12n2進行因式分解時，雖然它不符合完全平方公式，但是經(jīng)過變形，可以利用完全平方公式進行分解：m2﹣4mn﹣12n2＝m2﹣4mn+4n2﹣4n2﹣12n2＝（m﹣2n）2﹣16n2＝（m﹣6n）（m+2n），像這樣構造完全平方式的方法我們稱之為“配方法”，利用這種方法解決下面問題．（1）把多項式因式分解：a2﹣6ab+5b2；（2）已知a、b、c為△ABC的三條邊長，且滿足4a2﹣4ab+2b2+3c2﹣4b﹣12c+16＝0，試判斷△ABC的形狀．22．（10分）運用乘法公式計算（1）（2）23．（10分）如圖所示，在中，和是高，它們相交于點，且.(1)求證：.(2)求證：.24．（10分）我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結BE，CG，GE．①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．25．（12分）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：如圖1，已知：在中，，，直線m經(jīng)過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D、試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出；組員小穎想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將中的條件改為：在中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有其中為任意銳角或鈍角如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，F(xiàn)是角平分線上的一點，且和均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點左右兩側的動點、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若，試判斷的形狀，并說明理由．26．計算題（1）（2）

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】利潤率不低于12.5%，即利潤要大于或等于80×12.5%元，設商品打x折，根據(jù)打折之后利潤率不低于12.5%，列不等式求解．【題目詳解】解：設商品打x折，由題意得，100×0.1x?80≥80×12.5%，解得：x≥9，即商品最多打9折．故選：A．【題目點撥】本題考查一元一次不等式的應用，正確理解利潤率的含義是解題的關鍵．2、D【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應角進而得出答案．【題目詳解】解：∵圖中的兩個三角形全等，∴∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故選D．【題目點撥】本題考查全等三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質.3、C【分析】先根據(jù)軸對稱圖形的定義確定各選項圖形的對稱軸條數(shù)，然后比較即可選出對稱軸條數(shù)最多的圖形．【題目詳解】解：A、線段有2條對稱軸；B、正方形有4條對稱軸；C、圓有無數(shù)條對稱軸；D、等邊三角形有3條對稱軸；故選：C．【題目點撥】本題考查了軸對稱圖形的概念，即在平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．4、A【分析】關于y軸對稱的點的坐標特征是縱坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù).【題目詳解】點M（1，2）關于y軸對稱點的坐標為(－1，2)【題目點撥】本題考查關于坐標軸對稱的點的坐標特征，牢記關于坐標軸對稱的點的性質是解題的關鍵.5、C【分析】根據(jù)算術平方根與平方根、立方根的定義逐項判斷即可得．【題目詳解】A、，此項錯誤；B、，此項錯誤；C、，此項正確；D、，此項錯誤；故選：C．【題目點撥】本題考查了算術平方根與平方根、立方根，熟記各定義是解題關鍵．6、C【分析】根據(jù)第四象限內的點的坐標特征：橫坐標＞0，縱坐標＜0，列出不等式，即可判斷．【題目詳解】解：∵點在第四象限，∴解得：∵是整數(shù)，∴故選C．【題目點撥】此題考查的是根據(jù)點所在的象限，求坐標中參數(shù)的取值范圍，掌握各個象限內的點的坐標特征是解決此題的關鍵．7、C【分析】根據(jù)分式的性質逐項進行判斷即可得.【題目詳解】A中的x不是分子、分母的因式，故A錯誤；B、分子、分母乘的數(shù)不同，故B錯誤；C、（a≠0），故C正確；D、分式的分子、分母同時減去同一個非0的a，分式的值改變，故D錯誤，故選C．【題目點撥】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.8、B【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義列出方程求解即可.【題目詳解】由題意得：解得經(jīng)檢驗，是原分式方程的解.故選B.【題目點撥】本題目是一道考查相反數(shù)定義問題，根據(jù)相反數(shù)的性質：互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.從而列方程，解方程即可.9、C【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【題目詳解】A、=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項錯誤；B、=，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項錯誤；C、，是最簡二次根式；故C選項正確；D．=，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項錯誤；故選C．考點：最簡二次根式．10、B【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行分類討論，還要用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【題目詳解】解：分類討論：情況一：若4厘米為腰長，9厘米為底邊長，由于4+4＜9，則三角形不存在；情況二：若9厘米為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為9+9+4=22（厘米）．故選：B．【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，最后養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．11、C【題目詳解】試題分析：本題可以假設A、B、C、D選項成立，分別證明△ABC≌△DEF，即可解題．解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，AB=DE，則△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故A選項錯誤；（2）∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故B選項錯誤；（3）EF=BC，無法證明△ABC≌△DEF（ASS）；故C選項正確；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故D選項錯誤；故選C．考點：全等三角形的判定．12、D【分析】在AF上取FG=EF，連接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得EG=，∠EGF=45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根據(jù)等角對等邊可得AG=EG，再根據(jù)正方形的對角線平分一組對角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得BF=EF，設EF=x，最后根據(jù)AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【題目詳解】解：如圖，在AF上取FG=EF，連接GE，

∵EF⊥AB，

∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性質得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，

∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，

∴∠BAE=∠AEG=22.5°，

∴AG=EG，

在正方形ABCD中，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=EF，

設EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=x+x+x，解得x=故選：D．【題目點撥】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于作輔助線構造出等腰直角三角形并根據(jù)正方形的邊長AB列出方程．二、填空題（每題4分，共24分）13、和【解題分析】試題分析：首先知有兩種情況（頂角是40°和底角是40°時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內角和定理即可求出頂角的度數(shù)．解：△ABC，AB=AC．有兩種情況：（1）頂角∠A=40°，（2）當?shù)捉鞘?0°時，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∴這個等腰三角形的頂角為40°和100°．故答案為40°或100°．考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理．14、1【分析】由題中的新定義可知，此種運算為對角線乘積相減的運算，化簡所求的式子得到關于x的方程，然后解方程即可求出x的值．【題目詳解】解：∵=27，∴(x+1)(x-1)-(x+2)(x-3)=27，∴x2-1-(x2-x-6)=27，∴x2-1-x2+x+6=27，∴x=1；故答案為：1．【題目點撥】本題考查了新定義運算，及靈活運用新定義的能力，根據(jù)新定義把所給算式轉化為一元一次方程是解答本題的關鍵．15、【分析】分別將3(x+2)(x+8)和3(x+7)(x+1)展開，然后取3(x+2)(x+8)展開后的二次項和常數(shù)項，取3(x+7)(x+1)展開后的一次項，最后因式分解即可．【題目詳解】解：3(x+2)(x+8)=3x2+30x+483(x+7)(x+1)=3x2+24x+21由題意可知：原二次三項式為3x2+24x+483x2+24x+48=3（x2+8x+16）=故答案為：．【題目點撥】此題考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多項式乘多項式法則、提取公因式法和公式法因式分解是解決此題的關鍵．16、①②④【分析】利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE＝DF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AD平分∠BAC，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE＝AF，再根據(jù)圖形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．【題目詳解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，故①正確；又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正確；在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB+BE＝AC﹣FC，∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，即AC﹣AB＝2BE，故④正確；由垂線段最短可得AE＜AD，故③錯誤，綜上所述，正確的是①②④．故答案為①②④．【題目點撥】考核知識點：全等三角形判定“HL”.理解判定定理是關鍵.17、50°或130°【分析】分類討論當三角形是等腰銳角三角形和等腰鈍角三角形兩種情況，畫出圖形并結合三角形的內角和定理及三角形外角的性質，即可求出頂角的大?。绢}目詳解】（1）當三角形是銳角三角形時，如下圖．根據(jù)題意可知，∵三角形內角和是，∴在中，（2）當三角形是銳角三角形時，如下圖．根據(jù)題意可知,同理，在中，∵是的外角，∴故答案為或【題目點撥】本題考察了等腰三角形性質和三角形外角的性質以及三角形內角和定理的運用，分類討論該等腰三角形是等腰銳角三角形或等腰鈍角三角形是本題的關鍵．18、1【分析】分別利用零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪以及乘方運算化簡各項，再作加減法．【題目詳解】解：==1，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪以及乘方的運算法則．三、解答題（共78分）19、見解析【分析】證法一：連接AD，由三線合一可知AD平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質定理解答即可；證法二：根據(jù)“AAS”△BED≌△CFD即可.【題目詳解】證法一：連接AD．∵AB＝AC，點D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線合一性質），∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F，∴DE＝DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．證法二：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對等角）.∵點D是BC邊上的中點，∴BD＝DC，∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED和△CFD中∵，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF（全等三角形的對應邊相等）.【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質以及全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.20、【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【題目詳解】解：①×2得：4x-2y=10③,③+②得：7x=14，x=2,把x=2代入②得：6+2y=4，2y=-2，y=-1,∴21、（1）（a﹣b）（a﹣5b）；（2）△ABC為等腰三角形【分析】（1）根據(jù)完全平方公式、平方差公式解答；（2）先根據(jù)完全平方公式把原式變形，再根據(jù)偶次方的非負性分別求出a、b、c，然后根據(jù)等腰三角形的定義解答即可．【題目詳解】（1）；（2）由偶次方的非負性得：解得：為等腰三角形．【題目點撥】本題考查了完全平方公式、平方差公式、等腰三角形的定義等知識點，掌握利用公式法進行因式分解是解題關鍵．22、（1）1；（2）【分析】（1）利用完全平方公式計算即可；（2）利用平方差公式計算即可．【題目詳解】（1）解：原式====1．（2）解：原式====【題目點撥】本題考查了平方差公式、完全平方公式，解題的關鍵是熟練掌握并運用公式．23、(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【分析】（1）先證，再結合已知條件即可證得；（2）由，得AH=BC,再由AD為底邊上的高，得BC=2DC,即可得出結論.【題目詳解】(1)證明:是的高,....在和中，.(2),.是的高，，，.【題目點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，是中考常見題型，比較簡單．24、（1）見解析；（2）①見解析；②GE＝【分析】（1）由垂美四邊形得出AC⊥BD，則∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結論；

（2）①連接BG、CE相交于點N，CE交AB于點M，由正方形的性質得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS證得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出結論；

②垂美四邊形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性質得出CG=4，BE=5，則GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出結果．【題目詳解】（1）證明：∵垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①證明：連接BG、CE相交于點N，CE交AB于點M，如圖2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠