高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究

高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究――用分類討論的的思想解題樟樹三中羅夔黌參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題可分為兩種類型，。一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類問題的解題思想方法――分類與討論作一些探討，不妥之處，敬請斧正。解決第一類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據(jù)問題的條件和所涉及到的概念；運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的。它實(shí)際上是一種化難為易?；睘楹喌慕忸}策略和方法。一、科學(xué)合理的分類把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即A1∪A2∪A3∪···∪An＝A②Ai∩Aj＝φ（i,j∈N,且i≠j）。則稱對集A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類（或稱一次邏輯劃分）科學(xué)的分類滿足兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏；條件②保證分類不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類。二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)例如：絕對值的定義是：所以在解含有絕對值的不等式|logx|+|log(3－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)確定logx，log（3－x）正負(fù)的x值1和2將定義域（0，3）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即0＜x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3三種情形分類討論。已知動點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4求點(diǎn)M的軌跡方程。過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡曲線交于P,Q兩點(diǎn)，求弦長｜PQ｜的最大值及對應(yīng)的傾斜角α。解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），依題意可得：+=4根據(jù)絕對值的概念,軌跡方程取決于x＞2還是x≤2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可得軌跡方程為：y=y解（2）如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長｜PQ｜的表達(dá)式不同，故必須分-1O23x點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn)P在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在曲線y2=－12（x－3）上可求得：從而知當(dāng)或時(shí),（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件。例如，對數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如logx>－1就應(yīng)以底數(shù)x＞1和0＜x＜1進(jìn)行分類討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，,當(dāng)0＜x＜1時(shí)，.又如，等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分別給出的：所以在解這類問題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。例2，設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,又設(shè)Tn＝，n＝1，2，···求Tn解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝,當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，當(dāng)q＞1時(shí)，綜上所述，（3）根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。例如：解不等式組顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1＜a≤3，3＜a≤4，a＞4三種情況進(jìn)行討論。例3，解關(guān)于x的不等式組其中a＞0且a≠1。解，由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為:;（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得:,此時(shí)不等式組是否有解關(guān)鍵取決于與2的大小關(guān)系，所以以即a＝3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類。當(dāng)1＜a≤3時(shí)解集為Φ當(dāng)a＞3時(shí)解集為綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為(2,;當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為Φ；當(dāng)a＞3時(shí)，解集為(2,.三、分類討論的方法和步驟確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對象和它的取值范圍；確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類；逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；歸納各類結(jié)論。例4，若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）和（,1）兩點(diǎn)，且x∈[0,]時(shí)，｜f（x）｜≤2恒成立，試求a的取值范圍。解：由f（0）＝a+b＝1，f（）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－af（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+（1－a）sin（x+）∵①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋（1－a）∵｜f（x）｜≤2∴只要a+（1－a）≤2解得a≥∴－≤a≤1；②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋（1－a）≥－2，解得a≤4+3,∴1＜a≤4+3，綜合①，②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－，4+3]。例5，已知函數(shù)f（x）＝sim2x-asim2試求以a表示f（x）的最大值b。解：原函數(shù)化為f（x）＝令t＝cosx，則－1≤t≤1記g（t）＝－（。t∈[－1，1]因?yàn)槎魏瘮?shù)g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g(t)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對于定義域[－1，1]的位置密切相關(guān)，所以以相對于區(qū)間[－1，1]的位置分三種情況討論：當(dāng)－1≤≤1，即－4≤a≤4時(shí)，b=g(t)max＝,此時(shí)t=;當(dāng)＜－1,即a＜－4時(shí)，b＝－a,此時(shí)t=當(dāng)＞1,即a＞4時(shí)，b＝0,此時(shí),t=1綜上所述：b＝例6、等差數(shù)列｛an｝的公差d＜0，Sn為前n項(xiàng)之和，若Sp＝Sq，（p,q∈N，p≠q）試用d，p，q表示Sn的最大值。略解：由Sp＝Sqp≠q可求得∵d＜0，∴a1＞0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)Sn最大。由an≥0得n≤，由an+1≤0得，n≥∴≤n≤，∵n∈N，∴要以是否為正整數(shù)即p+q是奇數(shù)還是偶數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分兩類討論。當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)n＝，Sn最大且為(Sn)max=當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，n＝或n＝,Sn最大，且為（Sn）max＝分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。例7、解關(guān)于x的不等式：≥a－xy略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝和y＝a－x的圖象，以L1,L2,L3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，-103x知:當(dāng)a≤－1時(shí);－1≤x≤3L1L2L3當(dāng)－1＜a≤3時(shí);≤x≤3當(dāng)3＜a1+2時(shí);當(dāng)a＞1+2時(shí)，不等式無解。例8、實(shí)數(shù)