高等數(shù)學-第2章課件

第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)的概念第二節(jié)導數(shù)的求導法則和基本公式第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)第四節(jié)高階導數(shù)第五節(jié)函數(shù)的微分及其應用第一節(jié)導數(shù)的概念一、引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為2.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線即為割線MN

的極限位置MT(當時).割線MN

的斜率切線MT的斜率設函數(shù)在點的某鄰域內有定義,若存在,則稱函數(shù)在點處可導,并稱此極限為在點的導數(shù).記作:

定義2.1.1

即若上述極限不存在,則稱在處不可導.如果函數(shù)

在區(qū)間(a,b)的內每一點都可導，則稱函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內可導，這樣就產(chǎn)生了一個新的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)的導函數(shù)，記作即求函數(shù)的增量求平均變化率取極限三、求導數(shù)舉例用導數(shù)定義求導數(shù)的步驟如下：四、左、右導數(shù)函數(shù)f(x)

在點x0

處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等.即左導數(shù)右導數(shù)單側倒數(shù)若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，且及都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導.五、導數(shù)的幾何意義切線方程:法線方程:曲線在點的切線斜率為因此,六、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系所以函數(shù)在該點處連續(xù).定理2.1.1若函數(shù)

在點處可導，則函數(shù)在點處必連續(xù).證設函數(shù)

在點處可導，即存在，則注意:

函數(shù)在點x處連續(xù)未必可導.

定理2.2.1設函數(shù)都在點x處可導，則函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x處可導.且第二節(jié)函數(shù)的求導法則和基本公式一、函數(shù)求導的四則運算法則推論1推論2(C為常數(shù))二、反函數(shù)的導數(shù)定理2.2.2證:在

x

處給增量,由反函數(shù)的單調性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知時必有，因此常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)三、復合函數(shù)的求導法則定理2.2.3如果函數(shù)在點x處可導,而函數(shù)在對應的點u

處可導,則復合函數(shù)

也在點x處可導,且有證:在點

u可導,故（當時)故有定義2.3.1

一般地，如果變量x和y滿足一個方程，在一定條件下，當x取某區(qū)間內的任一值時，相應地，總有滿足這一方程的y值存在，那么就說方程在該區(qū)間內確定了一個隱函數(shù).第三節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定

的函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)顯函數(shù)隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)求導法則用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.對數(shù)求導法先將函數(shù)兩邊取對數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導法則求導.適用于由冪指函數(shù)、連乘連除或乘方、開方所構成的比較復雜的函數(shù).二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)萬程

確定y與x之間的函數(shù)關系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).定義2.3.2再設函數(shù)都可導,且.由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則與反函數(shù)的求導公式,有在方程中，設函數(shù)具有單調連續(xù)的反函數(shù)，則.

34第四節(jié)高階導數(shù)定義2.4.1函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y'=f'(x)仍是x的函數(shù),我們稱f'(x)的導數(shù)為函數(shù)f(x)的二階導數(shù),記作y''

或,即y''=(y')'或.相應地,把y=f(x)的導數(shù)f'(x)稱為函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù).類似地有三階,四階,…,

n階導數(shù)，分別記作y'''

,y(4),…,y(n)或,,…,.其中，二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù).

二、參數(shù)方程的二階導數(shù)若參數(shù)方程

具有一階導數(shù)，那么由可得到函數(shù)的二階導數(shù)公式即一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0變到x0+

Δx問此薄片面積改變了多少?

設薄片邊長為x,面積為A,則A=x2,當x在x0取得增量Δx時,面積的增量為關于Δx

的線性主部故一、微分的概念1.引例第五節(jié)函數(shù)的微分及其應用稱為函數(shù)在x0的微分

Δx→0時為高階無窮小2.微分定義定義2.5.1設y=f(x)在x0處的某鄰域內有定義,x+Δx是該鄰域內的任意一點,如果函數(shù)在x0處的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示成Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是僅與x有關的常數(shù),o(Δx)是Δx的高階無窮小,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可微.并稱AΔx為函數(shù)y=f(x)在x0處的微分，記作dy,即dy=AΔx,且有A=f'(x),這樣dy=f'(x)Δx.函數(shù)y=f(x)在點x0處可微的充要條件是函數(shù)y=f(x)在x0處可導.當Δy是曲線的縱坐標增量時;dy就是切線縱坐標對應的增量，當|Δx|很小時,在點M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式與

微分運算法則1.基本初等函數(shù)的微分公式設函數(shù)