適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)第三節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)公式課件

第三節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)公式第五章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程,了解兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.1.和差倍角公式的簡單應(yīng)用2.和差倍角公式的逆用與變形3.角的變換及其應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運算強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式名稱公式簡記使用條件兩角和的余弦cos(α+β)=

Cα+βα,β∈R兩角差的余弦cos(α-β)=

Cα-βα,β∈R兩角和的正弦sin(α+β)=

Sα+βα,β∈Rcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ

名稱公式簡記使用條件兩角差的正弦sin(α-β)=

Sα-βα,β∈R兩角和的正切tan(α+β)=

Tα+β兩角差的正切tan(α-β)=

Tα-βsinαcosβ-cosαsinβ微思考誘導(dǎo)公式與兩角和與差的三角函數(shù)公式有何關(guān)系?提示

誘導(dǎo)公式是兩角和與差三角函數(shù)公式的特殊化,即將其中的一個角替換為2kπ,0,π,

等特殊角而得到的公式,因此可以用兩角和與差的三角函數(shù)公式來推證誘導(dǎo)公式.微點撥輔助角公式及其應(yīng)用輔助角公式asin

α+bcos

α=sin(α+φ)(其中tan

φ=)的實質(zhì)是兩角和與差的正弦、余弦公式的逆用,通過該公式,將形如asin

α+bcos

α的式子化為只含有一種角函數(shù)的式子的形式,在三角函數(shù)的化簡、求值以及研究三角函數(shù)性質(zhì)中具有重要的應(yīng)用.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

倍角公式中,不僅限于2α是α的二倍,還有更廣泛的含義,

即只要具備“二倍關(guān)系”即可,如:4α是2α的二倍,

α是

的二倍等,這里蘊含了換元的思想名稱公式簡記使用條件二倍角的正弦sin2α=

S2αα,β∈R二倍角的余弦cos2α=

=

=

C2αα,β∈R二倍角的正切tan2α=

T2α2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α微點撥二倍角的余弦公式及其變形(1)二倍角的余弦公式有三種形式,適合在不同條件下使用,如果sin

α,cos

α的值已知,可用cos

2α=cos2α-sin2α;如果只知cos

α的值,則用cos

2α=2cos2α-1;如果只知sin

α的值,則用cos

2α=1-2sin2α.(2)對二倍角余弦公式進行變形可得降冪公式:,其實質(zhì)是用倍角的余弦值表示單角正弦值和余弦值的平方,從降冪公式可以看出,在降冪的同時,角擴大為原來的2倍,因此又稱“降冪擴角公式”.常用結(jié)論

2.兩角和與差的正切公式的變形:(1)tan

α+tan

β=tan(α+β)(1-tan

αtan

β);(2)tan

α-tan

β=tan(α-β)(1+tan

αtan

β).3.倍角公式的變形:5.在非直角三角形ABC中,tan

A+tan

B+tan

C=tan

Atan

Btan

C.6.若α+β=kπ+

(k∈Z),則(1+tan

α)(1+tan

β)=2,反之也成立.7.三倍角公式:sin

3α=3sin

α-4sin3α,cos

3α=4cos3α-3cos

α.1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)存在角α,β,使得cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ成立.(

)(2)若α,β為銳角,則sin(α+β)<sinα+sinβ.(

)√×√√2.(2022重慶三模)cos40°cos80°-cos50°·sin100°=

.

3.已知tanα,tanβ是關(guān)于x的方程x2-5x+6=0的兩個實數(shù)根,且α,β∈(-),則α+β的值等于

.

增素能精準(zhǔn)突破考點一和、差、倍角公式的簡單應(yīng)用典例突破

答案

(1)B

(2)D

(3)D

方法總結(jié)利用和、差、倍角公式求值化簡的基本策略(1)熟記公式結(jié)構(gòu)特征以及符號規(guī)律.(2)注意與誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式相結(jié)合綜合應(yīng)用.(3)注意配方法、因式分解、整體換元思想的運用.對點訓(xùn)練1(1)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα=(

)考點二和、差、倍角公式的逆用與變形(多考向探究)考向1.公式的逆用典例突破方法點撥逆用公式化簡計算的技巧(1)熟記和差倍角公式的結(jié)構(gòu)特征及符號規(guī)律,分析所求值式子與公式的異同,必要時對其進行轉(zhuǎn)化、變形、常數(shù)替換等,創(chuàng)造條件逆用公式.(2)注意誘導(dǎo)公式在調(diào)整角的大小與函數(shù)名稱中的合理應(yīng)用.(3)注意整體思想的運用.考向2.公式的變形典例突破答案

(1)B

(2)A

技巧點撥公式變形應(yīng)用的技巧1.兩角和與差的正切公式及其變形將tan(α±β),tan

α±tan

β,tan

αtan

β三者聯(lián)系在一起,已知其中的兩個或兩個之間的關(guān)系,即可求出另外一個的值.在解決有關(guān)正切函數(shù)的求值問題時,如果所求式中含有兩個非特殊角的正切且這兩個非特殊角的和或差是特殊角,那么就可以考慮使用兩角和與差的正切公式的變形進行求解.(2)(1+tan20°)(1-tan155°)=

.

(2)(1+tan

20°)(1-tan

155°)=(1+tan

20°)(1+tan

25°)=1+tan

20°+tan

25°+tan

20°tan

25°=1+tan(20°+25°)(1-tan

20°tan

25°)+tan

20°tan

25°=1+1=2.考點三角的